2023年《全等三角形》复习精品讲义1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 19 章全等三角形复习教案 一、命题与定理 1、定义：一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。例如：（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形（2）有六条边的多边形，叫做六边形 2、判断一件事情的语句叫做命题正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。如：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）（2）三角形的内角和是 180；（真命题）（3）同位角相等；（假命题）（4）平行四边形的对角线相等；（假命题）（5）菱形的对角线相互垂直（真命题）3、把一个命题改写成“如果那么”的形式其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论 4、从公

2、理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 二、全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2）.全等三角形性质：（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等 例 1.已知如图（1），A B CDCB,其中的对应边:_ 与_,_ 与_,_ 与_,对应角:_ 与_,_ 与_,_ 与_.例 2.如图（2），若BODCBCOE,.指出这两个全等三角形的对应边；若ADOAEO,指出这两个三角形的对应角。（图 1）（图 2）（图 3）例 3如图（3）,A

3、BCADE，BC的延长线交 DA于 F，交 DE于 G,学习必备 欢迎下载 105AEDACB,25,10DBCAD,求DFB、DGB的度数.2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）例 1已知：如图，在ABC中，BE、CF分别是 AC、AB两条边上的高，在 BE上截取 BD=AC,在 CF的延长线上截取 CG=AB，连接 AD、AG。求证：AG=AD.例 2.如图,AD与 BC相交于 O,OC=OD,OA=OB,求证：DBACAB 例 3.如图，在ABCRt中,AB=AC,90 A,点 D为 BC上任一点，DFAB于 F，DEAC于 E，M是BC中点，试判断

4、EMF是什么形状的三角形，并证明你的结论.例 4.如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，延长 CB至 E，使 EB=AD，连接 AE。求证：AE=AC。题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 5.如图，C 为 AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.直线 AN、MC交于点 E，直线 BM、CN交于点 F.(1)求证：AN=BM。(2)求证：CEF是等边三角形(3)将ACM 绕点 C逆时针方向旋转 90,其他条件不

5、变，在右图中补出符合要求的图形 并判断(1)、（2）两小题结论是否仍然成立(不要求证明)例 6.如图，在ABCRt中，90 BAC。是中点.(1)写出点 O到ABC的三个顶点 A、B、C的距离关系.(2)如果点 M、N分别在 AB、AC上移动，在移动中保持 AN=BM，请判断OMN的形状，并证明你的结论.例 7.如图，正方形 ABCD 的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上，连接 BE、DG。(1)观察猜想 BE与 DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶

6、角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 请说明理由。2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)例 1.如图,AD是BAC的平分线，M是 BC中点，FM/AD，交 AB于 E。求证：BE=CF。例 2.如图，梯形 ABCD 中，AB/CD，E是 BC的中点，直线 AE交 DC的延长线于 F（1）求证：ABEFCE（2）若 BCAB,BC=10,AB=12,求 AF.例 3.如图，在矩形 ABCD 中，F是 BC上的一点，AF的延长线交 DC的延长线于 G,DEAG于 E，且

7、 DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.（3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等(AAS)例 1.如图，在ABC中,90 C,30 A,分别以 AB、AC为边在ABC的外侧作正三角形 ABE题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 与正三角形 ACD。DE与 AB交于 F。求证:EF=FD。例 2.如图，在ABC中，AB=AC，D、E分别在 BC、AC边上。且BADE,AD=DE 求证：ADBDE

8、C.例 3.如图，在ABC中，延长 BC到 D，延长 AC到 E，AD与 BE交于 F，ABC=45 ，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。（1）AD BD,（2）AE BF （3）AC=BF.4）、三边对应相等的两个三角形全等(SSS)例 1.如图，AB=AC,BE 和 CD相交于 P，PB=PC,求证：PD=PE.题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 2如图，在ABC中,90 C，

9、D、E分别为 AC、AB上的点，且 AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE AB。例 4.如图，在ABC中,M 在 BC上，D在 AM上，AB=AC,DB=DC。求证：MB=MC 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等(H L)例 1.如图，在ABC中,90 C，沿过点 B的一条直线 BE 折叠ABC，使点 C恰好落在 AB变的中点 D处，则A的度 数=。例 2.如图，90CB，M是 BC中点，DM平分ADC。求证：AM平分DAB 例 3.如图，AD为ABC的高，E为 AC上一点，BE交 AD于 F，且 BF=AC,FD=CD.求证：BE AC 题称为真命题错误的命题称为假

10、命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 4.如图，在ABC中,ACB=90 ,D 是 AC上一点，AE BD，交 BD的延长线于点 E，又 AE=21BD，求证：BD是ABC的平分线。三、尺规作图 1、尺 规 作 图 是 指 限 定 用 无 刻 度 的 直 尺 和 圆 规 作 为 工 具 的 作 图。2、尺 规 作 图 举 例 例 1如图，已知AOB和射线O B，用尺规作图法作AO BAOB（要求保留作图痕迹）例 2 已知：ABC（如图）求作：ABC的外

11、接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）例 3.尺规作图：已知直线l和l外一点A，求作A，使A与直线l相切（保留作图痕迹，不必写作法和证明）A O B BOA B C A l题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 4.如图，已知ABC。（1）BC边的垂直平分线（2）作 AC上的高（3）作C的平分线（不写作法，保留作图痕迹）例 5.如图，内宜高速公路OA和自雅路OB在我市相交于点O，在AOB内部有五宝和正紫两

12、个镇CD，若要修一个大型农贸市场P，使P到OAOB，的距离相等，且使PCPD，用尺规作出市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）四、逆命题与逆定理 1、原命题和逆命题的关系：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。例如：条件 结论 原命题：两直线平行，同位角相等。逆命题：同位角相等，两直线平行。2定理、逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。例如：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（1）勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三

13、角形是直角三角形。（真命题）（2）（1）与（2）互为逆定理 例 1.（05 桂林）下列命题中，真命题是（）A B C 题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 例 2.已知下列命题 半圆是弧 若22ambm，则ab 若22xy，则xy 垂直于弦的直径平分这条弦 其中

14、原命题与逆命题均为真命题的个数是（）1 个 2 个 3 个 4 个 例 3.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：(1)罪犯不在A，B，C三人之外；(2)C作案时总得有A作从犯；(3)B不会开车在此案中能肯定的作案对象是（）A 嫌疑犯A B嫌疑犯B C嫌疑犯C D嫌疑犯A和C 3.等腰三角形的判定 1）。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么，这个三角形是等腰三角形。（简单地说：“等角对等边”）2）。勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是等边三角形。例 1（2006 湖南常德）如

15、图 7，P是等边三角形ABC内的一点，连结PAPBPC，以BP为边作60PBQ，且BQBP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（4 分）（2）若:3:4:5PA PB PC，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由（4 分）例 2.如图，在ABC中，AB=AC,BAD=20,且 AE=AD,则CDE=。图 7 Q C P A B 题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 3.如图在 66 的网格（小

16、正方形的边长为 1）中有一个ABC，则ABC 的周长是 。例 3请作一条直线，将下面的三角形分成两个三角形，是每个三角形都是 等腰三角形，并标出相关的数据。4角平分线、线段的垂直平分 1)。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理：到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。2）。垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。例 1如图，在ABC中，90C，AD平分CAB，8cm5cmBCBD，那么D点 到直线AB的距离是 cm 例 2.如图，在ABC中，BC=8cm,AB的垂直平分线交A

17、B于点D，交AC于点E,BCE的周长等于 18cm,则AC的长等于（）(A)6cm (B)8cm(C)10cm (D)12cm 例 3.如图，RtABC中，C=90,CAB=30,用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.A B D C EDABC题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对学习必备 欢迎下载 例 4.如图，已知在 RtABC中，C=90,BD平分ABC,交AC于D.(1

18、)若BAC=30,则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2)若AP平分BAC，交BD于P,求BPA的度数.例 5.如图，ABC中，AB与 AC的垂直平分线相交于 F,且分别交 AB于 D，交 AC于 E。求证：BF=FC.例 6.如图，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN，使 AM BN,按下列要求画图并回答：（1）画MAB、NBA的平分线交于 E,AEB是什么角？（2）过点 E作一直线交 AM于 D，交 BN于 C，观察线段 DE、CE，你有何发现？（3）无论 DC的两端点在 AM、BN如何移动，只要 DC经过点 E，AD+BC 的值是否有变化？并说明理由。ABCCBAPABCD题称为真命题错误的命题称为假命题如如果两个角是对顶角那么这两个用如果开始的部分是题设用那么开始的部分是结论从公理或其他真命题形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形全等三角形性质对