平稳时间序列模型的性质概述.pptx

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1、第五章 平稳时间序列模型的性质第一节 自回归过程的性质第二节 移动平均过程的性质第三节 自回归移动平均过程的性质4/19/20231第四章 时间序列模型的性质第一节 自回归过程的性质n一、一阶自回归过程AR(1)的性质n二、二阶自回归过程AR(2)的性质n三、p阶自回归过程AR(p)的性质4/19/20232第四章 时间序列模型的性质一、一阶自回归过程AR(1)的性质n一阶自回归模型的形式为：或4/19/20233第四章 时间序列模型的性质1、平稳性和可逆性a.可逆性：一个有限阶的自回归模型总是可逆的，所以，ar(1)模型总是可逆的。B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外，即应有：4/1

2、9/20234第四章 时间序列模型的性质2.ar(1)过程的自相关函数4/19/20235第四章 时间序列模型的性质4/19/20236第四章 时间序列模型的性质4/19/20237第四章 时间序列模型的性质4/19/20238第四章 时间序列模型的性质通过上述推导可看出，当过程平稳即通过上述推导可看出，当过程平稳即 时，时，AR(1)过程的自相关函数（过程的自相关函数（ACF）呈）呈指数衰减。指数衰减。如果如果 ，那么所有的自相关系数都为正，那么所有的自相关系数都为正，并逐渐衰减。并逐渐衰减。如果如果 ，自相关系数的符号以负号开始，自相关系数的符号以负号开始，并呈正、负交替逐渐衰减。并呈正、

3、负交替逐渐衰减。4/19/20239第四章 时间序列模型的性质例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图4/19/202310第四章 时间序列模型的性质-6-4-202482848688909294969800例例1，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图4/19/202311第四章 时间序列模型的性质例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈指数衰减4/19/202312第四章 时间序列模型的性质例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的249个数据个数据如下如下

4、AR(1)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图4/19/202313第四章 时间序列模型的性质-6-4-2024682848688909294969800Y例例2，模拟生成的，模拟生成的AR(1)过程趋势图过程趋势图4/19/202314第四章 时间序列模型的性质例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:呈正负交替指数衰减4/19/202315第四章 时间序列模型的性质3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）A.偏自相关函数的一般公式4/19/202316第四章 时间序列模型的性质4/19/202317第四章 时间序列模型的性质4/19/202318第四章 时间序列模型的性质4/19/2

5、02319第四章 时间序列模型的性质4/19/202320第四章 时间序列模型的性质B.AR(1)过程的偏自相关函数4/19/202321第四章 时间序列模型的性质上述结论说明：上述结论说明：AR(1)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值，其符号取在滞后一阶有一峰值，其符号取决于决于 。滞后一阶以后。滞后一阶以后PACF截尾。截尾。4/19/202322第四章 时间序列模型的性质另一种思路：n根据定义：偏自相关函数是指扣除Xt和Xt-k之间的随机变量Xt-1,Xt-2,Xt-k-1等影响之后的Xt和Xt-k之间的相关性。n对于p阶自回归过程，当sp时，xt与xt-

6、s有直接的相关性；而sp时，两者没有直接的相关性。n因此，对于AR(p)过程，在模型的滞后阶数以内，通常有非零的偏自相关系数；但在滞后阶数以外，偏自相关系数则为零。4/19/202323第四章 时间序列模型的性质例1：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾4/19/202324第四章 时间序列模型的性质例2：模拟生成的AR(1)过程自相关图:滞后一阶以后截尾4/19/202325第四章 时间序列模型的性质4.AR(1)过程的传递形式和格林函数4/19/202326第四章 时间序列模型的性质二、二阶自回归AR(2)过程的性质二阶自回归模型的形式为：或4/19/202327第四章 时间

7、序列模型的性质B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型总是可逆的。4/19/202328第四章 时间序列模型的性质2.AR(2)过程的自相关函数4/19/202329第四章 时间序列模型的性质4/19/202330第四章 时间序列模型的性质4/19/202331第四章 时间序列模型的性质4/19/202332第四章 时间序列模型的性质通过上述推导可以如下结论，通过上述推导可以如下结论，在AR(2)过程的平稳性条件满足时，如果特征方程的根为实根，即 时，AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根，即 时，AR(2)的自相关函数呈阻尼

8、正弦波衰减。4/19/202333第四章 时间序列模型的性质3.AR(2)过程的偏自相关函数4/19/202334第四章 时间序列模型的性质4/19/202335第四章 时间序列模型的性质另一种思路：直接根据定义4/19/202336第四章 时间序列模型的性质通过上述证明可以得出如下结论：通过上述证明可以得出如下结论：4/19/202337第四章 时间序列模型的性质例例1，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图4/19/202338第四章 时间序列模型的性质-4-20248284868890929496

9、9800例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图4/19/202339第四章 时间序列模型的性质例例1.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰滞后二阶以后截尾4/19/202340第四章 时间序列模型的性质例例2，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图4/19/202341第四章 时间序列模型的性质-6-4-2024682848688909294969800例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图4/19/202342第四章 时间序列模型的

10、性质例例2.模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈混合指数衰减滞后二阶以后截尾4/19/202343第四章 时间序列模型的性质例例3，下面两图表分别是模拟生成的，下面两图表分别是模拟生成的250个数据个数据如下如下AR(2)过程趋势图和自相关图过程趋势图和自相关图4/19/202344第四章 时间序列模型的性质-4-202482848688909294969800模拟生成的模拟生成的AR(2)过程趋势图过程趋势图4/19/202345第四章 时间序列模型的性质模拟生成的模拟生成的AR(2)过程自相关图过程自相关图呈阻尼正弦波衰减滞后二阶以后截尾4/19/202346第四章 时

11、间序列模型的性质4.AR(2)过程的传递形式和格林函数n（1）传递形式n（2）格林函数4/19/202347第四章 时间序列模型的性质三、p阶自回归过程AR(p)的性质二阶自回归模型的形式为：或4/19/202348第四章 时间序列模型的性质B.平稳性：为满足平稳性，的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型总是可逆的。4/19/202349第四章 时间序列模型的性质对于高阶的自回归过程，其平稳性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最根本的一点：这是自回归过程平稳的必要条件之一。4/19/202350第四章 时间序列模型的性质2.AR(p)的自相关函数ACF4/19/2

12、02351第四章 时间序列模型的性质4/19/202352第四章 时间序列模型的性质通过上述推导有如下结论：通过上述推导有如下结论：对于平稳过程，有对于平稳过程，有|i|p时，上式分母行列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。于是当kp时,有kk=0。所以，所以，AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)滞滞后后p阶截尾。阶截尾。4/19/202355第四章 时间序列模型的性质4.AR(p)模型的传递形式和格林函数n(1)传递形式n(2)格林函数4/19/202356第四章 时间序列模型的性质例:考察如下AR模型的自相关和偏自相关4/19/202357第四章 时间序列模型的性质

13、ACFPACF4/19/202358第四章 时间序列模型的性质ACFPACF4/19/202359第四章 时间序列模型的性质ACFPACF4/19/202360第四章 时间序列模型的性质ACFPACF4/19/202361第四章 时间序列模型的性质第二节 移动平均过程的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质三、q阶移动平均过程MA(q)的性质4/19/202362第四章 时间序列模型的性质一、一阶移动平均过程MA(1)的性质n一阶移动平均模型MA(1)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。4/19/202363第四章 时间序列模型的性质

14、1.MA(1)过程的平稳性和可逆性nA.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。nB.可逆性：n为满足可逆性，(B)=11B=0 的根必的根必须在单位圆外，即有：须在单位圆外，即有：4/19/202364第四章 时间序列模型的性质注：以后对注：以后对MA(1)过程性质的讨论中，过程性质的讨论中，都假定可逆性条件满足，即有：都假定可逆性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减；如果10t为白噪声滞后一阶截尾呈负指数衰减4/19/202375第四章 时间序列模型的性质例2：模拟产生的250个数据的如下MA(1)过程的趋势图和自相关图：4/19/202376第四章 时间序列模型的性质4/

15、19/202377第四章 时间序列模型的性质Xt=t(0.85)t-1 =(1(0.85)B)t其中1=0.850呈正负交替指数衰减滞后一阶截尾4/19/202378第四章 时间序列模型的性质4.MA(1)过程的逆转形式4/19/202379第四章 时间序列模型的性质二、二阶移动平均过程MA(2)的性质二阶移动平均模型MA(2)的形式为：其中：xt为零均值平稳序列，t为零均值的白噪声。4/19/202380第四章 时间序列模型的性质1.MA(2)过程的平稳性和可逆性A.平稳性：MA(2)过程总是平稳的。B.可逆性：为满足可逆性,的根必须在单位圆外。4/19/202381第四章 时间序列模型的性

16、质2.MA(2)过程的自相关函数ACF4/19/202382第四章 时间序列模型的性质4/19/202383第四章 时间序列模型的性质4/19/202384第四章 时间序列模型的性质2.MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)4/19/202385第四章 时间序列模型的性质对于MA(2)过程，我们有如下结论：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是实数，则kk是两个衰减指数的和；如果其根是复数，则kk 是一衰减的正弦波。4/19/202386第四章 时间序列模型的性质4/19/202387第四章 时间序列模型的性质滞后二阶截尾指数衰减(拖尾)4/19/202388第四章 时间序列模型的性质4/

17、19/202389第四章 时间序列模型的性质滞后二阶截尾阻尼正弦波衰减(拖尾)4/19/202390第四章 时间序列模型的性质4.MA(2)过程的逆转形式4/19/202391第四章 时间序列模型的性质三、q阶移动平均过程MA(q)性质4/19/202392第四章 时间序列模型的性质1.平稳性和可逆性nA.平稳性：有限阶移动平均过程MA(q)总是平稳的。nB.可逆性：为满足可逆性，的根必须在单位圆外。4/19/202393第四章 时间序列模型的性质对于高阶的移动平均过程，其可逆性条件用其模型参数表示虽比较复杂，但都有最根本的一点：这是移动平均过程可逆的必要条件之一。4/19/202394第四章

18、 时间序列模型的性质2.MA(q)过程的自相关函数(ACF)4/19/202395第四章 时间序列模型的性质因而：MA(q)过程的自相关函数是滞后q阶截尾的。4/19/202396第四章 时间序列模型的性质3.MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）n要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、MA(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。的根确定的，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。4/19/202397第四章 时间序列模型的性质例:考察如下MA模型的相关性质4/19/202398第四章 时间

19、序列模型的性质MA模型的自相关系数截尾4/19/202399第四章 时间序列模型的性质MA模型的自相关系数截尾4/19/2023100第四章 时间序列模型的性质MA模型的偏自相关系数拖尾4/19/2023101第四章 时间序列模型的性质MA模型的偏自相关系数拖尾4/19/2023102第四章 时间序列模型的性质MA模型可逆性nMA模型自相关系数的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相关系数和偏自相关系数4/19/2023103第四章 时间序列模型的性质可逆概念的重要性一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模型。4/19/2023104第四章 时间序列模型的性质第三节 自回归移动平均ARMA

20、(p,q)过程n一、ARMA(1,1)的性质n二、ARMA(p,q)过程的性质4/19/2023105第四章 时间序列模型的性质一、ARMA(1,1)的性质4/19/2023106第四章 时间序列模型的性质1.ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性4/19/2023107第四章 时间序列模型的性质2.ARMA(1,1)过程的ACF4/19/2023108第四章 时间序列模型的性质4/19/2023109第四章 时间序列模型的性质4/19/2023110第四章 时间序列模型的性质n通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。n当k=1时，自相

21、关系数有一峰值自相关系数有一峰值，并且是由1和1共同决定，。n当k2时，自相关系数仅取决于1即自回归局部对应的差分方程的根，呈指数衰减。4/19/2023111第四章 时间序列模型的性质3.ARMA(1,1)过程的PACFnARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样，也是滞后一阶有一峰值滞后一阶有一峰值，一阶以后呈指数阶以后呈指数衰减衰减，不过指数衰减的形态由1和1共同决定，因此指数衰减的形态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多4/19/2023112第四章 时间序列模型的性质例1：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：4/19/2023113

22、第四章 时间序列模型的性质例例1.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减滞后一阶有一峰值之后呈指数衰减4/19/2023114第四章 时间序列模型的性质例2：模拟产生的250个数据的如下ARMA(1,1)过程的样本ACF和样本PACF：4/19/2023115第四章 时间序列模型的性质例例2.模拟生成的模拟生成的ARMA(1,1)过程的样本过程的样本ACF和样本和样本PACF指数拖尾指数拖尾滞后一阶有峰值4/19/2023116第四章 时间序列模型的性质4.ARMA(1,1)过程的传递形式和逆转形式n（1）传递形式和格

23、林函数：nxt=-1(B)(B)atn（2）逆转形式和逆函数n-1(B)(B)xt=at4/19/2023117第四章 时间序列模型的性质二、ARMA(p,q)过程的性质4/19/2023118第四章 时间序列模型的性质1.ARMA(p,q)的平稳性和可逆性4/19/2023119第四章 时间序列模型的性质4/19/2023120第四章 时间序列模型的性质2.ARMA(p,q)过程的ACF4/19/2023121第四章 时间序列模型的性质4/19/2023122第四章 时间序列模型的性质由上推导可以得出结论：ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后滞后q阶后拖尾。阶后拖尾。当kq时，即前q项自相

24、关系数q,q-11取决于自回归和移动平均的参数。当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数，即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦波衰减，而与移动平均的参数无关。4/19/2023123第四章 时间序列模型的性质3.ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式比较复杂，由于它包括MA过程这个特例，所以它的PACF也由(B)=0的根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦波衰减。4/19/2023124第四章 时间序列模型的性质既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间序列的样本自相关图判断ARMA模型的阶数就比较困难。但是如果通过样本自相关

25、图得到一个时间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态，那么我们至少能判断出该过程不是纯AR或纯MA过程，而是混合ARMA过程。至于模型阶数确实定，第六章将作介绍。4/19/2023125第四章 时间序列模型的性质附：非中心化时间序列模型的均值4/19/2023126第四章 时间序列模型的性质AR(P)模型的均值 n如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有n根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有n推导出4/19/2023127第四章 时间序列模型的性质MA(q)模型的均值n常数均值4/19/2023128第四章 时间序列模型的性质ARMA(p,q)模型的均值 均值为：4/19/2023129第四章 时间序列模型的性质第四节 ARMA 模型的性质总结4/19/2023130第四章 时间序列模型的性质4/19/2023131第四章 时间序列模型的性质