宁德市重点中学2022-2023学年高三第六次模拟考试数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为 ABCD2已知集合，则=ABCD3在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是( )

2、ABCD4设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）AB2CD5已知a，bR，则（ ）Ab3aBb6aCb9aDb12a6已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD7一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（ ）ABCD8已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD9如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ）ABCD10若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ）ABCD11已知函数，若，则下

3、列不等关系正确的是（ ）ABCD12已知集合，则（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量，若向量与向量平行，则实数_14已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_时，外心的横坐标最大15如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则的值为_.16将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有_种不同的放法.三、解答题：共70分。解答应写出文

4、字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，）.如：，.（1）设，请计算，；（2）设，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.18（12分）已知在中，角，的对边分别为，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.19（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若，求.20（12分）的内角A，B

5、，C的对边分别为a，b，c，已知，求C；若，求，的面积21（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最大值为，若，证明：.22（10分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线：有A，B两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A，B两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线：有a，b两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故

6、障，则生产成本为14万元；若a工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a，b两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可【详解】解：如图，点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开

7、到与所在的面共面，三线共线时，最小， 设正方体的棱长为，则，取，连接，则共面，在中，设到的距离为，设到平面的距离为，.故选D【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题2、C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法，利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分3、A【解析】根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.【详解】中，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理

8、，得.D是AB的中点，且，即，即，当且仅当时，等号成立.的面积，所以面积的最大值为.故选：.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.4、A【解析】由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率【详解】由题意，由双曲线定义得，从而得，在中，由余弦定理得，化简得故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式5、C【解析】两复数相等，实部与虚部对应相等.【详解】由，得，即a，b1b9a故选：C【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.6、C【解析】将点A坐标代入双曲线

9、方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.7、A【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、，则，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，

10、所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.9、C【解析】直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值【详解】设抛物线的准线为，直线恒过定点，如图过A、B分别作于M，于N，由，则，点B为AP的中点、连接OB，则，点B的横坐标为，点B的坐标为，把代入直线，解得，故选：C【点睛】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.10、A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范

11、围即可【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键11、B【解析】利用函数的单调性得到的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案.【详解】在R上单调递增，且，.的符号无法判断，故与，与的大小不确定，对A，当时，故A错误；对C，当时，故C错误；对D，当时，故D错误；对B，对，则，故B正确.故选：B.【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.12、A【解析】根据对数性质可知，

12、再根据集合的交集运算即可求解.【详解】，集合，由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可得，因为向量与向量平行，所以，解得14、【解析】由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值【详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，令，则，由，得（舍）或当时，当时，.当时，函数

13、取极大值，亦为最大值故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题15、【解析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为，体积为，半球的体积为，水（小圆锥）的体积为，如图则，所以，解得，所以，由，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.16、【解析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时：种；当三个盒子有球时：种；当两个盒子有球时：种.故共有种，故答案为：.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在

14、考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）详见解析（3）29【解析】（1）将，代入，可求出，可代入求，可求结果（2）可求，通过反证法证明，（3）可推出，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出【详解】（1）由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，则，得，故（2）证明：已知，由题意知等差数列的通项公式为：；等差数列的通项公式为：，得，得，所以若，则存在，使，若，则存在，使，因此，对于正整数，考虑集合，即，下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7

15、的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为，其中，则这两个元素的差为7的倍数，即，所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，则存在，使，即，由已证可知，若，则存在，使，而，所以为负整数，设，则，且，所以，当，时，对于整数，若，则成立（3）下面用反证法证明：若对于整数，则，假设命题不成立，即，且则对于整数，存在，使成立，整理，得，又因为，所以且是7的倍数，因为，所以，所以矛盾，即假设不成立所以对于整数，若，则，又由第二问，对于整数，则，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因

16、为，所以【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用，利用正弦定理，化简即可证明（2）利用（1），得到当时，得出，得出，然后可得【详解】证明：（1）据题意，得，.又，.解：（2）由（1）求解知，.当时，.又，.【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题19、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理到，得到答案.（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）由，可得,因为，所以，所以.（2），又因为，所以.因为，所以，即.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.20、 (1)(2)【解析】由已知利

17、用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得，结合范围，可求A，根据三角形的内角和定理即可解得C的值由及正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【详解】由已知可得，又由正弦定理，可得，即，即，又，或舍去，可得，由正弦定理，可得，【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题21、（1）；（2）证明见解析【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,

18、进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】（1）当时，恒成立，；当时，即，；当时，显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得 （当且仅当时取等号） （当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）上述三式相加可得（当且仅当时取等号），故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22、（1）0.0294.（2）应选生产线.见解析【解析】（1）由题意转化条件得A工

19、序不出现故障B工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线，生产成本恰好为18万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为. （2）若选择生产线，设增加的生产成本为(万元)，则的可能取值为0，2，3，5. ，,所以万元；故选生产线的生产成本期望值为 (万元). 若选生产线，设增加的生产成本为（万元），则的可能取值为0，8，5，13. ，所以，故选生产线的生产成本期望值为 (万元)，故应选生产线.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.