2023年七年级上册 第二章有理数.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 上课日期 时间 学生姓名 王文立 上课类型（1 对 1）教师 汪慧影 教室(class5)课题：有理数及其运算 教学目标：1、掌握正数、负数的概念。2、会计算一个数的相反数、绝对值以及倒数。3、掌握有理数的运算法则。4、会运用有理数解决实际问题。教学重点：1、正数、负数的判别方法。2、有理数的两种分类方法。3、绝对值、相反数的计算。4、数轴的三要素。5、有理数的加减、乘除运算法则。6、科学计数法 教学难点：1、正数、负数的判别。2、绝对值的计算。3、有理数的运算法则。教学过程：一、数的扩充：数 1，2，3，4，叫做正整数；1，2，3，4，叫做负整数；正整数、负整数和零统

2、称为整数；数32，41，854，+5.6，叫做正分数；97，76，3.5，叫做负分数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。二、有理数的分类 不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 注：“0”也是自然数。“0”的特殊性。把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集（set of number）。所有正数组成的集合，叫做正数集合

3、；所有负数组成的集合叫做负数集合；所有整数组成的集合叫整数集合；所有分数组成的集合叫分数集合；所有有理数组成的集合叫有理数集合；所有正整数和零组成的集合叫做自然数集。三、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。优秀学习资料 欢迎下载 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要认为规定的。直线也不一定是水平的。例 1：判断下图中所画的数轴是否正确？如不正确，指出错在哪里？例 2：把下面各小题的数分别表示在三条数轴上：（1）2，-1，0，323，+3.5 (2)5，0，+5，15，20；(3)1500，500，0，500，1

4、000。分析：要在数轴上表示数，首先要正确画出数轴，标明原点、正方向（一般从左到右为正方向）和单位长度这三要素，然后再表示数，注意：（1）数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数与形之间的内在联系；所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但反过来并不是数轴上的所有点都表示有理数；(2)画数轴时，原点的位置以及单位长度的大小可根据实际情况适当选取，注意不要漏画正方向、不要漏画原点，单位长度一定要统一，数轴上数的排列顺序（尤其是负数）要正确。(3)比较有理数大小法则是：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据法则先在同一个数轴上表示出同一组数的位置，然后用“”号

5、连接，这种方法比较直观，但画图表示数较麻烦。另一种方法是利用数轴上数的位置得出比较大小规律，即正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，则比较更方便些。四、相反数 象这样只有符号不同的两个数称互为相反数(opposite number)。理解：代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。几何定义：在数轴上原点两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。说明：“互为相反数”的含义是相反数，是成对出现的，因而不能说“6是相反数”。“0 的相反数是0”是相反数定义的一部分。这是因为0 既不是正数，也不是负数，它到原点的距离就是0，这是相反数等

6、于它本身的唯一的数。例 3：判断下列说法是否正确：5 是 5 的相反数；()5 与5 互为相反数；()5 是相反数；()正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。例 4：（1）分别写出5、7、321、+11.2 的相反数；（2）指出2.4 各是什么数的相反数。注意：（1）只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是 0，从数轴上看，求一个数的相反数就是找一个点关于原点的对称点；点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 （2）

7、相反数是表示具有特定关系（只有符号不同）的两个数，单独一个数不能被称为相反数，相反数是成对出现的；（3）正号“+”的功能是对一个数的符号予以确认；而负号“”的功能是对一个数的符号予以改变。五、绝对值（1）我们把在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值(absolute value)。记作|a|。例如，在数轴上表示数 6 与表示数6 的点与原点的距离都是 6，所以6和 6 的绝对值都是 6，记作|6|=|6|=6。同样可知|4|=4，|+1.7|=1.7。概括：通过对具体数的绝对值的讨论，并注意观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的

8、绝对值又有什么特点？由学生分类讨论，归纳出数 a 的绝对值的一般规律：1.一个正数的绝对值是它本身；2.0的绝对值是 0；3.一个负数的绝对值是它的相反数。即：若 a0，则|a|=a；若 a0，则|a|=a；若 a=0，则|a|=0；或写成：)0()0()0(0aaaaaa。（2）绝对值的非负性：由绝对值的定义可知：不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是正数或 0(通常也称非负数)，绝对值具有非负性，即|a|0。例 5：求下列各数的绝对值：217，101，4.75，10.5 例 6：化简：(1)21；(2)311。解：(1)2121211；(2)311311。分析：求一个数的绝对值必须先判断这

9、个数是正数还是负数，然后由绝对值的性质得到。在（3）中要注意区分绝对值符号与括号的不同含义。注意：（1）对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑，从几何方面看，一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，它具有非负性；从代数方面看，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。（2）求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数。例 7：比较下列各对数的大小：0.3 与31；2与 0；91与101 解：(1)这是两个负数比较大小，|0.3|=0.3，3.03131，且 0.3 3.0，313.0。说明：要求学生严格按此格式书写，训练学

10、生逻辑推理能力；注意符号“”、“”的写法、读法和用法；对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同。点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 六、有理数的运算（1）有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得 0；4.一个数同 0 相加，仍得这个数.注意：一个有理

11、数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。例 8：计算：(+20)+(+12)；32211；(3.4)+4.3。（-7）+（+7）(+7)+0 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即 a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a+b)+c=a+(b+c)这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化。例 9：计算：(1)(+26)+(18)+5+(16)；(2)218312417211321。三个以上的有理数相加，可运用加法交换律和

12、结合律任意改变加数的位置，简化运算。常见技巧有：(1)凑零凑整：互为相反数的两个数结合先加；和为整数的加数结合先加；(2)同号集中：按加数的正负分成两类分别结合相加，再求和；(3)同分母结合：把分母相同或容易通分的结合起来；(4)带分数拆开：计算含带分数的加法时，可将带分数的整数部分和分数部分拆开，分别结合相加。注意带分数拆开后的两部分要保持原来分数的符号。（2）有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数。如果用字母 a、b 表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：a b=a+（b）。例 10：计算：(1)(32)(+5)；(2)7.3(6.8)；注意：（1）由于把减数变为它的相反数，

13、从而减法转化为加法有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决（2）不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则在使用法则时，注意被减数是永不变的。（3）因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便。但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换。（3）有理数乘法法则：3(2)=?(3)(2)=?一般地，我们有：把一个因数 换成它的

14、相反数，所得的积是原来的积的相反数.综合上面各种情况，引导学生自己归纳出有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0 例 11：计算：(5)(6)4121 有理数乘法运算律：总结：让学生总结出乘法的交换律、结合律。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即 a b=b a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即(ab)c=a(bc)根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再

15、把积相加。即 a(b c)abac.例 12：计算：(10)310.1 6。例 13：计算：4(8)+(5)(8)+16；1514311843。解：原式=24（4）有理数除法 倒数的概念：乘积是 1 的两个数互为倒数(reciprocal)。例 14：(1)618；(2)5251；(3)54256。解：原式=3618618；原式=2125515251；原式=1034525654256 这样，对有理数除法，一般有 有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数.注意：0 不能作除数.探讨总结出有理数除法类似有理数乘法的法则：因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正

16、，异号得负，并把绝对值相除.0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.(1)(53)(23)；(2)67624；(3)43875.3。（5）有理数的乘方 一般地，我们有：n 个相同的因数 a 相乘，即，记作na。例如，22223；(2)(2)(2)(2)(2)4。点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)，乘方的结果叫做幂(power)。在 an中，a 叫作底数，n 叫做指数，an 读

17、作 a 的 n 次方，an看作是 a 的 n 次方的结果时，也可 读作 a 的 n 次幂。例如，23中，底数是 2，指数是 3，23读作 2 的 3 次方，或 2 的 3 次幂。一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 8 就是 81，通常指数为 1 时省略不写。当 a0 时，an0(n 是正整数)；当 a0 时，)(0)n(0是正整数是正整数naann；当 a=0 时，an=0(n 是正整数)(以上为有理数乘方运算的符号法则)a2n=(a)2n(n 是正整数)；12 na=(a)2n-1(n 是正整数)；a2n0(a 是有理数，n 是正整数)。七、科学记数法(1)任何一个数都可以表示成整数数位

18、是一位数的数乘以 10 的 n 次幂的形式。如：100=1100=1102；600=61000=6103；7500=7；51000=7.5 103 (2)科学记数法定义：一般地，把一个大于 10 的数记成 an10的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数（即1a10），n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法。例 15：用科学记数法记出下列各数：(1)696 000；(2)1 000 000；(3)58 000；(4)7 800 000。八、有理数的混合运算(1)定义：含有有理数的加减乘除乘方多种运算，称为有理数的混合运算。2有理数混合运算的运算顺序规定如下：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级

19、运算，按照从左至右的顺序进行；如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。注意：加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。例 16：计算：1014112131解：原式34。这里要注意三点：小括号先算；进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法；同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。例 17：计算：2782411813318833 分析：揭示思路：本例按常规运算顺序，应先算小括号里的减法，运算较繁，观察算式中的数字特征，可发现首尾两数互为倒数，根据这一迹像，抓住算式的结构特点及数与数之间的关系，

20、利用运算定律，适当改变运算顺序，可得如下新颖解法：点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 解原式=8253252524278827=82525243252524=83=5 九、近似数和有效数字 概括：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。有效数字：这时，从左边第一个不是 0 的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字(significant digits)。象上面我们取 1.667 为的近似数，它精确到

21、千分位(即精确到 0.001)，共有4 个有效数字 1、6、6、7。例 18：下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位?各有哪几个有效数字?(1)132.4；(2)0.0572；(3)2.40万 解：(3)2.40万精确到百位，共有 3 个有效数字 2、4、0。注意：由于 2.40 万的单位是万，所以不能说它精确到百分位.。例 2：用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数。(1)0.34082(精确到千分位)；(2)64.8(精确到个位)；(3)1.504(精确到 0.01)；(4)0.0692(保留 2 个有效数字)；(5)30542(保留 3 个有效数字)。注意：(1)例 2 的

22、(3)中，由四舍五入得来的 1.50 与 1.5 的精确度不同，不能随便把后面的 0 去掉；(2)例 2 的(5)中，如果把结果写成 30500，就看不出哪些是保留的有效数字，所以我们用科学记数法，把结果写成 3.05 104。(3)有一些量，我们或者很难测出它的准确值，或者没有必要算得它的准确值，这时通过粗略的估算就能得到所要的近似数，有时近似数也并不总是按“四台五入”法得到的。十、用计算器进行数的简单运算 例 1：用计算器求 34521.3。用计算器进行四则运算，只要按算式的书写顺序按键，输入算式，再按等号键，显示器上就显示出计算结果。课后练习:单科集训 P34 填空、计算 教学反思：点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?优秀学习资料 欢迎下载 点正数负的判别方法有理方有方两种分别方法点类类绝对值理相反计算绝有轴整判对值相反计算和零统称为叫做先将按属方叫性为叫?法有轴判?有?属方别?为叫?做先有方点类正数负?