山西省浑源县第五中学2023届高考数学四模试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1阿基米德（公元前287年公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体

2、积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）ABCD2在中，分别为角，的对边，若的面为，且，则（）A1BCD3若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）ABCD4设集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）A3个B4个C5个D6个5费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素

3、数的和的概率是()ABCD6在四边形中，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（ ）ABCD7某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是（ ）.A与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B与2016年相比，2019年一本达线人数减少C与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D2016年与2019年艺体达线人数相同8已知函数，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ）A1BCD9定义运算，则函数的图象是（ ）AB

4、CD10从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则ABCD11已知数列满足,(),则数列的通项公式( )ABCD12已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13等差数列（公差不为0），其中，成等比数列，则这个等比数列的公比为_.14有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_15若x，y均为正数，且，则的最小值为_.16已知函数

5、的图象在点处的切线方程是，则的值等于_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，、分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值18（12分）在中，是边上一点，且，.（1）求的长；（2）若的面积为14，求的长.19（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线、的极坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积20（12分）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，平面，平面平面，为锐角三角形，求证：（1

6、）是的中点；（2）平面平面.21（12分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:()试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;()从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;()为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语

7、测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)22（10分）已知，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R，根据题意圆柱的表面积为，解得，所以该球的体积为 .故选：C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.2、D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理

8、进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可【详解】解：由，得， ， ，即即，则， ， ， ，即，则，故选D【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键3、B【解析】利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，为数列的前项和，则故选：【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则 (2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.4、A【解析】试题分析：,所以，即集合中共有3个元素，故选A考点：集合的运算5、B【解析】

9、基本事件总数，能表示为两个不同费马素数的和只有，共有个，根据古典概型求出概率【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数，基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有，共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项：【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题6、A【解析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为 因为点在边所在直线上，故设当时故选：【点

10、睛】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.7、A【解析】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，2019年不上线人数为，故A正确；2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了倍，故C错误；2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.8、C【解析】对任意的总有恒成立

11、，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，故令，得 当时，当，当时，故选：C.【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.9、A【解析】由已知新运算的意义就是取得中的最小值，因此函数，只有选项中的图象符合要求，故选A.10、B【解析】由题意知，由，知，由此能求出【详解】由题意知，解得，故选：B【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用11、A【解析】利用数列的递推关系式

12、，通过累加法求解即可【详解】数列满足：，可得以上各式相加可得：，故选：【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力12、D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得

13、解.【详解】设等差数列的公差为，由题意得: ，则整理得，所以故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.14、丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用.15、4【解析】由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一：，当且仅当时取等.方法二：因为，所以，所以，当且仅当时取等.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.16、【解析】利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知，故.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何

14、意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）.【解析】（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证明出平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以又因为平面，平面，所以平面；（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以设直线与平面所成角为，所以因此，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行

15、的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（1）1；（2）5.【解析】（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.【详解】（1）据题意，且，所以.所以.在中，据正弦定理可知，所以.（2）在中，据正弦定理可知，所以.因为的面积为14，所以，即，得.在中，据余弦定理可知，所以.【点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单

16、题.19、（1），；（2）.【解析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积【详解】（1）曲线的极坐标方程为： ，因为曲线的普通方程为： ， 曲线的极坐标方程为；（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，点到射线的距离为 的面积为 .【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出，由是的中点，能证明是有中点（2）作于点，推导出平面，从而，由，能证明平面，由此能证明平

17、面平面【详解】证明：（1）在三棱锥中，平面，平面平面，平面，在中，是的中点，是有中点（2）在三棱锥中，是锐角三角形，在中，可作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，平面，平面，平面平面【点睛】本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题21、 ()万；()分布列见解析， ；()【解析】()根据比例关系直接计算得到答案.() 的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，解得答案.【详解】()样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万

18、人.() 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.，.故分布列为：.() 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.故的最小值为.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22、（1）见解析；（2）最大值为.【解析】（1）将函数表示为分段函数，利用函数的单调性求出该函数的最小值，进而可证得结论成立；（2）由可得出，并将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，进而可得出实数的最大值.【详解】（1）.当时，函数单调递减，则；当时，函数单调递增，则；当时，函数单调递增，则.综上所述，所以；（2）因为恒成立，且，所以恒成立，即.因为，当且仅当时等号成立，所以，实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解，同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.