2023年【高一数学必修四三角函数公式推导】.pdf

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1、学习必备 欢迎下载【高一数学 必修四 三角函数公式推导】.txt33学会宽容，意味着成长，秀木出木可吸纳更多的日月风华，舒展茁壮而更具成熟的力量。耐力，是一种不显山石露水的执着；是一种不惧风不畏雨的坚忍；是一种不图名不图利的忠诚。a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 所以 a=2R*sinA b=2R*sinB c=2R*sinC 加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC)带入 (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin

2、B sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA 对数的性质及推导 用 表示乘方，用 log(a)(b)表示以 a 为底，b 的对数 *表示乘号，/表示除号 学习必备 欢迎下载

3、 定义式：若 an=b(a0 且 a1)则 n=log(a)(b)基本性质：1.a(log(a)(b)=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导 1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得(把定义式中的n=log(a)(b)带入 an=b)2.MN=M*N 由基本性质 1(换掉 M和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指数的性质 alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函

4、数，所以 log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N)3.与 2 类似处理 MN=M/N 由基本性质 1(换掉 M和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 由指数的性质 alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4.与 2 类

5、似处理 Mn=Mn 由基本性质 1(换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n 由指数的性质 alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性质：性质一：换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下 N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)综合两式可得 N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数

6、所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)所以 log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的 所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下 由换底公式lnx 是 log(e)(x),e称作自然对数的底 log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性质 4 可得 log(an)(bm)=n*ln(a)/m*

7、ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式 log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性质及推导完）公式三:log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下:由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 为底的对数,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)*log(b)(a)=1 平方关系：起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载

8、 sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()商的关系：tan=sin/cos cot=cos/sin 倒数关系：tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)常用的诱导公式有以下几组：公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二：设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关

9、系：起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2-与的三角函数值之间的关系：si

10、n（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 公式六：/2 及 3/2 与的三角函数值之间的关系：sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）t

11、an sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上 kZ)一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA Sin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosA 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 Cos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinB Cos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinB Tan(A+B)=(Tan

12、A+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系：sin2()+cos2()=1 tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()积的关系：sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒数关系：tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 直角三角形 ABC中,角 A的正弦值就等于角 A的对边比斜边,余弦等于角 A的邻边比斜边 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数

13、函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 正切等于对边比邻边,三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数：cos(+)=cos cos-sin sin cos(-)=cos cos+sin sin sin()=sin cos cos sin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)辅助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)倍角公

14、式：sin(2)=2sin cos=2/(tan+cot)cos(2)=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2()tan(2)=2tan/1-tan2()三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin3()cos(3)=4cos3()-3cos 半角公式：sin(/2)=(1-cos)/2)cos(/2)=(1+cos)/2)起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 tan(/2)=(1-cos)/(1+cos

15、)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2()=(1+cos(2)/2=vercos(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2)万能公式：sin=2tan(/2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2)tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)积化和差公式：sin cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos sin=(1/2)sin(+)-sin(-)cos cos=(1/2)cos(+)+cos(-)sin sin=-(1/2)cos(+)

16、-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 其他：sin +sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin +2*(n-1)/n=0 cos +cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos +2起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学

17、习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载*(n-1)/n=0以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 部分高等内容 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=

18、-y;y=y，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值 a030456090 sina01/2 2/2 3/21 cosa1 3/2 2/21/20 tana0 3/31 3None cotaNone 313/30 三角函数的计算 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 幂

19、级数 c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n(n=0.)它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中 c0,c1,c2,.cn.及 a 都是常数,这种级数称为幂级数.泰勒展开式(幂级数展开法):f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幂级数：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.

20、(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|1)arccosx=-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.)(|x|1)arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-x)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-x)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5

21、/5-.(|x|1)arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|1)-傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+(n=0.)(ancosnx+bnsinnx)起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有学习必备 欢迎下载 a0=1/(.-)(f(x)dx an=1/(.-)(f(x)cosnx)dx bn=1/(.-)(f(x)sinnx)dx 注意：正切也可以表示为“Tg”如：TanA=TgA Sin2a=2SinaCosa Cos2a=Cosa2-Sina2 =1-2Sina2 =2Cosa2-1 Tan2a=2Tana/1-Tana2 起来带入两角和公式倍角公式对数的性质及推导用表示乘方用表示以为质又因为指数函数是单调函数所以与类似处理由基本性质换掉和学习必导如下综合两式可得又因为所以学习必备欢迎下载所以这步不明白或有