机械工程控制基础--系统的稳定性概述.pptx

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1、5 系统的稳定性系统的稳定性机械工程操作基础机械工程操作基础5.1 5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念5.2 Routh5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据5.3 Nyquist5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据5.4 Bode5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据5.5 5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念1 1 稳定性的概念稳定性的概念 稳定是操作系统正常工作的首要条件。分析、判定系稳定是操作系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动操

2、作理论统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动操作理论的基本任务之一。的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。2 2 稳定的充要条件稳定的充要条件 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，系统所有闭环特征根均具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半或所有闭环特征根均位于左半s平面。平面。根据系统稳定的定

3、义，若根据系统稳定的定义，若 ,则系统是稳定的。则系统是稳定的。必要性必要性：充分性充分性：5.1 系统稳定性的初步概念系统稳定性的初步概念 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据防止直接求解特征根，讨论特征根的分布防止直接求解特征根，讨论特征根的分布(1)(1)必要条件必要条件说明：说明：例例1 1不稳定不稳定不稳定不稳定可能稳定可能稳定 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据(2)(2)劳斯（劳斯（Routh）判据判据劳斯表劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方

4、程中正实部根的个数且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据s4s3s2 s1 s0解解.列劳斯表列劳斯表 1 7 10 5 2劳斯表第一列元素变号劳斯表第一列元素变号 2次，有次，有2个正根，系统不稳定个正根，系统不稳定 1010 例例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据s3s2 s1 s0解解.列劳斯表列劳斯表 1 -3 e e 2劳斯表第一列元素变号劳斯表第一列元素变号 2次，有次，有2个正根，系统不稳定个正根，系统不稳定。0 例例3：D(s)=s3-3s+2

5、=0 判定在右半平面的极点数。判定在右半平面的极点数。(3)(3)劳斯判据特殊情况处理劳斯判据特殊情况处理某行第一列元素为某行第一列元素为0 0，而该行元素不全为而该行元素不全为0 0时时:将此将此0 0改为改为e，继续运算。继续运算。5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据解解.列劳斯表列劳斯表1 12 353 20 25s5s4s3s2s1s05 25 0 0 00 例例4 4 D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0 D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0 D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25 5

6、.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据出现全零行时：出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。列辅助方程：列辅助方程：例例4 4 D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0 D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据解解.列劳斯表列劳斯表1 12 353 20 25s5s4s3s2s1s05 25 0 0 1025 0 例例4 4 D

7、(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 例例4 4 D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0 D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0计计计计算算算算劳劳劳劳斯斯斯斯表表表表时时时时,某某某某一一一一行行行行各各各各项项项项全全全全为为为为零零零零。这这这这说说说说明明明明特特特特征征征征方方方方程程程程具具具具有有有有对对对对称于原点的根称于原点的根称于原点的根称于原点的根:系统可能

8、出现一对共轭虚根；或一对符号系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。其根的数目其根的数目其根的数目其根的数目总总总总是偶数的是偶数的是偶数的是偶数的这些对称于原点的根可由令这些对称于原点的根可由令这些对称于原点的根可由令这些对称于原点的根可由令辅助多项式等于零辅助多项式等于零辅助多项式等于零辅助多项式等于零构成的构成的构成的构成的辅助辅助辅助辅助方程方程方程方程求得求得求得求得 列辅助方程：列辅助方程：S=j5解解.列劳斯表列劳斯表1 0 -12 0 -2s5s4s3s2s1s00-2 16/e0 8-

9、2 0列辅助方程：列辅助方程：例例5 5 D(s)=s5+2s4-s-2=0e e第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据(4)(4)劳斯判据的应用劳斯判据的应用 例例6 6 某单位反响系统的开环零、极点分布如下图，判定系统某单位反响系统的开环零、极点分布如下图，判定系统 能否稳定，假设能稳定，试确定相应开环增益能否稳定，假设能稳定，试确定相应开环增益K的范围。的范围。解解 依题意有依题意有系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系系统闭环稳定与开环

10、稳定之间没有直接关系 5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据例例7 7 系统结构图如右，系统结构图如右，(1)(1)确定使系统稳定的参数确定使系统稳定的参数(K,x)x)的的范围范围;(2)(2)当当x=2x=2时，确定使全部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。解解.(1)(1)5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据(2)(2)当当 x=2 x=2 时，确定使全部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。当当 x=2 x=2 时，进行平移变换时，进行平移变换：5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定

11、判据问题讨论：问题讨论：(1)系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。(2)闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。闭环零点影响系数闭环零点影响系数Ci，只会改变动态性能。，只会改变动态性能。闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。(3)闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。5.2 Routh（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎

12、斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部全部闭环极点均具有负的实部由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题能的问题代数稳定判据代数稳定判据 Ruoth判据判据 由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性 可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题频域稳定判据频域稳定判据 Nyquist 判

13、据判据 对数稳定判据对数稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据1、Nyquist稳定判据的基本原理稳定判据的基本原理 （1）映射原理映射原理Nyquist判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数判据依据复变函数中的映射原理。设有复变函数S平平面面上上的的点点,将将按按式式映映射射到到F(S)平平面面上上的的相相应应点点;零零点点将将映映射射到到F(S)平平面面上上的的原原点点,极极点点将将映映射射到到F(S)平平面面上上的的无无限限远远点点,而其它一般点将映射到而其它一般点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。平面上除原点外的有限值点。5.3 Nyqui

14、st（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据映射原理：设映射原理：设C为为s平面上不经过平面上不经过F(s)的任何极点的封闭的任何极点的封闭曲线，曲线，C中包含了中包含了F(s)的的p个极点和个极点和z个零点，则当动点个零点，则当动点s顺时针在顺时针在C上围绕一周时上围绕一周时,映射到映射到F(s)平面上的闭曲线平面上的闭曲线 将顺时针围绕坐标原点将顺时针围绕坐标原点N 次，且有次，且有 N=z-p 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据（2）特征函数）特征函数F(s)与与G(S)H(S)的关系的关系系统结构图如下图系统结构图如下图设设令令F(s)的特点的特点极点极点

15、pi:开环极点开环极点零点零点 l li:闭环极点闭环极点个数相同个数相同 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据uF(s)的零点就是闭环传递函数的极点。的零点就是闭环传递函数的极点。uF(s)的极点就是开环传递函数的极点的极点就是开环传递函数的极点;设设F(s)在右半在右半s平面有平面有P个极点个极点 (开环极点开环极点)Z个零点个零点 (闭环极点闭环极点)Z=2P=1s 绕包围整个右半平面的奈氏路径顺时针转过一周，绕包围整个右半平面的奈氏路径顺时针转过一周，F(j)绕绕F平面原点转过的角度平面原点转过的角度j jF()()为为 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定

16、判据（乃奎斯特）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据s 绕奈氏路径一周时，绕奈氏路径一周时，F(j)包围包围F平面平面(0,j0)点的圈数，既是点的圈数，既是开环幅相曲线开环幅相曲线GH(j)包围包围G平面平面(-1,j0)点的圈数。点的圈数。2、Nyquist稳定性判据稳定性判据(一一)当系统开环传递函数当系统开环传递函数G(s)H(s)在在s平面的原点及虚轴上没有极点时平面的原点及虚轴上没有极点时(例如例如0型系统型系统)a)开环系统稳定时开环系统稳定时,即即p=0,如果如果 从从-+时时Nyquist曲线曲线 G(j)H(j)不包围不包围(-1,0j)

17、点点,N等于零等于零,则则z=0 ,闭环系统稳定闭环系统稳定;否则不稳定否则不稳定 b)开环系统不稳定时,即p 1。如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针包围包围(-1,0j)点点N次次(N0),且且N=-p,则则z=N+p=0,系系统稳定。否则系统不稳定。统稳定。否则系统不稳定。c)当当Nyquist曲线曲线G(j)H(j)通过通过(-l,0j)点时点时,说明在说明在s平面虚轴上平面虚轴上有闭环极点有闭环极点,系统处于临界稳定状态，属于不稳定系统处于临界稳定状态，属于不稳定。*z 0,p 0 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据 Nyquist稳定性判

18、据稳定性判据(二二)当当系系统统开开环环传传递递函函数数中中有有极极点点位位于于S平平面面虚虚轴轴上上时时(如如I型型及及以以上上系系统统),如如系系统统开开环环频频率率特特性性G(j)H(j)在在 从从-+变变化化逆逆时时针针包包围围(-1,j0)点点的的次次数数N等等于于G(s)H(s)位位于于s右右半半平平面面的的极极点点数数p,系系统统闭闭环环极极点点数数z=N+p=0,则则闭闭环环系系统统稳稳定定。否否则系统不稳定则系统不稳定。5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据3、Nyquist轨迹轨迹例例1

19、 1设设不稳定不稳定不稳定不稳定 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据例例2 2 已知单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有(不稳定不稳定)(稳定稳定)5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据 应为应为-例例3 3 已知单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有(稳定稳定)(不稳定不稳定)5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据 5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据含有位于含有

20、位于上极点和上极点和/或零点的特殊情况或零点的特殊情况变量变量沿着沿着轴从轴从运动到运动到，从，从到到，变量变量沿着半径为沿着半径为）的半圆运动，再沿着正）的半圆运动，再沿着正轴从轴从运动到运动到（5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据即按常规方法作出即按常规方法作出即按常规方法作出即按常规方法作出 由由由由0+0+变化时的变化时的变化时的变化时的NyquistNyquist曲线后，从曲线后，从曲线后，从曲线后，从G(j0)G(j0)开始，以开始，以开始，以开始，以 的半径顺时针补画的半径顺时针补画的半径顺时针补画的半径顺时针补画v90 v90 的圆弧的圆弧的圆弧的圆弧

21、(辅助线辅助线辅助线辅助线)得得得得到完整的到完整的到完整的到完整的NyquistNyquist曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助曲线。显然，对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。线的起始点始终在无穷远的正实轴上。线的起始点始终在无穷远的正实轴上。线的起始点始终在无穷远的正实轴上。例例4 4 已知单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有(稳定稳定)(不稳定不稳定)5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据例例5 5 已知

22、单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。解解 依题有依题有(稳定稳定)(不稳定不稳定)5.3 Nyquist（乃奎斯特）稳定判据（乃奎斯特）稳定判据例例6 6 已知单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。(稳定稳定)(不稳定不稳定)对数稳定判据对数稳定判据 5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据 5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据例例7 7 已知单位反响系统开环传递函数已知单位反响系统开环传递函数,分析系统稳定性分析系统稳定性。(不稳定不稳定)(稳定稳定)(不稳定不稳定)注意问题注意

23、问题闭环系统不稳定闭环系统不稳定闭环系统稳定闭环系统稳定计算错！计算错！2.2.应为应为-，按，按=0=0图型取得的图型取得的N N应乘应乘2 2，此时，此时N N 的的最小单位为二分之一最小单位为二分之一1.1.当当ss平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边 绕出半径为无穷小的圆弧；绕出半径为无穷小的圆弧；GG平面对应要补充大圆弧平面对应要补充大圆弧3.3.5.4 Bode（伯德）稳定判据（伯德）稳定判据5.55.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性时域时域（t t）系统动态性能系统动态性能稳定边界稳定边界 稳定程度稳定程度频域频域（）稳定程度稳

24、定程度虚轴虚轴阻尼比阻尼比 x x到到(-1,j0)(-1,j0)的距离的距离(-1,j0)(-1,j0)稳定裕度稳定裕度(开环频率指标开环频率指标)1 1 稳定裕度的定义稳定裕度的定义的几何意义的几何意义剪切频率剪切频率相角裕度相角裕度相位交界频率相位交界频率幅值裕度幅值裕度的物理意义的物理意义系统在系统在 方面的稳定储备量方面的稳定储备量幅值幅值相角相角一般要求一般要求5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性2 2 稳定裕度的计算稳定裕度的计算解法解法I：由幅相曲线求：由幅相曲线求例例3 3，求，求(1)(1)令令试根得试根得5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性(2.1)(2.1)令令

25、可得可得5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性(2.2)(2.2)将将G(j)分解为实部、虚部形式分解为实部、虚部形式令令得得代入实部代入实部5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性由由L():得得解法解法II：由：由BodeBode图求图求5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性解解.作作L()求求法法I:例例4 4，求，求法法II:5.5 系统的相对稳定性系统的相对稳定性求求 g g整理得整理得解出解出稳定裕度的概念稳定裕度的概念(开环频率指标开环频率指标)稳定裕度的定义稳定裕度的定义稳定裕度计算方法稳定裕度计算方法的几何意义的几何意义截止频率截止频率相角裕度相角裕度相角交界频率相角交界频率幅值裕度幅值裕度的物理意义的物理意义稳定裕度的意义稳定裕度的意义谢谢观看/欢送下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH