2023年【高考试卷】近年江苏高考数学考题评析之立体几何教师版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 近年江苏高考数学考题评析之立体几何 一、【20XX 年】注：当年试卷共 21 题，10 道选择题，6 道填空题，5 道解答题，立体几何所考分数 5+5+12=22 分 4已知两条直线,m n，两个平面,，给出下面四个命题：/,mn mn /,/mnmn /,/mn mn /,/,mn mn 其中正确命题的序号是（）A、；B、；C、；D、【解析】中，mn，有可能是异面直线；中，n有可能在上，都不对，故选（C）14正三棱锥PABC的高为 2，侧棱与底面ABC所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是 .【解析】如图，PBO45，POOB2，OD1，BD3，PB2 2，PD5，AD

2、3，1122AD POPD AE，得AE6 55.18如图，已知1111ABCDABC D是棱长为 3 的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC，（1）求证：1,E B F D四点共面；（4 分）（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF，垂足为H，求证：EM 面11BCC B；（4 分）（3）用表示截面1EBFD和面11BCC B所成锐二面角大小，求tan（4 分）【解析】本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基1D 1A A B C D 1C 1B M E F H G 学习必备 欢迎下载 C B A G H M D E F 1B

3、1A 1D 1C N 本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力 解法一：（1）如图，在1DD上取点N，使1DN，连结EN，CN，则1AEDN，12CFND AEDN，1NDCF，四边形ADNE，1CFD N都为平行四边形 从而ENAD，1FDCN 又AD BC，ENBC，四边形BCNE是平行四边形，由此推知CNBE，从而1FDBE 1EBFD，四点共面（2）如图，GMBF，又BMBC，BGMCFB，tantanBMBGBGMBGCFB23132BCBGCF AE BM，ABME为平行四边形，从而ABEM 又AB平面11BCC B，EM 平面11BCC B（3）如图，连结EH MHBF，

4、EMBF，BF 平面EMH，得EHBF EHM是所求的二面角的平面角，即EHM MBHCFB，sinsinMHBMMBHBMCFB 22223311332BCBMBCCF，tan13EMMH 上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(3 01)BE ，(0 3 2)BF ，1(3 33)BD ，1BDBEBF，1BD，BE，BF共面 又它们有公共点B，1EBFD，四点共面（2）如图，设(0 0

5、)Mz，则2(0)3GMz，而(0 3 2)BF ，由题设得23203GMBFz ，解得1z (0 01)M，(3 01)E，有(3 0 0)ME ，又1(0 0 3)BB ，(0 3 0)BC ，10ME BB，0ME BC，从而1MEBB，MEBC ME 平面11BCC B（3）设向量(3)BPxy，截面1EBFD，于是BPBE，BPBF 而(3 01)BE ，(0 3 2)BF ，得330BP BEx，360BP BFy，解得1x ，2y ，(12 3)BP ，又(3 0 0)BA，平面11BCC B，BP和BA的夹角等于或（为锐角）于是1cos14BP BABP BA tan13 C

6、B A G H M D E F 1B 1A 1D 1C z y x 上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 A B C D E F xyzCBADD1C1B1A1P二、【20XX 年】注：当年试卷共 20 道题，14 道填空题，6 道解答题，附加题卷 4 选 2，加 2 道解答题，共 4 道题，每题 10 分，共 40 分。立体几何所考分数 14+10 24 分 16如图，在四面体ABCD中，CBCDADBD，点EF，分别是ABB

7、D，的中点求证：（1）直线/EF面ACD；（2）平面EFC 面BCD【解析】（1）E，F分别是ABBD，的中点 EF是ABD的中位线，EFAD，EF平面ACD，AD平面ACD，直线EF平面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD；又EFCF=F，BD平面EFC，BD平面BCD，平面EFC 平面BCD 22【必做题】如图，设动点P在棱长为 1 的正方体1111-ABCD ABC D的对角线1BD上，记11D PD B；当APC为钝角时，求的取值范围【解析】由题设可知，以DA、DC、1DD为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有(1,0,0

8、)A，(1,1,0)B，(0,1,0)C，(0,0,1)D；由1(1,1,1)D B，得11(,)D PD B，11(,)(1,0,1)(1,1)PAPDD A ；11(,)(0,1,1)(,1,1)PCPDDC ；显然APC不是平角，APC为钝角等价于：上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 coscos,0PA PCAPCPA PCPA PC，则等价于0PA PC；即：2(1)()()(1)(1)(1)(31)0 ，得113；

9、的取值范围是1(,1)3 三、【20XX 年】立体几何所考分数 5+5+14=24 分 8在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 .【解析】考查类比的方法体积比为1：8 12设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；（3）设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；（4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）【解析】考

10、查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理 真命题的序号是（1）（2）16如图，在直三棱柱111ABCABC中，EF、分别是11ABAC、的中点，点D在11BC上，11ADBC；求证：（1）EF平面ABC；（2）平面1AFD 平面11BB C C【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力 上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 证明：（1）E、F分别是11ABAC、的中点，EFB

11、C，又EF平面ABC，BC平面ABC，EF平面ABC（2）直三棱柱111ABCABC，1BB 平面111ABC，11BBAD；又11ADBC，1AD 平面11BB C C；又1AD 平面1AFD，平面1AFD 平面11BB C C 四、【20XX 年】立体几何所考分数 14 分 16如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90；（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置 关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力（1）证明：PD平面ABCD，BC平面ABC

12、D，PDBC；由BCD=90，得CDBC；又PDDC=D，PD、DC平面PCD，BC平面PCD；PC平面PCD，PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则有：DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的 2 倍；由（1）知：BC平面PCD，平面PBC平面PCD于PC，上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 PD=DC，PF=FC；DFPC；

13、DF平面PBC 于F DF=22，点A到平面PBC的距离等于2（方法二）体积法：连结AC设点A到平面PBC的距离为h ABDC，BCD=90，ABC=90 AB=2，BC=1，从而得ABC的面积1ABCS 由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积：1133ABCVSPD PD平面ABCD，DC平面ABCD，PDDC 又PD=DC=1，所以222PCPDDC；由PCBC，BC=1，得PBC的面积：22PBCS 由A PBCPABCVV，1133PBCShV，得2h，故点A到平面PBC的距离等于2 五、【20XX 年】立体几何所考分数 14+10 24 分 16如图，在四棱锥ABCD

14、P 中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点；求证：（1）直线EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【解析】（1）E、F分别是AP、AD的中点，/EF PD；又,P DPCDEPCD平面平面；直线EF平面PCD（2）,60ABADBAD，F是AD的中点，上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 BFAD；又平面PAD平面ABCD，且PADABCDAD平面平面；BFPAD平面，平面BEF平

15、面PAD 22【必做题】如图，在正四棱柱1 111ABCD ABCD中，12,1AAAB，点N是BC的中点，点M在1CC上，设二面角1ADNM的大小为；（1）当90 时，求AM的长；（2）当6cos6时，求CM的长【解析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，1DD为 z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(12，1，0)，C(0，1，0)，设M(0，1，z)，设平面MDN的法向量为1111(,)nx y z，11(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2DADNDMz；设面A1DN的法向量为000(,)nxyz，则10,0DA nDN n，0

16、00020102xzxy；取0002,1,1xyz 则，即(2,1,1)n （1）由题意可得：1110,0,0DN nDM nn n；1111111102020 xyyzzxyz ；取11112,1,5,5xyzz 则；上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角学习必备 欢迎下载 222151(10)(01)(0)55AM （2）由题意可得：111160,0,6n nDN nDM nn n；111121111 11 1102034420 xyyzzxx yx zy z；取11112,1,2,2xyzz 则；12CM 上都不对故选正三棱锥的高为侧棱与底面所成角为则点到侧面的距离是查平面的基本性质线线平行线面垂直二面角等基础知识和基学习必备欢面如图又为平行四边形从而又平面平面如图连结平面得是所求的二面角