2023年东北师大附属中学高三第一轮复习超详细导学案导数的概念及运算A1.pdf

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1、导数的概念与运算(教案)A 一、知识梳理：（阅读选修教材 2-2 第 2 页第 21 页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率：1.设函数)(xfy 在0 xx 处附近有定义，当自变量在0 xx 处有增量x时，则函数()yf x相应地有增量)()(00 xfxxfy，如果0 x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy 在0 xx 处的导数，记作0 x xy，即0000()()()limxf xxf xfxx 在定义式中，设xxx0，则0 xxx，当x趋近于0时，x趋近于0 x，因此，导数的定义式可写成 000000()()()

2、()()limlimxoxxf xxf xf xf xfxxxx .2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limxf xxf xfxx 是函数)(xfy 在点0 x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy 在点0 x处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线)(xfy 上点（)(,00 xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy 在点0 x可导，则曲线)(xfy 在点（)(,00 xfx）处的切线方程为 000()()()yf xfxxx 3.导函数(导数):如果函数)(xfy 在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数()fx，从而构成

3、了一个新的函数()fx,称这个函数()fx为函数)(xfy 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y，即()fxyxxfxxfxyxx)()(limlim00 说明:导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(xfy 在0 x处的导数0 x xy就是函数)(xfy 在开区间),(ba),(bax上导数()fx在0 x处的函数值，即0 x xy0()fx.所以函数)(xfy 在0 x处的导数也记作0()fx 4.可导:如果函数)(xfy 在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy 在开区间),(ba内可导

4、5.可导与连续的关系：如果函数)(xfy 在点0 x处可导，那么函数)(xfy 在点0 x处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()yf x的导数的一般步骤：1求函数的改变量)()(xfxxfy 2求平均变化率xxfxxfxy)()(；3取极限，得导数y ()fx xyx0lim 7.几种常见函数的导数：0C(C为常数)；1)(nnnxx(Qn)；xxcos)(sin；xxsin)(cos；1(ln)xx；们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函

5、数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求 1(log)logaaxex，()xxee ；()lnxxaaa 8.求导法则：法则1 ()()()()u xv xu xv x 法则2 ()()()()()()u x v xu x v xu x v x ,()()Cu xCu x 法则3：2(0)uu vuvvvv 9.复合函数的导数：（理科）设函数()ux在点x处有导数()xux，函数()yf u在点x的对应点u处有导数 uyfu，则复合函数()yfx在点x处也有导数，且xuxuyy 或()()()xfxf ux 10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变

6、量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 11.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 12.导数的几何意义：是曲线)(xfy 在点（)(,00 xfx）处的切线的斜率，即0()kfx，要注意“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的切线方程”是不尽相同的，后者A必为切点，前者未必是切点.二、题型探究：探究 1：导数的概念 题型 1用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。1已知000(2)()lim13xf xxf xx，求0()fx 们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区

7、分求一个函数的导数就是求 2设函数()f x在点0 x处可导，求000()()lim2hf xhf xhh 3已知(3)2,(3)2ff ，则323()lim3xxf xx的值为 .A 0 .B4 .C8 .D 不存在 题型 2导数的几何意义 例 2:已知曲线 .(1)、求曲线在点 P（2，4）处的方程；（2）、求曲线过点 P（2，4）的方程；（3）、求斜率为 1 的曲线的切线方程。题型 3：导数的物理意义 例 3：某市在一次降雨过程中，降雨量 y（mm）与时间 t（min）的函数关系可以近似地表示为 ，则在 t=40min 的降雨强度 们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导

8、数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求探究 2：导数的运算：题型 1：求导运算 例 4：求下列函数的导数（1）、2l n1,0()0,01s i n,0 xxf xxx xx（2）、(3)、题型 2：求导运算后求切线方程 例 5：已知函数 (1)、若 a=1，点 P为曲线 上的一个动点，求以点 p 为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；（2）、求函数 在（0，+）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数 a。三、方法提升 1、用定义求导数的步骤（1）求函数的改变量 ；（2）：求平均变化率 （3）、取极限

9、（2）导数物理意义与几何意义（3）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；（4）求切线方程时已知点是否切点至关重要。四、反思感悟：们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求 五、课时作业 一、选择题 1、（06江西）对于R上可导的任意函数()f x，若满足 1()xfx0，则必有.A(0)(2)ff 21f .B(0)(2)ff 21f.C(0)(2)ff 21f .D(0)(2)ff 21f 2、设函数()f x，()g x在,a b上均可导

10、，且()()fxg x ，则当axb 时，有.A()()f xg x .B()()f xg x.C()()()()f xg ag xf a .D()()()()f xg bg xf b 3、()f x的导函数()yfx的图象如图所示，则()yf x的图象最有可能的是 4、0()sinfxx，10()()f xfx，21()()fxfx，1()()nnfxfx，nN，则 .A sin x .Bsin x .Ccos x .Dcos x 5、若曲线4yx的一条切线l与直线480 xy 垂直，则l的方程为 .A430 xy ；.B450 xy；.C430 xy ；.D430 xy 6、曲线12xye

11、在点 24,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求.A29e2 .B24e .C22e .D2e 二、填空题：7、（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f xxxf，则(2)f 8、已知1 cos()xf xxe，则()fx 三、解答题：9、求下列函数的导数：121 sinyx；2211yx；32ln1yx；411xxeye；52sin23yx；6lnxyex 7sin1 cosxyx；8 21 sinc

12、osyxxxx 10 设 ,点 P（t，0）是函数 与函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P处有相同的切线。们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求（1）用 t 表示 a，b，c；（2）若函数 在（-1，3）上单调递减，求 t 的取值范围。11、（湖北文）已知函数()yf x的图象在点(1(1)Mf,处的切线方程是122yx，求(1)(1)ff 12、（天津）已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值.1讨论(1)f和(1)f 函数的()f x的极大值还是极小值；2过点(0,16)A作曲线)(xfy 的切线，求此切线方程.们把这个极限值叫做函数在处的导数记作即在定义式中设因此导数的定则曲线在点处的切线的斜率因此如果处的切线方程为在点导函数导数如即说明导数与导函数都称为导数这要加以区分求一个函数的导数就是求