2023年20.3高中数学奥数培训最全面精品资料之二次函数111.pdf

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1、精品资料 欢迎下载 兰州成功私立中学高中奥数辅导资料（内部资料）5 二次函数(1)二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax

2、2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴 x=-b/2a，f(-b/2a+x)=f(-b/2a-x)，xR），单调区间（-，-b/2a），-b/2a,+、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（b2-4ac）与 X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。一、“四个二次型”概述 （一元）二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)a=0 （一元）一次函数 y=bx+c(b 0)（一元）二次三项式 ax2+bx+c(a 0)a=0 一次二项式 bx+c(b 0)一元二次方程 ax2+b

3、x+c=0(a0)a=0 一元一次方程 bx+c=0(b0)一元二次不等式 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0 或 bx+c0 或 y0精品资料 欢迎下载 或 ax2+bx+c0（a0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活

4、运用，使学习事半功倍。二、二次函数的解析式 上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数 a0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。y=ax2+bx+c(a0)中有三个字母系数 a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母 a、b、c 的取值。三个未知数的确定需要 3 个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。二次函数有四种待定形式：1标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a 0)2顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.(a 0)3两根式（

5、零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a0)4三点式：（见罗增儒高中数学竞赛辅导）过三点 A（x1,f(x1)）、B（x2,f(x2)）、C（x3,f(x3)）的二次函数可设为 f(x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把 ABC 坐标依次代入，即令 x=x1,x2,x3,得 f(x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，f(x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，f(x3)=a3(x3-x1)(x3-x2)解之，得：a1=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)，a2=f(x2)/(x2-x1)(x2-x3)，a3=f(x

6、3)/(x3-x1)(x3-x2)从而得二次函数的三点式为：f(x)=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)(x-x2)(x-x3)+f(x2)/(x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x3)+f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)(x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。例题讲解 元素与集合的关系 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 1.集合A=42|2

7、xxyy，B=axaxyy42|2，AB，求实数a的取值集合 2.考察所有可能的这样抛物线22baxxy，它们与坐标轴各有三个不同的交点，对于每一条这样的抛物线，过其与坐标轴的三个交点作圆证明：所有这些圆周经过一定点 3.抛物线cbxxy2的顶点位于区域 10.10|),(yxyxG内部或边界上，求b、c的取值范围 4.设x=p时，二次函数)(xf有最大值 5，二次函数)(xg的最小值为2，且p0，)(xf+)(xg=13162 xx,)(pg=25求)(xg的解析式和p值 5.已知 0 x1,)(xf=)0(22aaaxx,)(xf的最小值为m（1）用a表示m；（2）求m的最大值及此时a的值

8、 6函数)(xf=4943322mxx，xm,1m,该函数的最大值是 25,求该函数取最大值时自变量的值 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 7一幢k（2）层楼的公寓有一部电梯，最多能容纳k1 个人，现有k1 个学生同时在第一层楼乘电梯，他们中没有两人是住同一层楼的电梯只能停一次停在任意选择的一层 而对每一个学生而言，自已往下走一层感到一分不满意，而往上走一层感到 2 分不满意，问电梯停在哪一层，可使不满意的总分达到最小？8已

9、知方程)1()1(222xaax，其中a1，证明：方程的正根比 1 小，负根比 1大 9若抛物线22axxy与连接两点M（0，1），N（2，3）的线段（包括M、N两点）有两个相异的交点，求a的取值范围 10 设1x2x3x4x2，且2x3x4x1x，证明：4321243214)(xxxxxxxx 11定义在R上的奇函数)(xf，当x0 时，)(xf=xx22另一个函数y=)(xg的定义域为a,b,值域为ab1,1,其中ab,a、b0在xa,b上,)(xf=)(xg问:是否存在实数m,使集合|),(,),(|),(2mxyyxbaxxgyyx恰含有两个元素?反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数

10、学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 课后练习 1 已知二次函数的图象过（1,6），（1，2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。2二次函数的图象通过点（2，5），且它的顶点坐轴为（1，8），求它的解析式 3已知二次函数的图象过（2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为 125/4，求它的解析式。4已知二次函数经过 3 点 A（1/2，3/4）、B（1,3）、C（2,3），求解析式。5当 X为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-a

11、n)2取最小值。6已知 x1,x2是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：（）（A）19；（B）18；（C）50/9 (D)不存在 7已知 f(x)=x2-2x+2，在 x t,t+1 上的最小值为 g(t)，求 g(t)的表达式。反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 8（1）当 x2+2y2=1 时，求 2x+3y2的最值；（2）当 3x2+2y2=6x 时，求 x

12、2+y2的最值。课后练习答案 1 解法一：用标准式 图象过三点（1,6）、（1，2）、（2,3）可设 y=f(x)=ax2+bx+c，且有 a-b+c=6，a+b+c=2，4a+2b+c=3 解之得：a=1，b=2，c=5 所求二次函数为 y=x2+2x-5 解法二：用三点式 图象过三点（1，6），（1，2），（2,3）可设 y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2 a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)计算可得：a1=6/(11)(12)=1，a2

13、=2/(11)(12)=1，a3=3/(21)(21)=1 f(x)=x22x5 2 解：它的顶点坐标已知 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 可设 f(x)=a(x1)28，又函数图象通过点（2，5），a(21)28=5，解之，得 a=3 故所求的二次函数为：y=3(x1)28 即：y=f(x)=3x26x5 评注，以顶点坐标设顶点式 a(x-h)2+k，只剩下二次项系数 a 为待定常数，以另一条件代入得到关于 a 的一元一

14、次方程求 a，这比设标准式要来得简便得多。3 解：（2,0）和（3,0）是 X轴上的两点，x12，x23 可设 y=f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6)=a(x-1/2)2-25/4=a(x-1/2)2-25/4a 它的顶点的纵坐标为25/4a，25/4 a=125/4，a=5 故所求的二次函数为：f(x)=5(x+2)(x-3)=5x2+5x+30 想一想：本例能否用顶点式来求？4 分析 本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求 a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。解法一：顶点式：由二次函数的对称

15、性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点 A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:f(x)=a(x-(1/2)2+(3/4)把 B或 C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1，f(x)=(x-(1/2)2+3/4=x2-x+1 解法二 由 B、C的纵坐标相等可知 B、C两点是函数 y=f(x)与直线 y=3 的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程 f(x)=3即 f(x)-3=0的两个根故可设零点式为：f(x)-3=a(x+1)(x-2)把 A点坐标代入，有 f(1/2)-3=a

16、(1/2+1)(1/2-2)，即9/4=9/4a，a=1 从而 f(x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 5.解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2)当 x=(a1+a2+an)/n)时，f(x)有最小值。反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 评注：1994 年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物

17、理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得 n 次测量分别得到 a1、a2、，an共 n 个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其它近似值比较，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，从 a1,a2,an推出 a=读者从 5 的解答中，能否悟到解决此题的灵感？6解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 x12x22（x1x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 如果由此得 K-5 时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该 x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须

18、有实数根才行，而此时方程的判别式0，即 (k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4k-4/3 k=-5-4,-4/3，设 f(k)=-(k+5)2+19 则 f(-4)=18,f(-4/3)=50/918 当 k=-4时，(x12+x22)max=18，选（B）评注：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。7 解：f(x)=(x-1)2+1 (1)当 t+11 即 t1 时，g(t)=f(t)=t2-2t+2 综合（1）、（2）、（3）得：8解：（1）由 x2+2y2=1 得 y2=1/2(1-

19、x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6)又 1-x2=2y20，x21，1x1 当 x=2/3 时，y=(10)/6，（2x+3y2）max=16/3；反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 当 x=-1 时，y=0，（2x+3y2）min=2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2(x-3)

20、2+9/2 又 y2=(3/2)x(2-x)0，得 0 x2 当 x=2，y=0 时，（x2+y2）max=4；当 x=0，y=0 时，(x2+y2)min=0 例题答案：1解：A、B分别表示函数422xxy与函数axaxy422的值域由3)1(4222xxx3 知A=3，）而B受参数a的影响，要进行讨论 a=0 时，xy2，值域是R符合条件AB a0 时，)(xf=axax422是二次函数，如果a0，该函数的值域为aa14,，这时A B不成立如果a0 时，由3，aa14，,得反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次

21、函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 314 0aaa 0a1 综上所述,a的可取值集合为a|0a1。说明：参数a的取值决定了函数)(xf=axax422的类别及性质，因而对该函数的值域有影响为了由AB求出a的允许值范围，必须对参数a分情况讨论 2证明：设抛物线22baxxy与x轴的交点为（1x，0）、（2x，0）由韦达定理知221bxx0 (因为b=0,则axxy2与坐标轴只有两个不同的交点),故点（1x，0）、（2x，0）在坐标原点的两侧又因为1|221bxx，由相交弦定理的逆定理知，点（1x，0）、（2x，0）、（0，2b），（0，1）在

22、同一个圆周上，即过抛物线与坐标轴的三个交点（1x，0）、（2x，0）、（0，2b）的圆一定过定点（0，1）于是所有的这些圆周均经过一定点（0，1）3 解：抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为（44,22bcb），故 1440 1202bcb 144 0222bcbb，上式即为b、c的取值范围 4解：由题设)(pf=5，)(pg=25，)()(pgpf=13162pp，所以 13162pp=30，解得 p=1（p=17 舍去）由于)(xf在x=1 时有最大值 5，故设)(xf=0,5)1(2axa 所以 )(xg=13162 xx)(xf=axaxa8)8(2)1(2，因)(xg的最小值为2，故2

23、)1(4)3(4)8)(1(42aaaa,所以2a从而)(xg=101232 xx 5 解：（1）把)(xf改写成)(xf=42)2(22aaax 于是知)(xf是顶点为（42,22aaa），开口向上的抛物线又因为x0,1,故当 02a1，即 0a2 时，)(xf的最小值为反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 42)2(2aaaf；当2a1,即a2 时，)(xf有最小值21)1(af于是)2(,21)20(,422aaaaam（

24、2）当a2 时，21a的值小于 0，而当 0a2 时，422aa=41)1(412a，它的最大值为41（当a=1 时取得），故m的最大值为41，此时a=1 说明：对于某些在给定区间上的二次函数最值问题，往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑 6 分析：限定在区间m,1m上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况 当x可取任意实数时，二次函数4943322mxx的图象是对称轴为21x开口向下的抛物线，21与区间m,1m的位置关系决定了已知函数的单调状况，因此要分区间讨论 当21 m,1 m,即2321m时,最 大 值 应 是34)21(2mf 由342m=25,m2=222|211m得,不符合

25、2321m的条件可见m23,21 当211m,即m23时，函数)(xf=4943322mxx，xm,1m是增函数，可见254159)1(2mmmf，解之得m=25或m=223 其中m=223不合m23的条件，舍去可见 1m=125=23 当21m，即m21时,函数)(xf=4943322mxx是m,1m是减函数,可见25493)(2mmmf,解之得m=27或m=213其中m=27不合m21的条件,舍去,由此知m=213 综上所述,当x=23或x=213时,函数)(xf有最大值 25 说明：由点21与区间m,1m的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用 本题中虽然只是求函数取最大值时的

26、自变量x的值，没有问m的值，但这个x值与m值有直接关系，所以要先求m再求x 7解：设电梯停在第x层，则不满意的总分为S=（12x2）2（12k反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 x）=1)54(32122kkxkx,所以当x=)654(kN时，S最小，其中)(aN表示最接近于a的整数例如,4)6.3(,3)3(NN32)5.2(,2)1.2(或 NN,故当电梯停在)654(kN时，不满意总分最小 8证明：原方程整理后，得222

27、122aaxxa=0，令)(xf=222122aaxxa，则)(xf是开口向上的抛物线，且01)0(2af，故此二次函数)(xf=0 有一个正根，一个负根 要证明正根比 1 小，只须证0)1(f，要证明负根比 1 大，只须证)1(f0 因为0)1(122)1(0)1(122)1(222222aaaafaaaaf 从而命题得证 9解：易知过两点（0，1）、（2，3）的直线方程为1xy，而抛物线22axxy与线段MN有两个交点就是方程22 axx1x在区间0，2上有两个有两个不等的实根令1)1()(2xaxxf则 032)2(,01)0(04)1(,22102affaa解得a的范围为23a1 说明

28、：利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段 10证明：令a2x3x4x,432xxxb,则原不等式为bxax1214)(,即2121)2(2axbax=0，令)(xf=22)2(2axbax,则只需证明)(1xf0因)(164)2(422abbaba，而424332432432111xxxxxxxxxxxxba143414141，所以ab,从而0，)(xf与x轴有两个不同的交点易知这两个交点为)(22)(22abbabvabbabu，下证1xvu,331axa,3 1aax，只需证aa,3vu,即vaau,3,由于aababbabv2)(22，3)3134()1()()()(2

29、22222aaababaabbaabbabbabu所以1xvu,，从而必有)(1xf0 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 解法二：只需证明)(1xf0，而axa13，因此只需证0)3(,0)(afaf而)(4)(baaaf，)34(94)3(baaaf，由43ba可证得0)3(,0)(afaf 说明：通过构造二次函数，然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题，往往会使问题简化 11分析：mxyyx2|),(是以y轴为对称轴

30、由y=2x的图象平移所形成的抛物线系 对给定的m它表示一条抛物线，条件|),(,),(|),(2mxyyxbaxxgyyx恰含有两个元素的意思是函数y=)(xg，xa,b的图象与抛物线mxy2恰有两个交点首先要弄清楚y=)(xg，xa,b，进而作出它的图象 容易求出奇函数y=)(xf在x0 时的解析式是)(xf=xx22即)(xf=)0(2)0(222xxxxxx 函数y=)(xg的定义域为a,b,值域为ab1,1,其中ab,a、b0，这表明 abba11 可见a、b同号也就是说y=)(xg，xa,b的图象在第一或第三象限内 根据)(xf=)(xg（xa,b以及)(xf的图象可知，函数)(xg

31、的图象如所示曲线的一部分 值域与函数的单调状况有关，又与定义域有关如果只考虑 0ab2 或2ab0 两种情况，不能准确地用,a、b表示出值域区间的端点，因此要把区间（0，2），（2，0）再分细一些，由图中看出，当a、b0 时，考虑以下三种情况较好0ab1，0a1b，1ab2 如果 0ab1，那么a11但是x（0，1时，)(xf1,这与)(xg的值域区间ab1,1的右端点大于 1 矛盾可见不出现 0ab1 的情形 如果 1ab2，由图看出)(xg是减函数，可见aaagabbbgb2)(12)(122整理得 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌

32、握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 0)1)(1(0)1)(1(22bbbaaa，考虑到 1ab2 的条件，解之得251 1ba 完全类似地，考虑到1ab0，2a1b0，2ba1 三种情况后,可以在2ba1 的情况下通过值域条件得出 1251ba，这就得到了函数)1251(2 )2511(2)(22xxxxxxxg 对于某个m，抛物线与函数)(xg的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限因此，m应当使方程xxmx222，在1，251内恰有一个实数根，并且使方程xxmx222，在1,251内恰有一个

33、实数根 问题归结为求m，使)2(1,251 21 )1(251,1 0222内恰有一个实根在内恰有一个实根在mxmxx由（1）得，方程mxx222在251,1 内恰有一根，设222)(xxxh，则)1()251(hmh即02m，由（2）得121251m，即251m，m2易证，抛物线22xy与函数)(xg图象恰有两个交点（1,1）和（)215,215 综上所述：题目条件下的实数m2 说明：解题过程可分为“求函数)(xfy”，“求函数)(xgy”，“求m”三个阶段求函数)(xgy 的关键步骤是求ba,的值运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程，最终把求m的问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题 可以看出，当m(2,0)时,抛物线mxy2与函数)(xgy 的图象在第一象限内反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项精品资料 欢迎下载 有一个交点,当m2,51时,在第三象限内有一个交点 反复的讨论与练习它对近代数学乃至现代数学影响深远为历年来高考数命题对象因此必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质学习二次函数的一四个二次型概述一元二次函数一元一次函数一元二次三项式一次二项