2023年三角函数与平面向量数列解答题的类型及解题策略.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 三角函数与平面向量解答题的类型及解题策略 主要题型：(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解斜三角形的交汇；(5)单纯解斜三角形；(6)解斜三角形与平面向量的交汇 解题策略：(1)观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向；(2)利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决；(3)利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化 构建答题模板.降幂：cos2 1cos 22，sin2 1cos 22；.三角函数式的化简，一般化成 yAsin(x)h 的形式或 yAcos(x)

2、h 的形式；公式的变形：tan tan tan()(1 tantan).由三角函数值求角；（）由角求三角函数值要注意角的取值范围；（）角的变换：(1)拆角、拼角技巧：2()()；()；2 2；2 22.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等.研究函数的单调性(求单调区间)由 sin x、cos x 的单调性，将“x”看作一个整体，转化为解不等式问题；.函数图象的变换及函数图象画法，.函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，对称性，最值.会利用三角函数的有界性求最值；.解斜三角形：正弦定理：asin Absin Bcsin C2R；由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(

3、2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A a2R，sin Bb2R，sin Cc2R等形式，以解决不同的三角形问题 SABC12absin C12bcsin A12acsin B 余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 反思回顾查看关键点、易错点及解题规范；学习必备 欢迎下载 例

4、1 已知函数 f(x)cos2(x12)，g(x)112sin 2x.(1)设 xx0是函数 yf(x)图象的一条对称轴，求 g(x0)的值；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的单调递增区间 例 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知向量 m=(a，btanA)，n=(b，atanB)(1)若 mn，试判断ABC 的形状；(2)若 mn，且 a=2，b=32，求ABC 的面积 例 3 已知向量(sin,1),mx(3 cos,cos 2)(0)2AnAxxA，函数()f xmn 的最大值 6（）求；（）将函数()yf x的图像向左平移12个单位，再将所得图像上各

5、点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()yg x的图像，求()yg x在50,24 上的值域 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载 例 4 已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc （1）求A；（2）若2a，ABC的面积为3；求,b c。例 5 已知ABC 的面积 S 满足 3S3，且AB BC6，设AB与BC的夹角为.(1)求 的取值范围；(2)求函数 f()sin2

6、 2sin cos 3cos2 的最小值 例 6.在ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c,点),(ba在直线CcByBAxsinsin)sin(sin上.（1）求角 C 的值；（2）若18)(622baba，求ABC的面积.例 7 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA（1）求 B 的大小，（2）若 a=33,c=5,求 b.（3）求 cosA+sinC 的取值范围。汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值

7、会利用三角函学习必备 欢迎下载 例 8.已知函数()3sin()cos()f xxx(0,0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2。（1）求()8f的值，（2）将函数 y=f(x)的图象向右平移6个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间。高考动向透视 动向 1：等差、等比数列的基本运算 等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的 解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关于 a1和d 的方程(组)；巧

8、妙运用等差、等比数列的性质【示例 1】设an为等差数列，公差 d2，Sn为其前 n 项和若 S10S11，则 a1()A18 B20 C22 D24 【训练 1】(2011 天津)已知an为等差数列，其公差为2，且 a7是 a3与 a9的等比中项，Sn为an的前 n 项和，nN*，则 S10的值为()A110 B90 C90 D110【训练 2】设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于()A31 B32 C33 D34【训练 3】已知数列an的前 n 项和 Sn满足：SnSmSnm，且 a11.那么 a10()A1 B9 C10 D55【训练 4】设

9、 Sn是等差数列an的前 n 项和，已知 a23，a611，则 S7=动向 2：等差、等比数列的判定 等差、等比数列的判定通常作为解答题的第 1 问来考查，一般用下面的基本方法来判定：汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载 利用定义：an1an常数，或an1an常数；利用中项的性质：2anan1an1(n2)或 a2nan1an1(n2)【示例 2】已知数列an满足 a11，a23，an23an12an(nN*)(1)证明：数列a

10、n1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式 动向 3：有关数列的通项公式 1Sn与 an的关系已知 Sn，则 an S1，n1，SnSn1，n2.；2由递推式求通项 an的方法：(1)an1anf(n)型，采用叠加法；(2)an1anf(n)型，采用叠乘法；(3)an1panq(p0,1，q0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决(4)3Sn与 an的关系，Sn=Aan+B 或 an=ASn+B【示例 3】1已知数列an的前 n 项和为 Sn3n1，则它的通项公式为 an_.2 已知数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则其通项公式为_ 3确定数列an的通项公式(1)a11，an13a

11、n2；(2)a11，ann1nan1(n2)；(3)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，求 an.(4)a11，anan13n1(n2)；汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载(5)a12，an1anln11n.4已知数列an的前 n 项和为 Sn且满足 an2Sn Sn10(n2)，a112.求 Sn。5.已知数列an满足 a133，an1an2n，则ann的最小值为_ 6已知数列an的前 n 项和 Snn224n(

12、nN*)(1)求an的通项公式；(2)当 n 为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？动向 4：有关数列求和的考查 数列的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝，这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况出现 数列求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法 数列求和的常用方法 1公式法：直接利用等差数列、等比数列的前

13、 n 项和公式求和(1)等差数列的前 n 项和公式：1211()2(1)()222nnn aasn nddnadnan(2)等比数列的前 n 项和公式：1,1,11,1,1)1(1111qnaqqqaasqnaqqqasnnnn或 2倒序相加法：如果一个数列an的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三

14、角函学习必备 欢迎下载 3 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和三个公式：(1)11n1n1；(2)11212n112n1；(3)1nn1n1 n.5 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减 6并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，

15、可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(21)5 050.【示例 4】(2011 新课标全国)等比数列an的各项均为正数，且 2a13a21，a239a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog3a1log3a2log3an，求数列1bn的前 n 项和 【训练 1】(2011 福建)在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值 【训练 2】在等差数列an中，已知 a120，前 n 项和为 Sn，且 S10S15，求当 n 取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值 【例

16、3】设等差数列的前 n 项和为 Sn，已知前 6 项和为 36，Sn324，最后 6 项的和为 180(n6)，求数列的项数 n.汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载【训练 4】已知在正整数数列an中，前 n 项和 Sn满足：Sn18(an2)2.求证：an为等差数列(2)若 bn12an30.求数列bn的前 n 项和的最小值 【训练 5】已知数列an满足 a11，a22，an2anan12，nN*.(1)令 bnan1an，证

17、明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式 【训练 6】已知等比数列前 n 项的和为 2，其后 2n 项的和为 12，求再后面 3n 项的和 【训练 7】成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列bn中的 b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn54是等比数列 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载 【训练 8】在数列an中，a1

18、1，当 n2时，其前 n 项和 Sn满足 S2nanSn12.(1)求 Sn的表达式；(2)设 bnSn2n1，求bn的前 n 项和 Tn.【训练 9】在数列an中，an1n12n1nn1，又 bn2an an1，求数列bn的前 n项和 Sn.考向四 错位相减法求和【训练 10】(2011 辽宁)已知等差数列an满足 a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an2n1的前 n 项和 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必

19、备 欢迎下载【训练 11】设数列an满足 a13a232a33n1ann3，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn.【训练 12】已知等差数列an的前 3 项和为 6，前 8 项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前 n 项和 Sn.【训练 13】已知数列an是首项为 a114，公比 q14的等比数列，设 bn23log14an(nN*)，数列cn满足 cnan bn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前 n 项和 Sn.汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定

20、三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载【训练 14】数列an的前 n 项和记为 Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前 n 项和为 Tn，且 T315，又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求 Tn.【训练 15】已知等差数列的公差 d0，前 n项和记为 Sn，满足 S200，S210，则当 n_时，Sn达到最大值 动向 4：有关数列与不等式的综合考查 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数

21、列的前 n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养【训练 1】已知数列an的各项均为正数，Sn为其前 n 项和，对于任意的 nN*满足关系式2Sn3an3.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的通项公式是 bn1log3an log3an1，前 n 项和为 Tn，求证：对于任意的正数 n，总有 Tn1.【训练 2】在等比数列an中，an0(nN*)，公比 q(0,1)，且 a1a52a3a5a2a825，又 a3与

22、 a5的等比中项为 2.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlog2an，求数列bn的前 n 项和 Sn；(3)是否存在 kN*，使得S11S22Snnk 对任意 nN*恒成立，若存在，求出 k 的最小值，若不存在，请说明理由 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载 动向 5：考查数列的综合问题 以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故

23、难度一般较大【示例 5】(2012)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0 且 b1，b，r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bnn14an(nN*)，求数列bn的前 n 项和 Tn.主要题型：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前 n 项和的求法、最值等问题如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强，一般表现为压轴题 解题策略：(1)利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前 n 项和；(2)利用转化与化归思想(

24、配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)；(3)利用错位相减、列项相消等方法解决数列求和；(4)利用函数与不等式处理范围和最值问题【训练 1】*112(1)1()2nnnnnnaaaanNaan已知满足，且，求数列的通项公式。汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函学习必备 欢迎下载【训练 2】等比数列na的前 n 项和为nS，已知对任意的nN ，点),(nSn，均在函数）rbbbrbyx均为常数且,10(的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记)(41*Nnanbnn 求数列nb的前 n 项和 Tn 【训练 3】在数列na中，nnnnanaa21)11(,111 （I）设nabnn，求数列nb的通项公式 （II）求数列na的前n项和 Sn 汇解题策略观察三角函数中函数名称角与结构上的差异确定三角化简的化成的形式或的形式公式的变形由三角函数值求角由角求三角函数值要函数图象画法函数的性质单调性奇偶性周期性对称性最值会利用三角函