2023年【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例 3-1 求方程 22yxdxdy 满足初始条件0)0(y的解的逐次逼近)(),(),(321xyxyxy，并求出h的最大值，其中h的意义同解的存在唯一性定理中的h。解 函数22),(yxyxf在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域byaxD,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题0)0(22yyxdxdy的解在,hh上存在唯一，其中)(max),min(22),(yxMMbahDyx。因为逐次逼近函数序列为 xxnndxxyxfyxy0)(,()(10，此时，2200),(,0,0yxyxfyx，所以 0)(0 x

2、y，xxdxxyxxy0320213)()(，633)()(7032122xxdxxyxxyx，xxdxxxxxdxxyxxy001410622223)396918929()()(5953520792633151173xxxx。现在求h的最大值。因为),min(22babah 对任给的正数ba,，abba222，上式中，当 ba 时，22bab取得最大值aabb212。学习必备 欢迎下载 此时，)21,min()2,min(aaabbah，当且仅当aa21，即22 ba时，h取得最大值为22。评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对

3、其中的byaxDyxfMMbahDyx,:),(max),min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列xxnndxxyxfyxy0)(,()(10的构造过程的理解。例 3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。1）210,0)0(cos22xyxyy ，。2）322)21(0,0)0(xyyxy ，。证 1）以原点为中心作闭矩形区域1,21:yxD。易验证22cos),(xyyxf在区域D上满足解的存在唯一性定理的条件，求得2cosmax22),(xyMDyx，则21)21,21min(h。因此初值问题 0)0(cos22yxyy 的解在21,21上存在唯一，从而在区间21,0上

4、方程 cos22，xyy满足条件0)0(y的解存在唯一。2）以原点为中心作闭矩形区域byaxD,:。易验证xyyxf2),(在D上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得22),(maxbaxyMDyx，则),min(2babah。存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 由于baba22，所以当2ba 时，当2ba 取到最小值ba2，从而2bab可取到最大值abab212，故)21,min(aah。当且仅当aa21，即3132)21(

5、,)21(ba时，h取到最大值为32)21(h。即证明了初值问题0)0(2yxyy的解在区间)21(,)21(3232上存在唯一。从而在区间)21(,032上解存在唯一。评注：此例是应用解的存在唯一性定理，求出初值问题解存在唯一的区间。一般解法是先作出适当的闭矩形区域；然后验证在此区域中满足解的存在唯一性定理的条件；最后求出定理 3.1 中的h。例3-3 证明如果在闭矩形域D上yf存在且连续,则),(yxf在D上关于y满足利普希兹条件，反之不成立。证 因为在闭矩形域D上yf存在且连续,所以yf在区域D上有界，即0 M，Dyx),(有 Myyxf),(成立，利用中值定理，Dyxyx),(),(2

6、1 2121),(),(),(yyyxfyxfyxf21yyM，其中是介于21,yy之间的点，命题得证。反之不成立。因为对于方程ydxdy，取以原点为中心的矩形域D，yyxf),(在0y无导数，但212121),(),(yyyyyxfyxf，存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 故),(yxf 在D上关于y满足利普希兹条件。评注：通过本例的证明显然可以得到下面结论：若yf在某矩形区域D内某一点),(00yx处不存在，且在),(0

7、0yx的邻域内无界，则),(yxf 在D上关于y不满足利普希兹条件。例3-4 举例说明定理3.1 中的两个条件是保证初值问题的解存在唯一的充分条件，而非必要条件。解 1）当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程 axyaaxyayxfdxdy 00 ),(，显然),(yxf在以原点为中心的矩形域中不连续，间断点为直线axy，但解存在唯一，过原点的解为axy，0a。2）当利普希兹条件不满足时，解也可能存在唯一。如方程 0 00 ln),(yyyyyxfdxdy，由于 0ln0ln)0,(),(11111yyyyxfyxf，11ln,0yy，无界，因而),(yxf在)0,(x的任何邻域内不满足

8、利普希兹条件。然而 yydxdyln，dxyydyln 1lnlnCxy，xeCy2ln，02yeyxeC，可见方程通过)0,(x解存在唯一。评注：在应用定理 3.1 时，一定要注意，当条件不满足时，不能得出解不存在唯一的结存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 论。例 3-5 利用解的存在唯一性定理，寻找区域G，使得Gyx),(00，方程 21ydxdy 满足初始条件00)(yxy的解存在唯一。解 设21),(yyxf，显然，它

9、在整个平面上连续。而21),(yyyyxf，由例 3-3，在不包含1y的区域内，有21),(yyxf满足利普希兹条件。若1y时，yyxf),(不存在，但当1y，yyxf),(无界，即在包含点)1,(x或)1,(x的任何区域中利普希兹条件不成立。故得所求区域为xxyxyxG1,11,1,),(。评注：寻找解的存在唯一性定理中的条件所满足的区域，就是寻找),(yxf连续和关于y满足利普希兹条件的区域。对于所得到的区域G，Gyx),(00，都能存在一个完全包含在G内的闭矩形区域，使得在此矩形域中满足解的存在唯一性定理的条件，从而保证初值问题的解存在唯一。例3-6 对于方程xydxdy和点),0(0y

10、能否应用定理3.1?解 当00y时，我们可以考虑方程 yxdydx，其右端函数yxyxf),(满足定理3.1的条件，即方程yxdydx通过点),0(0y的解存在唯一，此时解为0 x。00y时，定理3.1不能用。事实上，由方程xydxdy的通解表达式Cxy 知，方程通过)0,0(的解不为一。存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 评注：在研究解的存在唯一性时，也可以将x视为y的函数。例3-7 能否用逐次逼近序列求初值问题 0)0(3

11、1yydxdy 的解。解 不能，因为用逐次逼近函数序列00)(yxy，xxnndxxyxfyxy0)(,()(10得 0)(0 x，00)(01xdxx，0)(xn，。即)(xn收敛于解0y。但另一方面，通过方程直接求解得2332)(xxy也是方程31ydxdy满足条件0)0(y的解，即用逐次逼近函数序列就不能得到此解。评注：应在保证初值问题解存在唯一的情况下，利用逐次逼近序列序列求近似解。例 3-8 证明：如果函数),(yxf于整个xoy平面上连续有界，且关于y满足局部利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的任一解均可以延拓到区间x。证 易验证),(yxf满足延拓定理的推论的条件，则过平面

12、上任一点),(00yx的解存在唯一且可延拓，设过),(00yx的解为),(00yxx。因为),(yxf有界，即2),(,0RyxM，均有不等式Myxf),(成立，我们考虑下列三个初值问题 00)(yxyMdxdy，00)(),(yxyyxfdxdy，00)(yxyMdxdy，显然，MyxfM),(，由第一比较定理，得，当0 xx 时，000000)(),()(yxxMyxxyxxM，当0 xx 时，000000)(),()(yxxMyxxyxxM，即对任何有限区间),(，当x趋于区间端点时，),(00yxx都不可能无界，由延拓存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存

13、在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 定理的推论知，),(00yxx的解可延拓到整个区间),(。又由),(00yx的任意性，命题得证。评注：解的延拓定理的条件再加上),(yxf有界是保证解的存在区间为),(的充分条件，而非必要条件，比如柯西问题 yyxyyy,)(1002 的解为)(Cxshy，其存在区间为),(，而21y在xoy面上无界。例 3-9 设),(yxf在2R上连续，求证：对Rx 0，只要0y充分小，初值问题 0022)(),()(yxyyxfeyyx （1）的解必可延拓到),0 x

14、。证 因为),(yxf在2R上连续，则方程的右端函数),()(),(22yxfeyyxFx在2R上连续；且在任意有界闭区域G上都有下式成立 ),(),(21yxFyxF),()(),()(22221221yxfeyyxfeyxx 21yyMG 其中GM表示),()(21yxfyy 在G中的最大值。这样),(yxF就关于y满足局部利普希兹条件。故初值问题（1）的解必存在唯一、且连续可微，可进行延拓。下面将证明对Rx 0，当0y充分小时，初值问题（1）的解在区间),0 x上存在。用反证法。若不然，初值问题（1）有解)(xy，其中取 00 xey，它的右行饱和 区间为),0 x，且当x时)(x无界。

15、这样，必存在点),(01xx，使得1)(1xex（或1)(1xex），且0)(11xex（或0)(11xex）。存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 另一方面，由于),()(22yxfeyyx，可知在曲线xey上，解曲线的斜率为零，即有0)(1 x。矛盾。因此，对Rx 0，当00 xey时，初值问题（1）的解在区间),0 x上存在。评注：在应用解的延拓定理时，注意特殊曲线上积分曲线的性质。类似的问题有：设),(yxf在2R上连续

16、，求证：对Rx0，只要0y充分小，初值问题 0022)(),()(yxyyxfxyy 的解必可延拓到),0 x。例 3-10 试证对任意00,yx，方程 1222yxxdxdy 满足初始条件00)(yxy的解都在),(上存在。证 函数1222yxx在整个xoy平面上满足存在唯一性定理的条件，且有 110222yxx。将原方程与下列方程 0dxdy与1dxdy 比较，由比较定理，原方程满足00)(yxy的解)(xy在其存在区间上满足 )()(000 xxyxyy，当0 xx 时，000)()(yxyxxy，当0 xx 时，由延拓定理，积分曲线)(xyy 可以无限远离原点，故)(xy必在),(上存

17、在。评注：本例是比较定理的应用，也可用例 3-8直接得出结论。例 3-11 利用克莱罗（Clairaut）方程构造一个以)(xy为奇解的一阶方程式，这里假设,1baC，且)(x为x的严格单调函数。存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在学习必备 欢迎下载 解 需要构造的一阶方程式是克莱罗方程，且)(xy应满足此方程的p判别曲线方程，因此，我们构造p判别曲线方程)()(xpxxpxy，其中将x视为p的函数，现寻求x关于p的表达式。为此，对式)(xpxx

18、py两端关于p求偏导数，得)()()()(pxppxpxpxx，整理得 ppx)(，或)(px=0（不合题意，舍弃）。由于)(x为x的严格单调函数，则其反函数存在，故从ppx)(可解得其反函数且表示如下)(px，因而方程的p判别曲线方程为)()()()(pxpppppy，所求克莱罗方程为)()(yyyyxy。评注：已知方程的某一特解来构造满足一定条件的微分方程是考研中常见的题型。此题是知道奇解求作一阶克莱罗方程。用此例的方法，可以方便求得以抛物线2xy 为奇解的一阶克莱罗方程为4)(2yyxy。存在唯一性定理的条件初值问题的解在上存在唯一其中因为逐次逼近函解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想逐次逼近方法的理解特别地域上满足解的存在唯一性定理的条件求得则因此初值问题的解在上存在