2023年一元二次方程解法大全.pdf

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1、 知识精要 复习引入：1、问题（1）如图，如果ACCBABAC，那么点 C叫做线段 AB的黄金分割点 BCA 如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=_，根据题意，得：_ 整理得：_ 问题（2）绿苑小区住宅设计，准备在每两栋楼房之间开辟面积为 900m2的一块长方形绿地，并且长比宽 多 10 米，则绿地的长和宽各为多少？问题（3）学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册，求这两年的年平均增长率？如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_ 请口答下面问题 （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多

2、项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？总结：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项 2、把方程 ax2+c0(a 0)，这解一元二次方程的方

3、法叫做直接开平方法。小结：直接开平方法适用于)0(2 ddx 形式的一元二次方程的求解。这里的 x 既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变形可以转化为)0(2 ddx形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。3、因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法 因式分解法：是最简单的解一元二次方程的方法，但只适用于左边易分解而右边是零的一元二次方程 即0a b，则00ab或 4、用配方法解一元二次方程 002acbxax的一般步骤是：（1）通过移项、两边同除以二次项的系数，将原方程变形为是已知数、qpqpxx2的形式（2）通过方程两边同加上“一次项系数一半的

4、平方”，将方程q2pxx的左边配成一个关于 x 的完全平方式，方程化为.2222qppx（3）当022qp时，再利用开平方法解方程；当022qp，原方程无实数根。1、判断下列方程是不是一元二次方程：3x2-13y=0；253x=1；2xy-7=0；3x=x2+4；232x+53x；（a-1）x2-13x=6 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 明确一元二次方程必须具备三个条件：方程是一个整式方程；只含有一个未知数；含有未知数的项的最高次数是 2

5、 2、把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再指出其二次项、一次项及常数项 5x2=3x；（2-1）x+x2-3=0；（7x-1）2-3=0；（2x-1）（2x+1）=0；（6m-5）（2m+1）=m2 3、把方程 x2-4x-6=0配方，化为（x+m）2=n 的形式应为 （）（A）（x-4）2=6 （B）（x-2）2=4 （C）（x-2）2=10 （D）（x-2）2=0 4、已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（）Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 5、填空：方程2x-3x2+5

6、 中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 关于 x 的方程（m2-4）x2-（m-2）x-1=0，当 m 时是一元二次方程；当 m 时是一元一次方程 把关于 x 的一元二次方程（m+1）x2-2m（1-x）+1=0化成一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 关于 x 的方程 ax2-2m-3=x（2-x）是一元二次方程，则 a 的取值范围是 6、解下列方程：（1）2(1)9x；（2）23920 xx （3）23920 xx (4)10 x2x30；去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程

7、经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 1、下列关于 x 的方程是否为一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数、一次项系数及常数项 ax2-4x+2=0（a0）；5x2=8px；（m+1）x2-6mx=3m+1；（k2+1）x2+kx-k=9 2、方程（m2-3m 2）x2（m-2）x70，m为何值时是一元二次方程；是一元一次方程 3、x 取什么数时，3x2+6x-8 的值和 2x2-1 的值相等 4、已知 x 是实数，求 y=x2-4x+5 的最小值 运用配方法可为应用非负数的性质创造条件，解题中应注意掌握 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求

8、这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 例 1解方程 x2+x+1=22xx.例 2 已知21xxx a（a0），求2421xxx的值 例 3 如果 a2+b2-4a-2b+5=0，求3abba a的值 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 巩固练习 一、选择题：1、下列关于 x 的方程中，一元二次方程的个数有（）2x2-23x0 1xx=2x

9、-1 kx2-3x+=0 x2-x2（x2+1）-3=0 A0 B1 C2 D3 2、已知关于 x 的方程（k+3）x2-3kx+2k-1=0它一定是（）A一元二次方程 B一元一次方程 C一元二次方程或一元一次方程 D 无法确定 3、下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（）Ak（x2-1）=2x（x+1）B（k2-2）x2-（3k+1）x-5=0 C（k2+2）x2-（3k+1）x-5=0 D23512xx=1 4、方程（x-1）（x+3）=12 化为 ax2+bx+c=0 形式后，a、b、c 的值为（）A1，-2，-15 B1，-2，-15 C1，2，-15 D-1，2，-15 5

10、、下列方程中是一元二次方程的有（）3x2=2x；y2-2x-8=0；22x-x-1=0；2x（x-5）=x（3x+1）；3（x2+1）=6；25y A B C D 6、若方程（m2-1）x2+x+m=0是关于 x 的一元二次方程，则 m的取值范围是（）Am 0 Bm 1 Cm 1 或 m-1 D m 1 且 m-1 7、一元二次方程(x1)2=2 的解 （）.x1=12，x2=1+2 .x1=12，x2=1+2 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形

11、式 .x1=3，x2=1 .x1=1，x2=3 8、若方程bax2)(（b0）的根是（）（A）、ba (B)、)(ba (C)、ba (D)ba 9、已知08)2)(yxyx，则 x+y 的值（）（A）-4 或 2 (B)-2或 4 (C)2或-3 (D)3或-2 10、已知方程06x2qx可以配方成7)(2px的形式，那么26x2qx可以配方成下列的（）（A）5)(2px (B)9)(2px (C)9)2(2px (D)5)2(2px 二、填空题 1、关于x的一元二次方程 423xx的一般形式是 .2、关于 x 的方程（m-1）x2+x+m2+2m 3=0 是一元二次方程的条件是_.3、若关

12、于x的方程mxmxmm4)3()2(2是一元二次方程，则 m的值 4、若49)3(22 mx是完全平方式，则 m的值=。三、解下列方程：x2-10 x+24=0；x2-8x+15=0；(3)12)1x2(4)1x2(2；（4）281(2)16x （5）21(1)2(1)02xx 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 四、已知 a、b、c 是ABC的三边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，判定ABC是正三角形 五、用配方法证明：多项式

13、42241xx的值总大于4224xx的值 方法总结：二次项的系数不为零（a0）是一元二次方程的一个重要条件，也是解答有关一元二次方程问题的一个隐藏条件；判断一个方程是不是一元二次方程，不能只看表面形式，要将方程化成一般形式，看它是否符合一元二次方程的三个条件；任何一个一元二次方程都可化为一般形式，而且，只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项 自我测试 一、选择题 1下列方程属于一元二次方程的是（）（A）22(2)xxx （B）20axbxc （C）15xx （D）20 x 2.若220 xx ，则2222 3()13xxxx 的值等于（）A2 33 B33 C3

14、 D3或33 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 3.若分式2926xx的值为零，则 x 的值为（）A3 B3 或3 C0 D3 4.若 n 是方程20 xmxn 的根，n0，则 m+n等于（）A7 B6 C1 D1 5.方程(x1)(2x+1)=2 化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .6.关于x的方程是(m21)x2+(m1)x2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.7.方程22103xx 左边配成一个完全平

15、方式，所得的方程是 8.（中考题）方程3)3(xxx的解是（）A、1x B、01x 32x C、11x 32x D、11x 32x 9.已知08)2)(yxyx，则 x+y 的值（）（A）-4 或 2 (B)-2或 4 (C)2或-3 (D)3或-2 二用直接开平方法或因式分解法解方程：（1）5x2-52=0 （2）（x+5）2=16 （3）)1(2)1(2xx （4）01)1(4xx （5）24)12(3xxx （6）22)25()1(xx 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式 五、已知 y=2x2+7x 1，当 x 为何值时，y 的值与 4x+1 的值相等？x 为何值时，y 的值与x219 的值互为相反数？六、求证：不论 a 取何值，a2-a+1 的值总是一个正数。证明：七、已知x2xy2y20，且x0，y0，求代数式22225252yxyxyxyx的值 去年年底有图书万册预计到明年年底增加到万册求这两年的年平均增长最高次数是几次有等号吗总结都只含一个未知数它的最高次数都是次的方程经过整理都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式