山西省运城市重点中学2023届高三第二次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回

2、。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）AB9C7D2过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，若，则的最小值是（ ）A1B2C3D43已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD4在中，在边上满足，为的中点，则（ ）.ABCD5第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长

3、方形奥运会旗内随机取N个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个，已知圆环半径为1，则比值P的近似值为( )ABCD6（ ）ABCD7已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）AB2CD38 “”是“直线与互相平行”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（ ）AB2C1D310若不相等的非零实数，成等差数列，且，成等比数列，则（ ）ABC2D11如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）A，B存在点，使得平面平面C平面

4、D三棱锥的体积为定值12双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）AB3CD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是_.14若，则_.15已知平面向量，且，则向量与的夹角的大小为_16设，则_，（的值为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.（1）求的极值点与极值.（2）当，时，证明：.18（12分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值

5、范围19（12分）设数列是等比数列，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式20（12分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）.（1）请分别写出、的表达式；（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.21（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数的导函数为

6、，求证：函数有且仅有一个零点22（10分）在四棱柱中，底面为正方形，平面（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，故的最大值为，故选B考点：圆与圆的位置关系及其判定【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值2、C【解析】设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的

7、关系得，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，代入得：.由根与系数的关系得，所以.又直线CD的方程为，同理，所以，所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.3、D【解析】由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解

8、答案.【详解】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.4、B【解析】由，可得，再将代入即可.【详解】因为，所以，故.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.5、B【解析】根据比例关系求得会旗中五环所占面积，再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为，由于，所以，故可得.故选：B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解，属基础题.6、D【解析】利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差

9、的正弦定理，可得结果.【详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.7、B【解析】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由抛物线解析式知：，准线方程为.，由抛物线定义知：，.由抛物线性质得：，解得：，.故选：.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.8、A【解析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当时，直线方程为与，可得两直线平行；若直线与互相平行，则

10、，解得，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题9、B【解析】根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可.【详解】解：由已知得，经检验满足题意.，.由得；由得或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增.则，由于，所以在区间上的最大值为2.故选：B.【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题10、A【解析】由题意，可得，消去得,可得，继而得到，代入即得解【详解】由，成等差数列，所以，又，成等比数列，所以

11、，消去得，所以，解得或，因为，是不相等的非零实数，所以，此时，所以故选：A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11、B【解析】根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故

12、D正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.12、A【解析】设，直线的方程为，联立方程得到，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设，判断 为偶函数，考虑x0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.【详解】设，则在是偶函数，当时，由得，记，故函数在增，而，所以在减，在增，当时，当时，因此的图

13、象为因此实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.14、【解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值【详解】解：若，则，即，所以故答案为：【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题15、【解析】由，解得，进而求出，即可得出结果.【详解】解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为都答案为：.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识

14、；考查运算求解能力，属于基础题16、720 1 【解析】利用二项展开式的通式可求出；令中的，得两个式子，代入可得结果.【详解】利用二项式系数公式，故，故（=，故答案为：720；1.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析【解析】先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求【详解】（1）由题得函数的定义域为.，由已知得，解得 ， 令，得令，得，在上单调递增.令，得在上单

15、调递减 的极小值点为，极小值为，无极大值.（2）证明：由（1）知，令，即 ， 恒成立.在上单调递增又，在上恒成立在上恒成立， 即【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题18、（1）见解析； （2）.【解析】（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.【详解】（1）由题意，令，则，知为的增函数，因为，所以，存在使得，即所以，当时，为减函数，当时，为增函数，故当时，取得最小值，也就是取得最

16、小值故，于是有，即，所以有，证毕（2）由（1）知，的最小值为，当，即时，为的增函数，所以，由（1）中，得，即故满足题意当，即时，有两个不同的零点，且，即，若时，为减函数，（*）若时，为增函数，所以的最小值为注意到时，且此时，（）当时，所以，即，又，而，所以，即由于在下，恒有，所以（）当时，所以，所以由（*）知时，为减函数，所以，不满足时，恒成立，故舍去故满足条件综上所述：的取值范围是【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.19、 (1)（2）【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式的求

17、解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握（1）设等比数列an的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和解：（1）（2）， 两式相减：20、（1），.（2）当时，此时选择火车运输费最省；当时，此时选择飞机运输费用最省；当时，此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】（1）将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.（2）作差比较、的大小关系得出结论.【详解】（1），.（2）， 故，恒成立，故只需比较与的大小关系即可，令，故当，即时，即，此时选择火车运输费最省，当，即时，即，此时选择飞机运输费用

18、最省.当，即时，此时选择火车或飞机运输费用最省.【点睛】本题考查了常见函数的模型，考查了分类讨论的思想，属于基础题.21、见解析【解析】（1）当时，函数，其定义域为，则，设，易知函数在上单调递增，且，所以当时，即；当时，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，为，无极大值（2）由题可得函数的定义域为，设，显然函数在上单调递增，当时，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，因为，所以，又，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点综上，函数有且仅有一个零点22、（1）详见解析；（2）.【解析】

19、（1）连接，设，可证得四边形为平行四边形，由此得到，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）连接，设，连接，在四棱柱中，分别为的中点，四边形为平行四边形，平面，平面，平面（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设，四边形为正方形，则，设为平面的法向量，为平面的法向量，由得：，令，则，由得：，令，则，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.