2023年《概率论与数理统计》习题及超详细解析答案第三章.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 概率论与数理统计习题及答案 第 三 章 1掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p(01)p，若以X表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X的分布列。解 ()Xk表示事件：前1k次出现正面，第k次出现反面，或前1k次出现反面，第k次出现正面，所以 11()(1)(1),2,3,.kkP Xkppppk 2袋中有b个黑球a个白球，从袋中任意取出r个球，求r个球中黑球个数X的分布列。解 从ab个球中任取r个球共有ra bC种取法，r个球中有k个黑球的取法有krkbaC C，所以X的分布列为 ()kr kbara bC CP XkC，max(0,),max(0,)1,

2、min(,)krarab r，此乃因为，如果ra，则r个球中可以全是白球，没有黑球，即0k；如果ra则r个球中至少有ra个黑球，此时k应从ra开始。3一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1ipii，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布列。解 设iA 第i个零件是合格品1,2,3i。则 1231 1 11(0)()2 3 424P XP A A A ，123123123(1)()P XP A A AA A AA A A 123123123()()()P A A AP A A AP A A A 1 1 11 2 11 1 362 3 42 3

3、42 3 424 ，123123123(2)()P XP A A AA A AA A A 123123123()()()P A A AP A A AP A A A 1 2 11 1 31 2 3112 3 42 3 42 3 424 ，优秀学习资料 欢迎下载 1231 2 36(3)()2 3 424P XP A A A .即X的分布列为 01231611624242424XP .4一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。解 (

4、0)P XP(第一个路口即为红灯)12,(1)P XP(第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯)1 112 24 ，依此类推，得X的分布列为 012311112488XP .5将一枚硬币连掷n次，以X表示这n次中出现正面的次数，求X的分布列。解 X为n重贝努里试验中成功出现的次数，故1(,)2XB n，X的分布列为 1()2nknP XkC 0,1,kn 6一电话交换台每分钟接到的呼叫次数服从参数为 4 的泊松分布，求（1）每分钟恰有 8 次呼叫的概率；（2）每分钟的呼叫次数大于 10 的概率。解 设X为每分钟接到的呼叫次数，则(4)XP （1）84448444(8)0.29778!kkkk qP

5、 Xeeekk （2）4114(10)0.00284.!kkP Xek 7某商店每月销售某种商品的数量服从参数为 5 的泊松分布，问在月初至正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 少库存多少此种商品，才能保证当月不脱销的概率为 0.99977 以上。解 设X为该商品的销售量，N为库存量，由题意 51150.99977()1()1()1!kK NK NP XNP XNP XKek 即 5150.0 0 0 2 3!KKNek 查

6、泊松分布表知115N ，故月初要库存 14 件以上，才能保证当月不脱销的概率在 0.99977 以上。8已知离散型随机变量X的分布列为：(1)0.2,(2)0.3P XP X，(3)0.5P X，试写出X的分布函数。解 X的分布列为 1230.20.30.5XP 所以X的分布函数为 0,1,0.2,12,()0.5,23,1,3.xxF xxx 9设随机变量X的概率密度为 sin,0,()0,cxxf x 其他.求：（1）常数C；（2）使()()P XaP Xa成立的a.解 （1）001()sincos2f x dxcxdxcxc，12c；（2）1111()sincoscos2222aaP X

7、axdxxa ，001111()sincoscos,2222aaP Xaxdxxa 可见 cos0a，2a。10设随机变量X的分布函数为 ()arctanF xABx，x ，求：（1）系数A与B；（2）(11)PX；（3）X的概率密度。正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 解 （1）由分布函数的性质 0()21()2FABFAB 于是 12A，1B，所以X的分布函数为 11()arctan2F xx x ，（2）11111(

8、11)(1)(1)()24242PXFF ；（3）X的概率密度为 21()()(1)f xFxx，x .11已知随机变量X的概率密度为|1()2xf xe，x .求X的分布函数.解 001,0,2()()11,0,22xuxxxue duxF xf u due dxe dux 1,0,211,0.2xxexex 12设随机变量X的概率密度为 ,01,()2,12,0,xxf xxx 其他.求X的分布函数.解 ()f x的图形为 X的分布函数为 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红

9、或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 ()()xF xf u du 01010,0,01,(2),12,1,2.xxxuduxxdxu duxx 220,0,01,221,12,21,2.xxxxxxx 13设电子管寿命X的概率密度为 2100,100,()0,100.xxf xx 若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初 150 小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数Y的分布列；（3）Y的分布函数。解 Y为在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数，(3,)YBp，其中 15021001001(150)3pP Xd

10、xx，（1）所求概率为2323121(2)(2)(3)333P YP YP YC 727；（2）Y的分布列为3312()33kkkP YkC ，0,1,2,3,k 即 01238126127272727YP .0 1 2 x(1，1)f(x)正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 （3）Y的分布函数为 0,0,8,012720(),12,2726,23,271,3.xxF xxxx 14设随机变量X的概率密度为 2,01,()

11、0,.xxf x 其他 现对X进行n次独立重复观测，以nV表示观测值不大于 0.1 的观测次数，试求随机变量nV的概率分布。解 (,)nVB n p，其中 0.10(0.1)20.01pP Xxdx，所以nV的概率分布列为 ()(0.0 1)(0.9 9),0,1kknknnP VkCkn.15设随机变量1,6XU，求方程210 xXx 有实根的概率.解 设A方程有实根，则 A发生240X 即|2X，因1,6XU，所以 A发生2,X 所以 624()(2)0.86 15P AP X.16设随机变量2,5XU，现对X进行 3 次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解 设Y为三次观测中

12、，观测值大于 3 的观测次数，则(3,)YBp，其中 532(3)523pP X，所求概率为 232321220(2)(2)(3)33327P YP YP YC .正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 17设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（单位：分），服从参数为15的指数分布。若等待时间超过 10 分钟，则他就离开。设他一个月内要来银行 5 次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布列及(1)P Y。解

13、 由题意(5,)YBp，其中 25510101(10)5xxpP Xedxee，于是Y的分布为 2255()()(1)0,1,2,3,4,5,kkkP YkCeek 25(1)1(0)1(1)0.5167P YP Ye .18一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数()N t服从参数为t的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作了 8 小时的情况下，再无故障运行 8 小时的概率。解 （1）设T的分布函数为()TFt，则 ()()1()TFtP TtP Tt 事件()Tt表示两次故障的间隔时间超过t，也就是说在时间t内没有发生故障，故()0N t，

14、于是 0()()1()1()0)11,00!ttTtFtP TtP N teet ，可见，T的分布函数为 1,0,()0,0.tTetFtt 即T服从参数为的指数分布。（2）所求概率为 168816,8(16)(16|8)(8)(8)P TTP TeP TTeP TPe.19设随机变量2(108,3)XN。求 （1）(101.1117.6)PX；（2）常数a，使()0.90P Xa；（3）常数a，使(|)0.01PXaa。解 （1）117.6108101.1 108(101.1117.6)()()33PX (3 2)(2 3)(3 2)(2 3)1 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球

15、求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 0.99930.989310.9886；（2）1080.90()()3aP Xa，查表知 1081.283a，所以111.84a；（3）0.01(|)1(|)1(02)PXaaPXaaPXa 21081(),3a 所以 2108()0.993a，查正态分布表知 21082.333a，故 57.495a。20设随机变量2(2,)XN，且(24)0.3PX，求(0)P X。解 420.3(24)()(0)PX ，所以 2()0.8，0

16、222(0)()()1()0.2P X 。21某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。解 9 67 22 40.0 2 3(9 6)1()1()P X 242412()0.977,2,1.所求概率为 8 47 26 07 21 21 2(6 08 4)()()()()PX 122()12 0.841310.6826.22假设测量的随机误差2(0,10)XN，试求在 100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率，并利用泊松

17、分布求出的近似值。正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 解 设Y为误差的绝对值大于 19.6 的测量次数，则(100,)YBp，其中 (|1 9.6)1(1 9.61 9.6)1(1.9 6)pPXPX 22(1.9 6)220.9 7 5 ，所求概率为 1001001003(3)(0.05)(0.95),kkkkP YC 利用泊松定理 1005350.875!kkek.23在电源电压不超过200V，在200240V和超过2

18、40V三种情况下，某种电子元件，损坏的概率分别为 0.1，0.001 和 0.2，假设电源电压X服从正态分布2(220,25)N，试求：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在 200240V的概率。解 设A电子元件损坏，iB 电源电压在第i档，1,2,3i，则 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P AP BP A BP BP A BP BP A B (200)0.1(200240)0.001(240)0.2P XPXP X 200220240220200220()0.1()()0.001252525 2402201()0.225 20202020()0

19、.1()()0.001(1()0.225252525 (10.7881)0.1(20.78811)0.001(10.7881)0.2 0.0641 （2）222()(|)0.005756(|)0.08980.06410.0641P BP A BP BA.24假设随机变量X的绝对值不大于 1；11(1),(1)84P XP X ，在事件 11X出现的条件下，X在(1,1)内任意子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。试求：（1）X的分布函数；（2）X取负值的概率P.解1 设X的分布函数为()F x，则 当 1x 时，()0F x，且1(1)8F ，当 1x 时，()1F x，正面所以袋中有个黑

20、球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 115(11)1848PX ，当 11x 时，由题意 1|11(1)PXxXk x，而 1 11|112PXXk ，所以 12k。于是 1 1|11,2xPXxX 此时 ()1(1)F xPXxF 1 1,118PXxX 1 11(1|118PXPXxX 5115782816xx ，故X的分布函数为 0,1,57(),11,161,1.xxF xxx （2）7(0)(0)(0)16P XFP X.解2 设

21、X的分布函数为()F x，则 当 1x 时，()0F x 且 1(1)8F 当 1x 时，()1F x，当11x 时，设,(1,1)xxx ，且0 x，由题意 (|11)P xXxxXk x ，即 (,11),(11)P xXxxXk xPX 由此得 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 5()8P xXxxk x ，两边同除以x得 ()()5,8F xxF xkx 令0 x 取极限得 5(),8F xk 两边积分得 5()

22、8F xkxC，由1(1)8F 及1 03lim()4xF x 得 15883548kCkC 解之得 71,162Ck 故 5757()161616xxF x，11x 综上所述，X的分布函数为 0,1,57(),11,161,1.xxF xxx （2）7(0)(0)(0).16P XFP X 25已知离散型随机变量X的分布列为 210131111115651530XP 求2YX的分布列.正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载

23、解 Y的分布列为 014917111530530YP .26设随机变量X的概率密度为 ,0,()0,0.xXexfxx 求XYe的概率密度()Yfy 解1 当0 x 时函数xye单调增，反函数为()lnxh yy，于是XYe的概率密度为 ln211,1,1,()()|()|0,1.0,1.yYXyeyyyfyfh yh yyy 解2 设Y的分布函数为()YFy，则 0,1,()()()(ln),1XYyFyP YyP eyP Xyy ln00,1,1,yxye dxyln00,1,1.yxyey ln0,1,0,1,11,1.1,1.yyyyeyy 21,1,()()0,1.YYyyfyFyy

24、 27设随机变量X的概率密度为 21(),(1)Xfxxx 求随机变量31YX 的概率密度()Yfy 解1 函数31yx 严格单调，反函数为3()(1)xh yy，则 263(1)()()|()|,.(1(1)YXyfyfh yh yyy 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 解2 设Y的分布函数为()YFy，则 333()()(1)(1)1(1)YFyP YyPXyPXyP Xy 31(1)XFy，所以 23263(1)(

25、)(1)3(1),(1(1)YXyfyfyyyy 。28设(0,1)XU，求（1）XYe的概率密度；（2）2lnYX 的概率密度。解 X的密度为 1,01,()0,Xxfx 其它.（1）xye在(0,1)上单调增，反函数为()lnh yy，所以Y的密度为 1,1,()0,.Yyeyfy 其他 （2）2lnyx 在(0,1)上单调减，反函数为2()yh ye，所以Y的密度为 21,0,()20,0.yYeyfyy 29设(0,1)XN，求|YX的概率密度。解1 函数|yx在(,0)上单调减，反函数为1()hyy，在0,)上单调增，反函数为2()hyy，所以Y的密度为 1122()|()|()|(

26、)|,0,()0,0.XXYfhyh yfhyhyyfyy 即 222,0,()0,0.yYeyfyy 30 设随机变量X服从参数为 2 的指数分布，试证21XYe 在区间(0,1)上服从均匀分布。证 只须证明Y的分布函数为 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 0,0(),01,1,1.YyFyyyy 220,0()()11,01,1,1XxYyFyP YyPeyP eyyy 0,0,(2ln(1),01,1,1.yPXy

27、yy 120,0,(ln(1).01,0,1.yP Xyyy 120,0,(ln(1),01,1,1.XyFyyy 122ln(1)0,01,011,1yyeyy 0,0,01,1,1.yyyy 31设随机变量X的概率密度为 22,0,()0,.xxf x 其它 求sinYX的概率密度.解1 函数sinyx在(0,2上单调增，反函数为1()arcsinhyy 在(,)2上单调减，反函数为2()arcsinhyy.Y的概率密度为：正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯

28、为红或绿相互独立且优秀学习资料 欢迎下载 2211()(arcsin)(arcsin)11Yfyfyfyyy 22222arcsin122arcsin1,01,110,yyyyy 其他.22,01,10,.yy 其他 解2 设Y的分布函数为()YFy，则 ()()(sin)(arcsinarcsin)YFyP YyPXyP XyXy (arcsin)1(arcsin)P XyP Xy (arcsin)1(arcsin)XXFyFy 所以 2211()(arcsin)(arcsin)11Yfyfyfyyy 22,01,10,yy 其他.32设随机变量X的分布函数()F x连续，且严格单调增加，求()YF X的概率密度.解 设Y的分布函数为()YFy，则 1()()()()YFyP YyP F XyP XFyy，当0y 时()0YFy，当1y 时()1YFy，故 0,0,(),01,1,1.YyFyyyy 于是Y的概率密度为 1,01,()0,.Yyfy 其他 正面所以袋中有个黑球个白球从袋中任意取出个球求个球中黑球个数的时应从开始一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件第个零件是不绿信号灯的路口每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立且