2023年专题十二一元二次方程实根的分布讨论.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。一一元二次方程实根的基本分布零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。一元二次方程02cbxax（0a）的两个实数根为1x、2x，则 1x、2x均为正0，1x2x0，1x2x0；1x、2x均为负0，1x2x0，1x2x0；1x

2、、2x一正一负1x2x0。例 1 关于x的一元二次方程28(1)70 xmxm 有两个负数根，求实数m取值范围。解：设两个实数根为1x、2x，依题意有1212000 xxx x 由得：2(1)32(7)0mm，2(15)0m，恒成立。由得：18m0，解之，m1。由得：78m0，解之，m7。综上，m的取值范围是m7。例 2若n0，关于x的方程21(2)04xmn xmn有两个相等的正实数根，求mn的值。解：设两个实数根为1x、2x，依题意有1212000 xxx x 由得：2(2)0mnmn，()(4)0mn mn，mn或4mn。学习必备 欢迎下载 若mn，则1x2x22mnnnn 0，不符合，

3、舍去。故4mn，此时均符合、，44mnnn。二一元二次方程实根的非零分布k分布 设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x、2x，且21xx，k为常数。则一元二次方程实根的k分布指1x、2x相对于k的关系，例如1x、2x均比k大，或者1x、2x均比k小，或者1x、2x一个比k大，一个比k小等等。1x、2x均比常数k大0，（1xk）（2xk）0，（1xk）（2xk）0；1x、2x均比常数k小0，（1xk）（2xk）0，（1xk）（2xk）0；1x、2x一个比k大，一个比k小0，（1xk）（2xk）0。例 3若方程22430 xaxa 的两根均大于 1，求实数a的取值范围。解：设两个实数根

4、为1x、2x，由韦达定理得：1x2x2a，1243x xa。依题意有12120(1)(1)0(1)(1)0 xxxx 由得：244(43)0aa，解之，1a或3a。由得：2a2，解之，a1。由得：4321 0aa，解之，a1。综上，a的取值范围是3a。当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于 2 与 4 之间（不包括 2和 4），或者两根中一根介于 0 与 1 之间，另一个根介于 3 与 4 之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第

5、二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。我们知道，如果二次函数2()(0)f xaxbxc a的图像与x轴有交点，那么交点的横坐根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载 x1 x2 t x1 x2 t x1 x2 t x1 x2 t x1 x2 t x1 x2 t 标即为二次方程20(0)axbxca 的实数根。反之亦然。利用这一点来看 问题 1：什么条件下，二次方程20(0)axbxca 两

6、个实数根1x、2x一个比t大，另一个比t小（t是给定的常数）？上面问题等价于：什么条件下，二次函数()f x 2(0)axbxc a图像与x轴两个交点分布在点(,0)t两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。显然，当0a时，()0f t；当0a时，()0f t。问题 2：什么条件下，二次方程20(0)axbxca 两个实数根1x、2x都比常数t大？构造二次函数()f x 2(0)axbxc a，结合图形，当0a时，0，2bta，()0f t；当0a时，0，2bta，()0f t。问题 3：什么条件下，二次方程20(0)axbxca 两个实数根1x、2x都比常数t小？构造二次函数()

7、f x 2(0)axbxc a，结合图形，当0a时，0，2bta，()0f t；当0a时，0，2bta，()0f t。问题 4：什么条件下，二次方程20(0)axbxca 两个实数根1x、2x满足1xs，2xt（其中s、t为给定常数且st）？构造二次函数()f x 2(0)axbxc a，结合图形，根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载 x1 x2 s t x1 x2 s t x1 x2 s t x1 x2 s t 0 1 2 当

8、0a时，()0f s，()0f t；当0a时，()0f s，()0f t。问题 5：什么条件下，二次方程20(0)axbxca 两个实数根1x、2x均介于s、t之间（其中s、t为给定常数且st）？构造二次函数()f x 2(0)axbxc a，结合图形，当0a时，0，2bsta，()0f s，()0f t；当0a时，0，2bsta，()0f s，()0f t。看几个具体事例。例 4：a为实数，关于x的二次方程27(13)220 xaxa 有两个实数根分别介于 0与 1 之间以及 1 与 2 之间，求a的取值范围。解：构造二次函数2()7(13)22f xxaxa，结合图形，有(0)0(1)0(

9、2)0fff，解之，220171322042822622040,aaaaaaa 恒成立，故a取值范围是14a。例 5：已知m为整数，且方程2320 xmx 两根都大于95且小于37，求m值。解：显然，224 3(2)240mm 。构造二次函数2()32f xxmx，则其图像与x轴两个交点均介于9(,0)5、3(,0)7之间（不包括两个端点）。如图，则有 935679()053()07mff 根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载（

10、95,0）(37,0)(1,0)(0,0)由得：185475m ，由得：819320255m，解之得 19345m，由得：9332 0497m，解之得 7121m。故m的取值范围是711932145m。所以m可取的整数值为4。例 6：若b、c为整数，方程250 xbxc 的两个实数根都大于1且小于0，求b与c的值。解：构造二次函数2()5f xxbxc，则其图像与x轴的两个交点均在(1,0)与(0,0)之间（不包括两个端点）。如图，则有 由得：2200bc，220bc，由得：0c，由得：50bc，5cb，由得：010b。显然，1c，22 02 0bc，5b，b可取的值有5,6,7,8,9。当5

11、b 时，2520c，1c，符合5cb；当6b 时，20c36，1c，不符合5cb；当7b 时，20c49，1,2c，均不符合5cb；当8b 时，20c64，1,2,3c，均不符合5cb；0(0)0(1)01010ffb 根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载 2 5(2)2 02 7(5)1628 04fmmfmm 当9b 时，20c81，1,2,3,4c，均不符合5cb。故本题的解为5b，1c。例 7：方程22(5)220mxm

12、xm 的所有实根介于2与5之间（不包括2、5），求m的值。简析：本题与上述问题的最大区别在于针对二次项系数m要进行分类讨论。解：当0m 时，10220 x，2 2x ，符合题意。当0m 时，令2()2(5)22f xmxmxm，首先，24(5)4(22)0mm m，解之，2512m 。其次，抛物线的对称轴应介于直线x 2与直线x 5之间，有2(5)252mm，即5215m，514m 由此可知，0m，解得 55 4m 。由于抛物线开口向上，故有 综合、可得74m2512或者0m。例 8：关于x的方程322(2)(2)20 xm xmx 有三个实数根分别为、0 x，其中根0 x与m无关。（1）如0

13、()3x ，求实数m的值；（2）如ab ，试比较：241ama与241bmb的大小，并说明理由。简析：问题（1）的关键是将原方程降次。问题（2）的关键是由条件式ab 联想到一元二次方程实根的分布。解：将原方程变形：32222220 xxmxmxx 根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载 a b 22(1)(1)2(1)0 xxmx xx 2(1)(22)0 xxmx 1x 或2220 xmx 可知01x ，方程2220 xmx 的

14、两个实数根是、。（1）由韦达定理：2m ，1。32m 解之6m，经检验符合。（2）作差 241ama241bmb，通分后显然分母为正，只要考查分子。分子22(4)(1)(4)(1)am bbm a 22224444a bam bma bbm am 22224444aba ba bm am b 4()4()()(aba b abm abab ()(44)aba bm am b 构造二次函数2()22f xxmx，则其图像 与x轴两个交点为(,0)、(,0)。由图知：()0f a ，()0f b 。2220ama ，2220bmb ，将上两式相加，得：222240abmamb ，224 22mambab，44abmamb22224abab22()ab 由于ab，所以0ab ，44abmamb22()0ab ()(44)0ababmamb 根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合学习必备 欢迎下载 故 241ama 241bmb。根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根有一可判别一元二次方程的两个实数根为则均为正均为负一正一负例关于的求的值解设两个实数根为依题意有由得或学习必备欢迎下载若则不符合