2023年三角与平面向量中档题复习学生版.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 x B C A O y 三角函数与平面向量 三角函数:内容：三角函数、三角恒等变换、解三角形【试题特点】加强对三角函数图象和性质的考查，重点转移到对基础知识和基本技能的考查热点是恒等变换与解三角形，特点是三角形中的三角函数问题要充分重视，解答题考查内容大致可以分为以下四类：（）利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题；（）转化为()sin()f xAx型函数，考查与其图像、性质（如周期性、奇偶性、单调性、最值等）有关问题；（）三角变换及解三角形；（利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题）；（）穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识 试

2、题如下：（）利用三角变换和诱导公式，考查求值、化简问题；1.（08 天津）已知4,2,1024cosxx.（）求xsin的值；（）求32sinx的值.解：（）xsin=54（）5037243sin2cos3cos2sin32sinxxx 2如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为43(,)55，AOC （）求圆O的半径及C点的坐标；（）若1BC，求233cossincos2222的值 解：（）半径1)53()54(22OBr，点 C的坐标为(cos,sin)；（）由（1）可知1OBOCBC，3BOC 学习必备 欢迎下载 233cossincos22

3、22 3sin5BOA 3已知为锐角，且tan()24.（）求tan的值；（）求sin2 cossincos 2的值.解：（）1tan3.（）sin2cossin10cos 210（）转化为()sin()f xAx型函数，考查与其图像、性质（如周期性、奇偶性、单调性、最值等）有关问题；1已知函数 sin,f xAxxR(其中0,0,22A ),其部分图象如图所示.(I)求 fx的解析式;(II)求函数)4()4()(xfxfxg在区间0,2上的 最大值及相应的x值.解：（I）)4sin()(xxf.（II）当4x时，)(xg取得最大值21.2已知函数()sin()(0,|)f xx 的图象如图

4、所示.（）求,的值；（）设()()()4g xf x f x，求函数()g x的单调递增区间.xyO1241题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 解：（）22T，2，（）函数()g x的单调增区间为,(Z)2828kkk 3已知函数()sin()(0 0)f xx，是R上的偶函数，其图象关于点30M，对称，且在区间0，上是单调函数求和的值 解：cos02 333sincos4f ，3cos0，又0，得3k ，012k，2(21)

5、0123kk，当0k 时，23，2()sin3f xx在0，上是减函数；当1k 时，2，()sin 2f xx在0，上是减函数；当2k时，103，()sinf xx在0，上不是单调函数 综上可知，23或2 4设函数1()3sincoscossin()22f xxxxx （）求()f x的最小正周期；（）当0,2x时，求函数()f x的最大值和最小值 解：（）22T，（）当262x，即3x时，)(xf有最大值0，当662x，即0 x 时，)(xf有最小值32 5已知函数xbxaxfcossin)(的图象经过点).1,3(),0,6(（I）求实数a、b 的值；题要充分重视解答题考查内容大致可以分为

6、以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 （II）若2,0 x，求函数)(xf的最大值及此时 x 的值.解：（I）1,3ba （II）由（I）知：)6sin(2cossin3)(xxxxf ,3,66,2,0 xx 2,36xx即当时，)(xf取得最大值.3 12 分 6已知函数.cossin)32cos()(22xxxxf （I）求函数)(xf的最小正周期及图象的对称轴方程；（II）设函数),()()(2xfxfxg求)(xg的值域.解：（I）22T 函数图象的对称轴

7、方程为).(32Zkkx （II）)(xg取得最大值 2，所以)(xg的值域为.2,4 7.已知函数2()sin()(0,0,0)2f xAxA，且()yf x的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.（I）求 （II）计算)2011(.)2()1(fff 解：（I）4.（II）20110125024)2011(.)2()1(fff（3）三角变换及解三角形；（利用正余弦定理和相应的三角变换，考查三角形的边角关系及解三角形与实际应用问题）1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且34C，5sin5A.（）求sin B的值；（）若510ca ，求ABC的面积.题要

8、充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 解：（）（）10sin10B 11105sin10 522102ABCSacB.2（文）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且34C，5sin5A.（）求cos A，sin B的值；（）若2 2ab，求a，b的值.解：（）22 5cos1 sin5AA.则sinsin()sincoscossin444BAAA 2 2 52510252510.（）.2a，2b .3在ABC中，角CB

9、A,所对的边分别为cba,，满足5sin25A，且ABC的面积为2（）求bc的值；（）若6 cb，求a的值 解：（）5bc.（）52a.4 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1a，2c，3cos4C （）求)sin(BA的值；（）求Asin的值；（）求CACB 的值 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 ABCD解：（）47)sin(BA.（）71sin144sin82aCAc.（）33cos1 242CB C

10、ACBCAC .5已知ABC的三个内角A BC，求当A满足何值时cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值 解：cos2coscos2cos22BCAAA 2cos2sin12sin2sin222AAAA (0)A，02A，令sin2At，则(0 1)t，原式可化为221321222ttt 当12t，即26A，A时，原式取得最大值32 6已知点D是Rt ABC斜边BC上一点，且ABAD，记 ,CADABC 1）证明：sincos 20 2）若3ACDC，求的值 略解：1）易知：()cos 2sin224 得证 2）sin()sin3sincos 2ACDC 232 3sinsin30

11、sin 23 7某海岛上一观察哨A上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60的C处，12 时20 分测得船在海岛北偏西 60的 B 处，12 时 40 分船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？分析：本题可培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力和灵活运用正、余弦题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 定理的能力 解：轮船从点C到点B耗时 80 分钟，从点B到点E耗时 20 分钟，而船始终匀

12、速行进，4BCEB 设EBx，则4BCx 在AEC中，由正弦定理sinsinECAEEACC即sin1sin2AEEACCECx 在ABC中，由正弦定理sin120sinBCABC即14sin4 32sin120sin1203xBCCxAB 在ABE中，由余弦定理222312cos303BEABAEAB AE 31(km)3BE 轮船的速度为312093(km/h)360 8 如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方向相距 20 海里 的 B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消 息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船.（）求处于 C 处的乙船和遇险渔船间

13、的距离；（）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与CA成角，求 xxxfcoscossinsin22(xR)的值域.解：（）BC=107.（）710120sin20sin，sin=73 是锐角，74cos xxxfcoscossinsin22=xxxsin75cos74sin73 xf的值域为75,75.9.如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯北 20 10 A B C 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必

14、备欢迎学习必备 欢迎下载 塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，21.414，62.449）解:在ABC 中，DAC=30,ADC=60DAC=30,所 以 CD=AC=0.1 又 BCD=180 60 60=60，故CB是 CAD底 边AD的 中 垂 线，所 以BD=BA，在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB 即 AB=,2062315sinACsin60 因此，BD

15、=。km33.020623 故 B，D 的距离约为0.33km。（）穿插考查函数概念和性质、向量运算等知识 1.在直角坐标系xOy中，已知点(2cos12cos 22)Pxx，和点(cos1)Qx，其中 0 x，若向量OP与OQ垂直，求x的值 解：x或x 2.已知(3 0)A，(0 3)B，(cossin)C，（1）若1AC BC ，求sin 2的值；（2）若13OAOC，且(0)，求OB与OC的夹角 解：（1）5sin29；（2）设OB与OC的夹角为，则6 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及

16、点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 3.设函数 f xa b，其中向量2cos,1ax，cos,3sin 2,bxxxR（）若 13f x 且,3 3x ，求x；（）若函数2sin 2yx的图象按向量,2cm nm平移后得到函数 yf x的图象，求实数m、n的值 解：（）4x （）,1212mmn 4 已知向量)sin,(cos,)sin,(cosxxbxxa （）若baxf)(，求)8(f；（）xxxfxgcossin2)()(，求)(xg的周期和最小值 解：（）224cos)8(f （）22T 当1)42sin(x时，函数)(xg有最小值2 5 在ABC内

17、，,a b c分别为角,A B C所对的边，,a b c成等差数列，且 2ac.(I)求cos A的值；(II)若3 154ABCS，求b的值.解：（I）41cosA（II）3b，.平面向量 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 平面向量概念较多，容易混淆，建议复习时从考查的重点内容（向量概念、线性运算、数量积运算及其几何意义）入手，不仅要强化对知识的准确掌握，还要从数形等多种角度去认识重点内容【试题特点】纵观近几年与平面向量有

18、关的试题，可以发现：北京卷坚持在选择填空题中，考查平面向量的基础知识、基本方法，难度不大，05-09年试题呈现出来的考查内容仅限于平面向量本身，10 年则是以逻辑为载体，试图将向量、函数和简易逻辑进行横向的结合，虽然有所创新，但是考察基础，难度不大的主线不变而以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、解三角形、解析几何知识相结合的综合性问题，在北京卷中尚未出现 一利用平面向量知识解决一些以平面几何图形为背景的问题 一方面平面向量的几何特性为解决这类问题提供的便利的条件，另一方面把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 1

19、 在ABC中，已知4 63AB，6cos6B，AC边上的中线5BD，求sin A的值 解：以 B 为坐标原点，xBC为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点 A 位于第一象限.304 64 64 4 5sin,(cos,sin)(,),63333BBABB由则432 5(,0),(,).63xBCxBD设则22432 5|()()5.63xBD由条件得 142,().3xx 从而舍去),354,32(CA故.1470cos1sin,141439809498091698098|cos2AACABACABAA于是 二.关注以向量的线性运算、平面基本定理为背景的一类问题 1.（2009安徽卷理）给定两个长

20、度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,x yR,求xy的最大值.题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 法 1 设AOC ,OCOAxOA OAyOBOAOCOBxOA OByOBOB，即01cos21cos(120)2xyxy )6sin(2sin3cos120cos(cos2yx 320 656 当26即3时，x+y 有最大值，其最大值为 2

21、 法 2 建系略，设C(cos,sin)，则13=(cos,sin)=(1,0)+(-,)22OCxy yyx23sin21cos，经整理得到sin3cosyx，后略 三 关注与模、数量积相关的一类问题 1.已知(3 0)A，(0 3)B，(cossin)C，（1）若1AC BC ，求sin 2的值；（2）若13OAOC，且(0)，求OB与OC的夹角 解：（1）5sin29；（2）6 2.已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，2 2（）若 ab，求 ；（）求ab的最大值 解：（）4 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考

22、查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载（）ab(sin 1)2(1cos)2 32(sin cos)32 2sin(4)当 sin(4)1 时，|ab|取得最大值，即当 4时，|ab|最大值为 21 3.已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中)2,0(（1）求sin和cos的值（2）若cos53)cos(5，02,求cos的值【解析】（）2 5(0,)sin25,5cos5(2)又 02,2cos2 4.设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc （1）若a与2bc垂直，求tan()

23、的值；（2）求|bc的最大值;（3）若tantan16，求证：ab.解：（1）;2)tan(（2）.2432,2sin1517cossin3017sin16sincos32cos16coscossin2sin22222的最大值，所以最大值为cbcb（3）由即得,coscos16sinsin16tantan ba/,0sinsincos4cos4 5.已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量(,)ma b，(s i n,s inBA，(2,2)pba.题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质

24、向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载（1）若m/n，求证：ABC 为等腰三角形；（2）若mp，边长 c=2，角 C=3，求ABC 的面积.证明：（1）/,sinsin,mnaAbBu vvQ 即22ababRR，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab ABC为等腰三角形 解（2）11sin4 sin3223SabC 四.对向量和其它知识的综合考查 主要是依据平面向量的模、数量积、夹角等公式，通过数与形的转化，实现与其他知识的有机结合，同时考查综合应用知识的能力 三角函数与向量的交汇，通过考查向量的概念与运算，来考查三角恒等变形和求值等问题 1

25、.在直角坐标系xOy中，已知点(2cos12cos 22)Pxx，和点(cos1)Qx，其中 0 x，若向量OP与OQ垂直，求x的值 解：0 x，x或x 2 在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线340 xy 相切（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于AB、两点，圆O内的动点P使PA POPB，成等比数列，求PA PB的取值范围 解：（1）422yx（2）2,0)PA PB 3 已知两定点 122,0,2,0FF，满足条件212PFPF的点P的轨迹是曲线E，直线1ykx与曲线E交于,A B两点（）求k的取值范围；题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关

26、系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载（）如果6 3AB，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC，求m的值和ABC的面积S 解：（）21k （）4m ，但当4m 时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 4m，点C的坐标为 5,2 116 3323S 4.在平面直角坐标系xOy中，有一个以 10,3F和 20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点P 处的切线与xy、轴的交点分别为 A、B，且向量OMOAOB。求：（）点 M 的轨迹方程；（）OM的最

27、小值。.解:点 M 的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x1,y2)()|OM|2=x2+y2,y2=411x2=4+4x21,|OM|2=x21+4x21+54+5=9.且当 x21=4x21,即 x=31 时,上式取等号.故|OM|的最小值为 3.5.已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AF FB（0）过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明FM AB为定值；（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf()的表达式，并求 S 的最小值 解：()由已知条件，得 F(0，1)，0 题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及

28、解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由AF FB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1 x2 1y1(y21)将式两边平方并把 y114x12，y214x22 代入得 y1 2y2 解、式得 y1，y21，且有 x1x2 x224 y24，抛物线方程为 y14x2，求导得 y 12x 所以过抛物线上 A、B 两点的切线方程分别是 y12x1(xx1)y1，y12x2(xx2)y2，即 y12x1x14x12，y12x2x14x22 解出两条切线的交点 M 的坐

29、标为(x1x22，x1x24)(x1x22，1)4 分 所以FM AB(x1x22，2)(x2x1，y2y1)12(x22x12)2(14x2214x12)0 所以FM AB为定值，其值为 0 7 分()由()知在ABM 中，FMAB，因而 S12|AB|FM|FM|(x1x22)2(2)214x1214x2212x1x24 y1y212(4)4 12 1 因为|AF|、|BF|分别等于 A、B 到抛物线准线 y1 的距离，所以|AB|AF|BF|y1y22 12(1)2 于是 S12|AB|FM|(1)3，由 12 知 S4，且当 1 时，S 取得最小值 4 题要充分重视解答题考查内容大致可

30、以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎学习必备 欢迎下载 6 已知点(2,0),(2,0)MN，动点P满足条件|2 2PMPN.记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若,A B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值.（）由|PM|PN|=2 2知动点 P 的轨迹是以,M N为焦点的双曲线的右支，实 半轴长2a 又半焦距 c=2，故虚半轴长222bca 所以 W 的方程为22122xy,2x （）设 A，B 的坐标分别为11(,)x y,22(,)xy 当 ABx

31、轴时,12,xx从而12,yy 从而221212112.OA OBx xy yxy 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为ykxm,与 W 的方程联立,消去 y 得 222(1)220.kxkmxm 故1222,1kmxxk 21222,1mx xk 所以 1212OA OBx xy y 1212()()x xkxm kxm 221212(1)()kx xkm xxm 2222222(1)(2)211kmk mmkk 22221kk2421k.又因为120 x x,所以210k ,从而2.OA OB 综上,当 ABx轴时,OA OB取得最小值 2.题要充分重视解答题考查内容大致可以分为以下四类利用三角变换和诱角形的边角关系及解三角形与实际应用问题穿插考查函数概念和性质向求圆的半径及点的坐标若求的值解半径点的坐标为由可知学习必备欢迎