2023年《复变函数》练习题.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 福师 12 秋复变函数练习题 注：1、本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。一、单项选择题 12sini=()A1()ee i B.1()ee i C1()eei D1ee 答案：D 2函数2()f zz在复平面上()A处处不连续 B.处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点z=0 可导 D.处处连续，仅在点z=0 解析 答案：C 3设C是绕点00z 的正向简单闭曲线，则530()Czdzzz()A2 i B3020 z i C502 z i D 0 答案：C 41C,2C分别是正向圆周1z 与21z,则dzzzidzzeicc

2、z212sin21221()A2 i Bcos2 C0 Dsin2 答案：D 二、填空题 优秀学习资料 欢迎下载 1.设42()f zzz，则(1)fi _。考核知识点：复数代值。2设()(,)(,)f zu x yiv x y是解析函数若(,)u x yy，则()fz _ 考核知识点：解析函数的导数。3.设 C 为正向圆周1z，则dzziCsin121 .考核知识点：柯西积分公式。4幂级数01(-1)2nnnnz的收敛半径为_.考核知识点：幂级数的收敛半径。5.411ii=.考核知识点：复数的乘幂。提示：4441(1)(1)1(1)(1)iiiiiii 6设za为()f z的极点，则lim(

3、)zaf z_ 考核的知识点：函数的极点。7.设2()32f zziz，则()f z的零点个数为 .考核知识点：零点的定义。8.函数3511cos(1)(1)zz在点1z 处的留数为 _.考核知识点：留数的定义。9.方程 z5+4z3-1=0在单位圆|z|2 级极点，则(1)1()lim()()(1)!nnzaz aRes f zzaf zn（这个公式涉及高阶导数公式，并不常用，而更常用一般方法，即）。（二）在无穷远点时 1、当无穷远点为 f(z)的至少二级零点时，留数为 0；3、一般方法，即求函数在无穷远点的罗朗展式的z 的-1次幂项的系数的相反数。（三）留数和定理 若函数在扩充复平面上只有

4、有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，则函数在各点的留数总和为零。f(z)仅有 z=a，z=b 及无穷远点三个孤立奇点，20112.Re()Rezts f zs ftt 1,()()()mzaabzazb11()()()()mmZ bZ aRes f zRes f zbaba续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载 第二讲 知识点：三、利用留数求积分（重点）（一）复积分 1、Cauchy 留数定理 f(z)在围线或复围线 C 所围区域

5、D 内，除naaa,21L外解析，在闭域CDD上naaa,21L外连续，则 1()2Re()inCz aif z dzis f z 四、辐角原理及其应用 1、辐角原理：若函数 f(z)在围线 C 上解析且不为 0，在围线 C 内部除可能有极点外是解析的，则 arg()(,)(,)2Cf zN f CP f C 2、Rouche 定理（又称零点个数比较定理）：函数 f(z)与 g(z)在围线 C 的内部均解析且连续到 C，在 C 上 zgzf,则函数 f(z)与 f(z)+g(z)在 C 的内部有同样多（几级算几个）的零点，即 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收

6、敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载(,)(,)N fg CN f C 第七章 保形变换 1、求将上半平面保形变换为上半平面的分式线性变换a、b、c、d 均为实数且 ad-bc0 2、把上半平面保形变换成单位圆内部，并把上半 z 平面的指定的某一点 a 变为w 平面单位圆的圆心的分式线性变换 izaeza,Im0a 3、把 z 平面的单位圆保形变换成 w 平面的单位圆的保形变换，并使指定的 z 平面的单位圆内某一点 a 变为 w 平面的单位圆圆心的分式线性变换 例题解析：1、1012sinsin1

7、20sinzzzdzi ReszzzziReszz例 9246810(2)(4)(6)(8)(10)2()()()()2()()1208 6 4 28 6 4zzzzzzzdzzzzzzi Res f zRes f zRes f zRes f ziRes f zRes f zii1izaea z 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载 2、2222:2()(1)(1)CdzCxyxyzz例 （二）实积分 3、dR20sin,cos

8、令，则ize 4、1sin20aad 22221221:(1)(1)22()()(1)(1)112(1)(1)()1112242Czz iz izCxydzi Res f zRes f zzzizzziii 11cos,sin,22zzzzdzdiiz201(cos,sin)2Re()iiz aaRdisf z 122112112122221212121,2 2lim()()142211zzzzdzdzIzizzaizaizziaazzizzzzziaaii aa 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确

9、括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载 5、6、()3.()imxP xedxQ x(特别地，分开实、虚部就可以得到()cos,()P xmxdxQ x()sin()P xmxdxQ x 7、8、642.5210zzz 在单位圆内有4 个根。()2.()PxdxQxIm0()2Re()kkzaafx dxis fz2cos420 xxdxxx例22 422 444Re 2420Re 2lim(24)420Recos 22sin2(2cos 2sin2)2(cos 22sin2)2izziizzizeIi Reszzzeizizziee 46()5,()211(

10、)()f zzg zzzzf zg z 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载 9、求把上半 z 平面变为上 w 半平面，且使 0,1,无穷远点变为 1,无穷远点和0 的分式线性变换。方法一 设 ()000,00111011azbL zczdaaccbbddcdcddddz 方法二 由交比不变性 10、求把单位圆变为单位圆，使 1 成为不动点，使 1+i 变为无穷远点的分式线性变换。1izaeaz设1+i关于单位圆的对称点为11i无

11、穷远点关于单位圆的对称点是0，3131414142324232:zzzzzzzz 1001:010111zzz 111,0,11111112,111111112iiiiizziieiizzi 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收优秀学习资料 欢迎下载 11、求将 z 平面的单位圆变为 w 平面的单位圆的分式线性变换w=f(z),并满足：110,arg022ff 解 21212121212134232121arg022iiiizzzeezzfeezzfz 1izaea z 续仅在点续仅解析答案在点设是绕的正向简单闭曲绕的线则分别圆向简周与收敛半径周与收敛为考核知识幂闭识别级数复乘提示根求法三判断题仅确括号内打错互共轭内括两轭考个?核?共轭内?为考核收