2023年不等式的易错点.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 汉川二中 程涛 一不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘，（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知abc，且0abc 则ca的取值范围是_（答：12,2）2.对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba 则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0则若；baabba则若,0；、baba则若,0；bcbacabac则若,0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是

2、_（答：）；3.设,1x yRxy 则使成立的充分不必要条件是 A 1xy B 1122xy或 C 1x D xb，则下列不等式中恒成立的是（）A.a2b2 B.(21)a 0 D.ba1 正确答案：B。错误原因：容易忽视不等式成立的条件。6.若 ab0，且mbmaba，则 m 的取值范围是（A.mR B.m0 C.m0 D.bm 0，即 x 1 时，原不等式等价于 x2 x 2 0，解得 x 2；当 x 1=0，即 x=1 时，显然)(xg无意义，其解集为 综上所述，原不等式的解集为x|x 2 错因：错解一中，当 x=-1时，原不等式也成立，漏掉了 x=-1这个解原因是忽略了不等式中“”具有

3、相等与不相等的双重性事实上，不等式 f(x)(xg0 与0)(,0)(xgxf或 g(x)=0同解.错解二中分类不全，有遗漏，应补充第三种情况.0)(,0)(xgxf 即当 x l”“=”合成的，故不等式 f(x)(xg 0 可转化为 f(x)(xg 0 或 f(x)(xg=0 分析二：在不等式 f(x)(xg0 中，按 g(x)的取值情况分类，有两种情况：(1)g(x)0时,等式等价于,0)(,0)(xgxf(2)g(x)=0时 只须 f(x)有意义即可.4.设函数 21f xxax，其中0a，解不等式 1f x 错解：不等式 f(x)1，12x1+ax 两边平方，得 x2 +1(1+ax)

4、2,即 x(a2 -1)x+2a0a 0，当 a 1 时，x 0，或 x-122aa；当 0 a 0 可得 x0 正解：不等式 f(x)1，即12x1+ax 由此得 11+ax，即 axO，其中 a 0 原不等式等价于不等式组.0,)1(122xaxx即.0,02)1(2xaxax 当0 a 1时，原不等式的解集为x|0 x212aa;当 a1 时,原不等式的解集为x|x O 5.解不等式21axx aRax错因：分类讨论不完全 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质

5、已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载（答：0a 时，|0 x x；0a 时，1|0 x xxa或；0a 时，1|00 xxxa 或 6.要 使 满 足 关 于x的 不 等 式2290 xxa（解 集 非 空）的 每 一 个x的 值 至2430 xx 和2680 xx 中的一个，则实数a的取值范围是_.（答：817,8）7.设实数,x y满足 2211xy，当0 xyc 时，c的取值范围是_（答：21,8.若对于任意 xR，都有(m2)x22(m2)x40 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。正确答案：(2,2)。错误原因：容易忽视 m2。9.不等 式(1)20 xx 的 解 集 是 A|1x

6、 x B|1x x C|21x xx 且 D|21x xx 或错解：选 B，不等式的等价转化出现错误，没考虑 x=-2的情形。正确答案为 D。三多元不等式的元认知障碍当不等式含有好几个元(变量)时,需将这些元分别虚拟定位为“常量”、“参元”、“变元”等.若定位点不到位,解题时思路常会在原地徘徊不前或进入繁杂的运算程序,从而形成元认知障碍.元的定位问题往往不是绝对的,定位切入点不同,解题的途径也不同,处理好元的定位问题,不但可以开辟问题解决的新途径,给解题带来极大的简便,而且能培养学生的分析问题的思维能力.1.设a、b、c0,2,证明 224abcabc 222abbcca.分析 此不等式有三个

7、元,且每项次数不全相同,学生常因元太多不易定位,而陷入误区,实际上原等式中a、b、c三个元中只有a是一次的,故可将a视作变元,其余b、c视作常量即可解决问题.证明 设2222()4(222)(422)2f aa bcabcabbccabcbc a bcbc .则()f a为关于元a的一次函数,且a、b、c0,2.要 证()f a 0,即 要 证(0)f 0,且(2)f 0.2(0)()fbc 0,且22(2)2(422)2fbcbcbcbc22(2)(2)bc 0.当a、b、c0,2 时,()f a0.即224abcabc 222abbcca 四利用不等式求参数范围时易混淆的概念 不等式的恒成

8、立,能成立（即恒有解）,恰成立等问题：1).恒成立问题 不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）若不等式 f xA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 f xB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 f xA成立,

9、则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 f xB成立,则等价于在区间D上的 minf xB.3).恰成立问题 若不等式 f xA在区间D上恰成立,则等价于不等式 f xA的解集为D；若不等式 f xB在区间D上恰成立,则等价于不等式 f xB的解集为D.1设 1.()lg,f xx若0abf(b)f(c),则下列结论中正确的是 A (a-1)(c-1)0 B ac1 C ac=1 D ac1 错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lgf xx的图象,由图可得出选 D.2.若不等式1112nnan 对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（答：32,2）

10、错解原因是不等式解集的端点值没有考虑清楚 3.已知函数 y=21(3x)52 ax在-1，+）上是减函数，则实数 a 的取值范围（）A a-6 B -60a-6 C -8a-6 D 8a-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于 0 这一隐含条件。4.x 为实数，不等式|x3|x1|m 恒成立，则 m 的取值范围是（）A.m2 B.m2 D.m1，则 y=x+12x的最小值为_ 答案：122点评：误填：4，错因：12xxy122xx，当且仅当12xx即 x=2 时等号成立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范

11、围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 7.设220,0,12baba，则21ab的最大值为 错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由220,0,12baba得：2212ba ，且201b，原式=224213(1)(1)1222bbbb，求出最大值为 1。8.数列an的通项式902nnan，则数列an中的最大项是（）A、第 9 项 B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项 D、第 9 项和第 10 项 答案：D 点评：易误选 A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义

12、域 N*。9、已知 a,bR，且满足 a+3b=1，则 ab 的最大值为_.错解：61错因：由,1)3(2ba得19622baba，191622baab，等号成立的条件是0 ba与已知矛盾。正解：121 10.已知实数 x、y 满足 x2+y2=1，则(1xy)(1+xy)()A.有最小值21，也有最大值 1 B.有最小值43，也有最大值 1 C.有最小值43，但无最大值 D.有最大值 1，但无最小值 正确答案：B。错误原因：容易忽视 x、y 本身的范围。11.数列an的通项式902nnan，则数列an中的最大项是（）A、第 9 项 B、第 8 项和第 9 项 C、第 10 项 D、第 9 项

13、和第 10 项 答案：D 点评：易误选 A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域 N*。六对一元二次不等式与二次函数的图象，二次方程的根之间的关系不能灵活掌握及合理转化应用 1.方程xkxk2250 ()的两根都大于 2，求实数k的取值范围。解：设方程的两根为xx12，则必有 4504)2(2)5(04)2(0)5(4)2(0)2)(2(0)2()2(022121kkkkkkxxxx 说明：此题易犯这样的错误：4222121xxxx ，且x x124和判别式0联立即得k的范左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要

14、条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不学习必备 欢迎下载 围，原因是xx1222和只是xx124的充分条件，即xx124不能保证xx1222和同时成立.2.已知实数 x,y 满足yxyx，则 x 的取值范围是 。答案：40 xxx或 错解：40 xxx或 错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“0y”。3.已知21,xx是方程)(0)53()2(22Rkkkxkx的两个实根，则2221xx的最大值为（）A、18 B、19 C、955 D、不存在 答案：A 错选：B 错因：2221xx化简后是关于 k 的二次函数，它的最值依赖于0所得的 k 的范围。4.若不

15、等式 ax2+x+a0 的解集为，则实数 a 的取值范围（）A a-21或 a21 B a21 C -21a21 D a 21 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。5.不等式 ax2+bx+c 0，解集区间（-21，2），对于系数 a、b、c，则有如下结论：a 0 b 0 c 0 a+b+c 0 a b+c 0，其 中 正 确 的 结 论 的 序 号 是_.正确答案 2、3、4 错因：一元二次函数的理解 6.4ko 是函数 y=kx2kx1 恒为负值的_条件 错解：充要条件 错因：忽视0k时1y符合题意。正解：充分非必要条件 7.设函数862kxky的

16、定义域为 R，则 k 的取值范围是 。A、91kk或 B、1k C、19k D、10k 答案：B 错解：C 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用0。8.若Ryx,，且 2x+8y-xy=0 则 x+y 的范围是 。答案：)18由原方程可得 1810816882,08,0,0,2)8(xxyxxxyxyxxxy则 错解：),18 2,(设xtytyx设代入原方程使用判别式。错因：忽视隐含条件，原方程可得 y(x-8)=2x，则 x8 则 x+y8 9.已 知 xf是 定 义 在,0的 等 调 递 增 函 数，,yfxfxyf且 12 f，则 不 等 式 23 xfxf的解集为 。正确答案：43|xx 错误原因：不能正确转化为不等式组。左右同正不等式两边可以同时乘方或开方已知且则的取值范围是答对于且概念不清正确答案为下列四组条件中甲是乙的充分不必要条件的是甲的取值范围是正确答案错误原因错用分数的性质已知则是的条件充分不