2023年七年级上数学第三章一元一次方程应用题.pdf

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1、优秀学习资料 欢迎下载 实际问题与一元一次方程【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；能熟练找出相等关系并列出方程 2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题，利润，存贷款，数字及方案设计问的解题思路【要点梳理】知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题 分析抽象方程 求解检验解答由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列

2、方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚 知识点二、常见列方程解应用题的几种类型 1和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量 ，现有量 +，现有量 -（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等 【典型例题】类型一、和差倍分问题 1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%

3、，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？类型二、行程问题 优秀学习资料 欢迎下载 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程 时间 速度 .（2）基本类型有：相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间 寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离 追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追

4、及时间 寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程 航行问题：基本量及关系：顺流速度=+，逆流速度=，顺水速度逆水速度 水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析 常见的还有：环形跑道、时钟问题。1.车过桥问题 2.某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度 举一反三：【变式】

5、某要塞有步兵 692 人，每 4 人一横排，各排相距 1 米向前行走，每分钟走 86 米，通过长 86 米的桥，从第一排上桥到排尾离桥(如图所示)需要几分钟？2.相遇问题（相向问题）3小李骑自行车从 A地到 B地，小明骑自行车从 B地到 A地，两人都匀速前进.已知两人在上午 8 时同时一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12 点，两人又相距 36 千米.求 A、B两地

6、间的路程.举一反三：【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 A站 34km，已知甲车的速度是 70km/h，乙车的速度是 52km/h，求 A、B两站间的距离.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 2 小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理 15 分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度 举一反三：【变式】一队学生去校外进行军事野营训练，他们以 5 千米/时

7、的速度行进，走了 18 分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以 14 千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少小时可以追上学生队伍?4.航行问题（顺逆风问题）5(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5 千米/时的航段，从 A地上船，沿江而下至 B地，然后溯江而上到 C地下船，共乘船 4 小时已知 A、C两地相距 10 千米，船在静水中的速度为 7.5 千米/时，求一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习

8、资料 欢迎下载 A、B两地间的距离 举一反三：【变式】某船从 A码头顺流航行到 B码头，然后逆流返行到 C码头，共行 20 小时，已知船在静水中的速度为 7.5千米/时，水流的速度为 2.5 千米/时，若 A与 C的距离比 A与 B的距离短 40 千米，求 A与 B的距离。5.环形跑道与时钟问题 6 环城自行车赛，最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人，已知最快的人的速度是最慢的人速度的 3倍，环城一周是 20 千米，求两个人的速度.举一反三：【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按ABCDA方向，甲从A以65m/min的速度，乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲

9、时，在正方形的哪一条边上?7在 6 点和 7 点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 举一反三：【变式】在 3 时和 4 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：重合；成平角；成直角；类型三、工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=；（2）总工作量=各单位工作量之和 8一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；

10、单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?举一反三：【变式】收割一块水稻田，若每小时收割 4 亩，预计若干小时完成，收割23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的112倍，因此比预计时间提早 1 小时完成，求这块水稻田的面积 类型四、调配问题（1）配套问题：这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。（2）劳力调配问题 这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：既有调入又有调出；一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什

11、么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。（3）比例分配问题 比例分配问题的一般思路为：设其中一份为 x，利用已知的比，写出相应的代数式。常用等量关系：各部分之和=总量。4.1 配套问题 9星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每 3m长的某种布料可做上衣 2 件或裤子 3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用 750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?举一反三：【变式】机械厂加工车间有 85 名工人，

12、平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？4.2 劳力调配问题 10甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调 100 人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的 6 倍；如果从甲车间调 100 人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。4.3 比例分配问题 11甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4：3；乙、丙之比为 6：5，又知甲与丙的和比乙的 2 倍多 12 件，求每个人每天生产多少件？一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应

13、用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 举一反三：【变式】一份试卷共有 25 道题，每道题都给出了 4 个答案，其中只有一个正确答案，每道题选对得 4 分，不选或错选倒扣 1 分，如果一个学生得 90 分，那么他做对了多少道题。类型五、利润问题（1）销售问题中常出现的量有：进价(或成本)、售价、标价（或定价）、利润等。（2）利润问题常用等量关系：商品利润 商品标价 商品进价 商品利润率 100%100%（3）商品销售额 .商品的销售利润（销售价成本价）.（4）商品打几折出售

14、，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售即商品售价=折扣率 12以现价销售一件商品的利润率为 30%，如果商家在现有的价格基础上先提价 40%，后降价 50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？举一反三：【变式 1】某个商品的进价是 500 元，把它提价 40%后作为标价.如果商家要想保住 12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下

15、载 【变式 2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价 类型六、存贷款问题（1）利息=.（2）本息和（本利和）.（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息利息税率（5）年利率月利率12 13爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为 2.7，五年后取出本息和为 17025 元，爸爸开始存入多少元.类型七、数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数。1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9，0 b9，0 c9），

16、则这个三位数表示为：2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，奇数用 2n+1 或2n1 表示。14一个三位数，十位上的数是百位上的数的 2 倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大 2，又个位、十位、百位上的数的和是 14，求这个三位数.一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 举一反三：【变式 1】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 4，这个两位数又是这两个数字的和的 4

17、倍，求这个两位数.【变式 2】一个三位数三个数字之和是 24，十位数字比百位数字少 2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数。类型八、方案设计问题 8方案问题 选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论 15.为鼓励学生参加体育锻炼学校计划拿出不超过 1600 元的资金再购买一批篮球和排球已知篮球和排球的单价比为 3:2，单价和为 80 元 (1)篮球

18、和排球的单价分别是多少元?(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是 36 个，且购买的篮球数量不少于 26 个请探究有哪几种购买方案?一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 举一反三：【变式】某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元，经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元，经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加

19、工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好 15 天完成 你认为哪种方案获利最多？为什么？类型九、等积变形问题。等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Sh2r h

20、 长方体的体积 V长宽高abc 16.已知圆柱的底面直径是 60 毫米，高为 100 毫米，圆锥的底面直径是 120 毫米，且圆柱的体积比圆锥的体积多一半，求圆锥的高是多少？类型十、年龄问题 大小两个年龄差不会变 17.今年哥俩的岁数加起来是 55 岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 举一反三：【变式】兄弟二人今年分别为 15

21、 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？类型十一、溶液配制问题。18.有浓度为 98%的硫酸溶液 8 千克，加入浓度为 20%的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度为 60%的硫酸溶液。举一反三：【变式】某中学的实验室需含碘 20%的碘酒，现有含碘 25%的碘酒 350 克，应加纯酒精多少克？类型十二、探寻规律类 19、有一列数字按照一定规律排列，3、-9、27、-81。在这列数字中相邻三个的和 140，求这三个数。问题中的规律在于前一个数乘以-3等于后一个数。根据这一规律，及和为 140 这个等量关系可以设第一个数为 X，列方程为 举一反三：【变式 1】在某一月份日历中，圈出任意四天

22、，这四天日期之和为可能是 45 吗？日历中的规律是：横排日期后一个数比前一个大 1，竖排下一个日期比上一个大 7，圈出的正方形对角线数字和相等。根据这一规律，可以设 为 X，列出方程 ，解出的值不符合题意说明 。一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载【变式 2】有一些分别标有 5,10,15,20,25的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大5，小明拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数之和为 240。（1）小明拿到了

23、哪 3 张卡片？（2）你能拿到相邻的 3 张卡片，使得这些卡片上的数之和是 63 吗？类型十三、图表类 20、在 20XX年 8 月的日历中(如图(1)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 a，则用含 a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是。举一反三：【变式 1】现将连续自然数 1 至 2006 按图中(如图(2)的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出 16 个数。在图（2）中框出的这 16 个数的和是。在图(2)中，要使一个长方形框出的 16 个数之和分别等于 2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的 16 个数中的最小数和最大

24、数。思路点拨：(1)通过观察可以发现，一竖列上相邻的三个数，下面的数总比上面的数大_；(2)经观察不难发现，在这个长方形框里的 16 个数中，第一个数_与最后一个数_的和为_，第二个数与倒数第二个数，第三个数与倒数第三个数，它们的和都是_；设最小的数为 a，由图（2）及（1）可知，这 16 个数分成 8 组，每组的两个数之和都是_。一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可优秀学习资料 欢迎下载 【变式 2】小明家使用的是分时电表，按平时段（6：002

25、2：00）和谷时段（22：00次日 6：00）分别计费，平时段每千瓦时电价为 0.61 元，谷时段每千瓦时电价为 0.30 元。小明将家里 20XX年 1 月至 5 月的平时段和谷时段的用电量分别用折线图表示（如下图），同时将前 4 个月的用电量和相应电费制成表格（如下表）。根据上述信息，解答下列问题：（1）计算 5 月份的用电量及相应的电费，将所得结果填入表中；（2）小明家这 5 个月的平均用电量为_千瓦时；（3）小明家这 5 个月每月用电量是_趋势（选择“上升”或“下降”）；这 5 个月每月电费呈_趋势（选择“上升”或“下降”）；（4）小明预计 7 月份家中用电量很大，估计 7 月份用电量可达 500 千瓦时，相应电费将达 243 元，请你根据小明的估计，计算出 7 月份小明家平时段用电量和谷时段用电量 解析：月用电量（千瓦时）电费（元）1 90 51.80 2 92 50.85 3 98 49.24 4 105 48.44 5 项目 月份（月）一用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路们之间的关系寻找等量关系设就是设未知数一般求什么就设什么为但时是指检验方程的解是否符合实际意义当不符合的解时及时指出舍去即可