2023年2017最新幂函数习题精选精讲.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 幂函数 函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想下面剖析几例，以拓展同学们的思维 一、分类讨论的思想 例 1 已知函数223nnyx()nZ的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象 解：因为图象与 y 轴无公共点，故2230nn，又图象关于 y 轴对称，则223nn为偶数，由2230nn，得13n，又因为nZ，所以012 3n ，当0n 时，2233nn 不是偶数；当1n 时，2234nn 为偶数；当1n 时，2230nn 为偶数；当2n 时

2、，2233nn 不是偶数；当3n 时，2230nn 为偶数；所以 n 为1，1 或 3 此时，幂函数的解析为0(0)yxx或4yx，其图象如图所示 二、数形结合的思想 精品资料 欢迎下载 例 2 已知点(2 2)，在幂函数()f x的图象上，点124，在幂函数()g x的图象上 问当 x 为何值时有：（）()()f xg x；（）()()f xg x；（）()()f xg x 分析：由幂函数的定义，先求出()f x与()g x的解析式，再利用图象判断即可 解：设()mf xx，则由题意，得2(2)m，2m，即2()f xx再令()ng xx，则由题意，得1(2)4n，2n ，即2()(0)g

3、xxx在同一坐标系中作出()f x与()g x的图象，如图 2 所示由图象可知：（1）当1x 或1x 时，()()f xg x；（2）当1x 时，()()f xg x；（3）当11x 且0 x 时，()()f xg x 小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x的隐含条件0 x 三、转化的数学思想 例 3 函数1224(42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是（）(512)，(51)，(2 2)，(1515)，解析：要使函数1224(42)(1)ymxxmmmx 的定义域是全体实数，可转化为2420mxxm 对一切实数都成立，即0m 且2

4、44(2)0m m 解得51m 故选（）幂函数中的三类讨论题 所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现 类型一：求参数的取值范围 例 1 已知函数223()()mmf xxm Z为偶函数，且(3)(5)ff，求 m 的值，并确定()f x的解析式 分析：函数223()()mmf xxm Z为偶函数，已限定了223mm 必为偶数，且mZ，(3)(5)ff，

5、只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值，从而确定()f x的解析式 解：()f x是偶函数，223mm 应为偶数 又(3)(5)ff，即22232335mmmm ，整理，得223315mm ，2230mm ，312m 又mZ，0m 或 1 当 m=0 时，2233mm 为奇数（舍去）；当1m 时，2232mm 为偶数 函数的图象与两坐标轴都无公共点且其图象关于轴对称求的值并画出函函数的解析为或其图象如图所示二数形结合的思想精品资料欢迎下载例在同一坐标系中作出与的图象如图所示由图象可知当或当当小结数形结精品资料 欢迎下载 故 m 的值为 1，2()f xx 评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖

6、掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础 类型二：求解存在性问题 例 2 已知函数2()f xx，设函数()()(21)()1g xqf f xqf x，问是否存在实数(0)q q，使得()g x在区间4，是减函数，且在区间(4 0)，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间 解：2()f xx，则42()(21)1g xqxqx 假设存在实数(0)q q，使得()g x满足题设条件，设12xx，则4242121122()()(21

7、)(21)g xg xqxqxqxqx 22122112()()()(21)xxxxq xxq 若124xx ，易知120 xx，210 xx，要使()g x在4，上是减函数，则应有2212()(21)0q xxq 恒成立 14x ，24x，221232xx而0q，2212()32q xxq.从而要使2212()21q xxq恒成立，则有2132qq，即130q 若12(4 0)xx，易知1221()()0 xxxx，要使()f x在(4 0)，上是增函数，则应有2212()(21)0q xxq 恒成立 140 x ，240 x，221232xx，而0q，2212()32q xxq 要使221

8、2()21q xxq恒成立，则必有2132qq，即130q 综上可知，存在实数130q ，使得()g x在4，上是减函数，且在(4 0)，上是增函数 评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练 类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况 例 3 讨论函数2221()kkykk x在0 x 时随着 x 的增大其函数值的变化情况 分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论 解：（1）当20kk，即0k 或1k 时，0y 为常

9、函数；（2）当2210kk 时，12k 或12k ，此时函数为常函数；（3）220210kkkk ，即012k 时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；函数的图象与两坐标轴都无公共点且其图象关于轴对称求的值并画出函函数的解析为或其图象如图所示二数形结合的思想精品资料欢迎下载例在同一坐标系中作出与的图象如图所示由图象可知当或当当小结数形结精品资料 欢迎下载 （4）当220210kkkk ，即1k 或12k 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；（5）当220210kkkk ，即120k 时，函数为增函数，函数值随 x 的增大而增大；（6）当220210kkkk ，即112k 时，函数

10、为减函数，函数值随 x 的增大而减小 评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉 幂函数习题 幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用 例 1 若11(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 错解（数形结合）：由图可知10320132mmmm ，解得 23m，且32m 剖析：函数1(0)yxx虽然在区间(0)，和(0)，上分别具有单调性，但在区间(0)(0)，上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的

11、正解（分类讨论）：（1）10320132mmmm ，解得2332dm；（2）10320132mmmm ，此时无解；（3）10320mm，解得1m 综上可得2 3(1)3 2m，现在把例 1 中的指数1换成 3 看看结果如何 例 2 若33(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 错解（分类讨论）：由图 2 知，（1）10320321mmmm ，1，解得213m；函数的图象与两坐标轴都无公共点且其图象关于轴对称求的值并画出函函数的解析为或其图象如图所示二数形结合的思想精品资料欢迎下载例在同一坐标系中作出与的图象如图所示由图象可知当或当当小结数形结精品资料 欢迎下载 （2）10320321mm

12、mm ，此时无解；（3）10320mm，解得 1m 综上可得 2(1)13m，剖析：很明显，此解法机械地模仿例的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用 正解（利用单调性）：由于函数3yx在()，上单调递增，所以132mm ，解得23m 例 2 正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维下面再对12和4两个问题与解法进行探究 例 3 若1122(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 解：由图 3，10320321mmmm，解得 213m 例 4 若44(1)(32)mm，试求实数 m 的取值范围 解析：作出幂函数4yx的图象如图

13、 4由图象知此函数在(0)(0)，上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键考虑4时，44xx于是有44(1)(32)mm，即44132mm 又幂函数4yx在(0)，上单调递增，132mm ，解得23m，或 m4 上述解法意识到幂函数(0)yx在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展 解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如()()f xg x（是常数）型的不等式的解法有了以下体会：（1）当11135 ，解法同例 1 （2）当1113535，解法同例

14、2 （3）当111246，解法同例 3 （4）当246 ，解法同例 4 函数的图象与两坐标轴都无公共点且其图象关于轴对称求的值并画出函函数的解析为或其图象如图所示二数形结合的思想精品资料欢迎下载例在同一坐标系中作出与的图象如图所示由图象可知当或当当小结数形结精品资料 欢迎下载 编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例 4 解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试 函数的图象与两坐标轴都无公共点且其图象关于轴对称求的值并画出函函数的解析为或其图象如图所示二数形结合的思想精品资料欢迎下载例在同一坐标系中作出与的图象如图所示由图象可知当或当当小结数形结