山东省曲阜市第一中学2023年高三最后一卷数学试卷含解析.doc

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2、13本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）ABCD2若的展开式中含有常数项，且的最小值为，则（ ）ABCD3已知双曲线 (a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）AB(1,2),CD4三棱锥中，侧棱底面，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD5若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）A B C D6如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的

3、最短距离为（ ）ABCD7函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）A2，0B2， C2， D2， 8如图，内接于圆，是圆的直径，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD9已知定义在R上的偶函数满足，当时，函数（），则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ）A2B4C5D610函数的图象大致是（）ABCD11水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中 ，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）ABCD12空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是

4、上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）AB3CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角，的对边分别为，若，且，则面积的最大值为_.14设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则_.15展开式中的系数为_16曲线在处的切线的斜率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，（）求证：；（）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值18（12分）如图，在直三棱柱中，点P，Q分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.19（12分）在平面直角坐标系中，曲线

5、C的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）直线（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求最大时，直线l的直角坐标方程.20（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列定义随机变量X（xAyA）

6、2+（xByB）2+（xCyC）2+（xDyD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解（）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由21（12分）已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的定义域为,求实数 的取值范围22（10分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接

7、经济损失，将收集的数据分成五组：，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为，求的分布列和数学期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件计数后可求得概率【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数

8、学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，所求概率为故选：D.【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率2、C【解析】展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为1所以.故选C点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.3、A【解析】若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的

9、绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率，故选：【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件4、B【解析】由题，侧棱底面，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键5、B【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.6、

10、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.7、D【解析】由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，

11、函数的图象过点，则故选【点睛】本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果8、B【解析】根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值【详解】因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，设，则，所以，所以.又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：B【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值9、B【解析】由函数的性质可得：的图像

12、关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足，可得的图像关于直线对称且关于轴对称，函数（）的图像也关于对称，函数的图像与函数（）的图像的位置关系如图所示，可知两个图像有四个交点，且两两关于直线对称，则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选：B【点睛】本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.10、C【解析】根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】，函数为奇函数，排除选项A，B；又当时，故选：C.【

13、点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.11、B【解析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得，,绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积.【详解】根据“斜二测画法”可得，绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为.故选:【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.12、D【解析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到

14、所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值设，则，化简得：，则，解得：，即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选：.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，根据同角三角函数的基本关系表示出，最后利用面积公式得到，由基本不等式求出的取值范围，即可得到面积的最值；【详解】解：在中，.，即，当且仅当时等号成立，面积的最大值

15、为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题.14、18【解析】将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值.【详解】因为，所以.故填：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.15、30【解析】先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数【详解】由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，由于二项式的通项公式为，令，得展开式的的系数为，令，得

16、展开式的的系数为，所以展开式中的系数，故答案为30.【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题16、【解析】求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率.【详解】，即曲线在处的切线的斜率.故答案为：【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见解析；（）【解析】试题分析：（1）取中点，连，由等边三角形三边合一可知，即证（2）以，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值试题解析：（）

17、证明：连，则和皆为正三角形取中点，连，则， 则平面，则 （）由（）知，又，所以如图所示，分别以，为正方向建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，因为，所以取 面的法向量取， 则， 平面与平面所成的锐二面角的余弦值18、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）取的中点D，连结，.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证，和都是平面内的直线且交于点，由（1）得，再结合线面垂直的判定定理即得.【详解】（1）取的中点D，连结，.在中，P，D分别为，中点，且.在直三棱柱中，.Q为棱的中点，且.，.四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.由（1）知，

18、.又，平面，平面，平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用消去参数，得到曲线的普通方程，再将，代入普通方程，即可求出结论；（2）由（1）得曲线表示圆，直线曲线C交于A，B两点，最大值为圆的直径，直线过圆心，即可求出直线的方程.【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数），可得曲线C的普通方程为，因为，所以曲线C的极坐标方程为，即.（2）因为直线（t为参数）表示的是过点的直线，曲线C的普通方程为，所以当最大时，直线l经过圆心.直线l的斜率为，方程为，所以直线l的直角坐标方程为.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐

19、标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想，属于中档题.20、（1）（）（）分布表见解析；（2）理由见解析【解析】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果

20、都满足“X4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种

21、食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表： X 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P （2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X4）P（X0）+P（X2），三轮游戏结果都满足“X4”的概率为（）3，这个结果发生的可能性很小，这位家

22、长对小孩饮食习惯比较了解【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21、 (1) (2) 【解析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案【详解】（1）不等式或或，解得或，即x0,所以原不等式的解集为（2）要使函数的定义域为R，只要的最小值大于0即可，又，当且仅当时取等，只需最小值，即所以实数a的取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题22、（1）3

23、360元；（2）见解析【解析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值【详解】（1）记每个农户的平均损失为元，则 ；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）20005015（户），损失超过8000元的农户共有0.000032000503（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为； X012P数学期望为E（X）0+1+2【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题