2023年三角函数及解三角形知识点总结归纳全面汇总归纳1.pdf

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1、学习必备 精品知识点 1.任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）sin cos tan 3.同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos1,1tancos（2）商数关系：sintancos（用于切化弦）平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 roxya的终边P（x,y)学习必备 精品知识点 诱导公式（把角

2、写成2k形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）sin)2cos(cos)2sin(）sin)2cos(cos)2sin(5.特殊角的三角函数值 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 23 34 56 32 2 sin 0 12 22 32 1 32 22 12 0 1

3、0 同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 6.三角函数的图像及性质 sinyx cosyx tanyx 图像 定义域 R R,2x xkkZ 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkkZ时，max1y；当22xkkZ时，min1y 当2xkkZ时，max1y；当2xk kZ时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 cos 1 32 22 12 0 12 22 32 1 0 1 tan 0 33 1 3 无 3 1

4、 33 0 无 0 函 数 性 质 同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk kZ上是增函数；在32,222kk kZ上是减函数 在2,2kkkZ 上是增函数；在2,2kk kZ 上是减函数 在,22kk kZ上是增函数 对称性 对称中心,0kkZ 对称轴2xkkZ 对称中心,02kkZ 对称轴xkkZ 对称中心,02kkZ 无对称轴 7.函数sin()yAx图象的画法：“

5、五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 8.图像的平移变换：函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：要特别注意，若由 sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位 例：以sinyx变换到4sin(3)3yx为例 sinyx向左平移3个单位（左加右减）s i n3yx 同角三角函

6、数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin 33yx 纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx sinyx横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）sin 3yx 向左平移9个单位（左加右减）sin39yxsin 33x 纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx 注意：在变换中改变的始终是 x。9、三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）cossincos

7、sin)sin(2）cossincossin)sin(3）sinsincoscos)cos(4）sinsincoscos)cos(5）tantan1tantan)tan(t ant ant an1t ant an (6）tantan1tantan)tan(tantantan1 tantan (7)sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)a b所在的象同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 限决定,22

8、22sin,cos,tanbabaabab，该法也叫合一变形).(8)4tan(tan1tan1 )4tan(tan1tan1 10、二倍角公式（1）（2）（3）11.降幂公式：（1）（2）12.升幂公式（1）2cos2cos12 （2）2sin2cos12（3）2)2cos2(sinsin1 （4）22cossin1（5）2cos2sin2sin 13.三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：其中，aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan22cos1cos2aa22cos1sin2

9、aa)sin(cossin22baba2222sin,cosbabbaa同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 比如：xxycos3sin )cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx )cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x 注意:“凑角”运用：，12 14、三角形中常用的关系：，常见数据：，3215tan,3275tan,15、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、

10、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC（R是三角形外接圆半径）注：正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC 16、余弦定理：在C中，有)sin(sinCBA)cos(cosCBA2cos2sinCBA)(2sin2sinCBA)(2cos2cosCBA6262sin15cos75,sin75cos1544 同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心

11、对称轴对称中心对称轴对称中心无对学习必备 精品知识点 2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC 注：余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab 17、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac 两边夹角的正弦值两边之积21ABCS 高底21ABCS 注：（1）如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第 6 页右下角）例如a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则18090C，C为钝角 若222abc，则900C；C为锐角（2）在三角形中一些重要的知识点；1.CBA,)0(,，CBA 2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.大角对大边，小角对小边，等角对等边。4.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。5.在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝角。同角三角函数的基本关系式平方关系商数关系用于切化弦平方关系一般习必备精品知识点无无三角函数的图像及性质函数性质图像定义域值域函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对