2023年《基本不等式及其变形》超详细导学案1.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 第 9 课时 基本不等式及其变形 1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题.2 了解基本不等式的推广,并会应用.上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程.基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用.问题 1:常见的基本不等式的变形(1)x+2(x0),x+-2(x B.1,b1,且 lg a+lg b=6,则 lg a lg b的最大值为().A.6 B.9 C.12 D.18 3.已知a,b为正

2、实数,如果ab=36,那么a+b的最小值为 ;如果a+b=18,那么ab的最大值为 .4.已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:a2+b2+c2ab+bc+ca.利用基本不等式判断不等关系 若a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).ab 1;+;a2+b2 2;a3+b3 3;+2.定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等学习必备 欢迎下载 基本不等式在证明题中的应用 已知a,b,c都是正数

3、,求证:+a+b+c.利用基本不等式求最值 已知正数x,y满足x2+=1,求x的最大值.已知正数 0a1,0b0,b0,c0,求证:+.下列说法:对任意x0,lg x+2;对任意x R,ax+2;定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等学习必备 欢迎下载 对任意x(0,),tan x+2;对任意x R,sin x+2.其中正确的是().A.B.C.D.1.已知m,n R,m2+n2=100,则mn的最大值是().A.100 B.50 C.20 D.1

4、0 2.若 0a0,a0)在x=3 时取得最小值,则a=.考题变式(我来改编):定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等学习必备 欢迎下载 答案 第 9 课时 基本不等式及其变形 知识体系梳理 问题 1:(3)问题 4:算术平均数 几何平均数 基础学习交流 1.A a+d=b+c,又a、b、c、d均是正数,且不相等,=.2.B a1,b1,lg a0,lg b0,又 lg a+lg b=6,lg a lg b()2=()2=9,故选 B.3.12 8

5、1 根据基本不等式a+b 2=2=12,得a+b的最小值为12.根据=9,即ab 81,得ab的最大值为 81.4.解:a,b,c为两两不相等的实数,a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,以上三式相加:2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca,a2+b2+c2ab+bc+ca.重点难点探究 探究一:【解析】令a=b=1,排除命题;由 2=a+b 2ab 1,命题正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab 2,命题正确;+=2,命题正确.故填.定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅

6、当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等学习必备 欢迎下载【答案】【小结】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.探究二:【解析】a0,b0,c0,+b 2=2a.同理:+c 2b,+a 2c,三式相加得:+a+b+c.【小结】本题的求解关键是分析出要证不等式左、右两边都为和的形式,且左边为分式形式,联想x+2,需添上相应分母形式,即a,b,c三项,这也正是本题的思维障碍点,需要有较强的观察、分析能力.探究三:【解析】x2+=1,2

7、x2+y2=2,x=x =,当且仅当时等号成立,x的最大值是.【小结】本题解题的关键是紧扣已知条件中和为定值展开思路,把代数式中的积利用不等式转化为和,解题障碍在于利用已知条件凑好系数.当然,本题也可利用函数思想求解.思维拓展应用 应用一:D 因为a,b(0,1),ab,所以a+b2,a2+b22ab,所以最大的只能是a2+b2与a+b之一.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 0a1,0b1,所以a-10,b-10,因此,a2+b20,无法确定 lg x0,错;任意x R,ax0,根据基本不等式ax+2,正确;对任意x(0,),有 tan x0,根据基本不等式 tan x

8、+2=2,正确;存在x=-,sin x+=-2,错.选 C.基础智能检测 1.B mn=50,当且仅当m=n=或m=n=-时等号成立.2.B 取特殊值,令a=,b=,2ab=,a2+b2=,因此最大的是b.或2ab=a2+b2,故b最大.3.x,y都为正数,1=x+4y 2=4,xy,当且仅当x=,y=时取等号.4.解:由a,b,c,d都是正数,得:0,0,abcd,即(ab+cd)(ac+bd)4abcd,当且仅当a=b=c=d时,取等号.全新视角拓展 1.D 由基本不等式可得 1=2x+2y 2=2,2x+y,x+y-2,选 D.2.36 x0,a0,f(x)=4x+2=4,当且仅当 4x=,即a=4x2=36 时等号成立.思维导图构建(1)-2(2)2-2(3)(4)定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等学习必备 欢迎下载 定三相等四最值这些过程基本不等式是一种重要的数学工具是集合函数问题基本不等式的推广已知是正数则有调和平均数几何平均数算术平均仅当时等号成立其中叫作这个数的叫作这个数的四个不相等的正数成等