机械振动之简谐振动.pptx

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1、第第4 4章章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 1 狭义振动：狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复物体在一固定位置附近作来回的往复 运动，称为运动，称为机械振动。机械振动。广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。振动中最简单最基本的是简谐振动。振动中最简单最基本的是简谐振动。简

2、谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移位置的位移x（或角位移或角位移）随时间）随时间t按余弦（或正按余弦（或正弦）规律变化的振动。弦）规律变化的振动。2一、几个谐振动的实例一、几个谐振动的实例、弹簧振子、弹簧振子构成：构成：轻质弹簧与刚体联结轻质弹簧与刚体联结条件：条件：位移在弹性限度内，位移在弹性限度内，无阻尼时的自由振动无阻尼时的自由振动 阻尼：阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系只在系 统内部回复力作用下

3、运动。统内部回复力作用下运动。X0回上页回上页下一页下一页回首页回首页4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征3（1 1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点。点。（3 3）惯性的作用）惯性的作用整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。回复力与位移正比而反回复力与位移正比而反向（线性回复力），即向（线性回复力），即 （2 2）弹性回复力的特点：）弹性回复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的

4、此处位移特指系统偏离平衡位置的位移位移。F=-kx X0 xFK回上页回上页下一页下一页回首页回首页4（4 4）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程解微分方程得：解微分方程得：回上页回上页下一页下一页回首页回首页以振子为对象以振子为对象,由牛顿定律：由牛顿定律：5（1 1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o o为角坐标为角坐标原点。原点。（2 2）回复力矩的特点：）回复力矩的特点：重力对过悬点重力对过悬点0/0/的水平轴的力矩为的水平轴的力矩为：负号表示力矩方向始终与角位置方负号表示力矩方向始终与角位置方向相反向相反、单摆、单摆R

5、回上页回上页下一页下一页回首页回首页6根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后（3 3）惯性的作用：）惯性的作用：回上页回上页下一页下一页回首页回首页（4 4）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为72 2）复摆运动微分方程）复摆运动微分方程 、复、复 摆摆式中式中h指质心到悬点的距离指质心到悬点的距离由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为 c回上页回上页下一页下一页回首页回首页1 1）定义：）定义：构成：刚体绕水平光滑轴转动构成：刚体绕水平光滑轴转动条件：同单摆条件：同单摆8二

6、、简谐振动的特征二、简谐振动的特征1、动力学特征：、动力学特征：其谐振动的微分方程其谐振动的微分方程：2、运动学特征：、运动学特征：谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程式中式中A A、是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 振动系统所受的力是线性回复力（力矩）振动系统所受的力是线性回复力（力矩）物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。回上页回上页下一页下一页回首页回首页F=-kx 9 例例1 1:弹簧下面悬挂一物体，不计弹弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近簧重量和阻力，试证其在平衡位

7、置附近的振动是谐振动。的振动是谐振动。证：证：以平衡位置以平衡位置A A为原点，向下为为原点，向下为x x轴正向，轴正向，设某一瞬时设某一瞬时m m的坐标为的坐标为x x，则物体在振动过程中的运动微分方程则物体在振动过程中的运动微分方程为为 这说明：假设一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将这说明：假设一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。与原系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0mgF回上页回上页下一页下一页回首页回首页式中式中 是弹簧挂上重物后的静伸

8、长是弹簧挂上重物后的静伸长 10一、谐振动的运动学方程一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为以弹簧振子为例，其动力学方程为该方程的解该方程的解即为谐振动的运动学方程即为谐振动的运动学方程式中式中A和和0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。回上页回上页下一页下一页回首页回首页4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学11二、描述谐振动的三个物理量二、描述谐振动的三个物理量 1、振幅、振幅A由初始条件由初始条件x0、v0决定决定（1 1）周期）周期T T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、周期T（频率频率、圆频率、圆频率、

9、固有圆频率）固有圆频率）回上页回上页下一页下一页回首页回首页12(3)(3)圆频率圆频率：秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全振动的次数固有角频率固有角频率回上页回上页下一页下一页回首页回首页(2)(2)频率频率：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数即固有振动周期固有振动周期(4)(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率13 3、位相：、位相：位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相相取其具有周期性。）取其具有周期性。）(位位位置；相位置；相

10、变化的态势）变化的态势）回上页回上页下一页下一页回首页回首页取使x0、v0 均满足的值 14X0v t=0时,x0=0,v00vX0v t=0时,x0=-A,v0=0-A回上页回上页下一页下一页用分析法确定初位相用分析法确定初位相v t=0 时，x0=A,v0=0.X0X0=+A15X0 A2v t=0时,x0=A/2,v0016AXoXo tXo-AXoAXo t t t t17谐振动的速度，加速度特点谐振动的速度，加速度特点2)2)加速度特征：加速度特征：1)1)速度特征：速度特征：（ii）“”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向回上页回上页下一页下一页回首页回首页18例例2:振动曲线

11、如图振动曲线如图(a)(b)a)(b)所示，写出它们的振动方程。所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t(s)x(cm)(a)300.20.30.1t(s)X(cm)(b)回上页回上页下一页下一页回首页回首页19解：解：例例3：已知谐振子的振动方程为：已知谐振子的振动方程为 (SI),求振幅、圆频率、频率、初位相、以及求振幅、圆频率、频率、初位相、以及t=1s时时的位相。的位相。20例例4:如图，倔强系数为的直立弹簧下端固定，上端与物块如图，倔强系数为的直立弹簧下端固定，上端与物块相连，另一物块在离为相连，另一物块在离为h h高处自由落下与发生完全非弹性高处自由落下与发生完全非弹性碰

12、撞，设两物块质量均为碰撞，设两物块质量均为m m 试写出该系统的振动表达式试写出该系统的振动表达式使两物块碰后能一起振动而不别离时使两物块碰后能一起振动而不别离时h h的最大值的最大值 以以B B，C C均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为x x轴正向，轴正向，B B，C C发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：回上页回上页下一页下一页回首页回首页21因此系统振动表达式为因此系统振动表达式为两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于g g即：即：回上页回上页下一页

13、下一页回首页回首页22例例5:一质量为一质量为M M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是1212cmcm，在距平衡位置在距平衡位置6 6cmcm处速度是处速度是2424cm/scm/s，求：求：（1 1）周期）周期T T；（2 2）当速度是当速度是1212cm/scm/s时的位移。时的位移。解解（1）代入有关数值代入有关数值（2）回上页回上页下一页下一页回首页回首页23例例6:有一轻弹簧，当下端挂一个质量有一轻弹簧，当下端挂一个质量1 11010的物体而平衡的物体而平衡时，伸长量为时，伸长量为4.94.9用这个弹簧和质量用这个弹簧和质量2 21616的物

14、体连成的物体连成一弹簧振子假设取平衡位置为原点，向上为轴的正方向将一弹簧振子假设取平衡位置为原点，向上为轴的正方向将2 2从平衡位置向下拉从平衡位置向下拉 2 2后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度0 05 5 cm/s cm/s 并开始计时，试求并开始计时，试求2 2的振动周期和振动的数值表达式的振动周期和振动的数值表达式 取下取下1 1挂上挂上2 2后后回上页回上页下一页下一页回首页回首页 l 1g 1 g/l 2()解：设弹簧的原长为解：设弹簧的原长为 ，悬挂悬挂1 1后伸长后伸长 ，则则 24时，0210-2m 0510-2ms-1解得 tg-1（00）12.6 或在第三象限，0

15、18012.6 振动表达式为 2.0510-2cos（11.22.92）（）应取 0 180+12.6192.63.36 rad 也可写成 0 2.92 rad回上页回上页下一页下一页回首页回首页25三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t=0 x t+0t=toX26回上页回上页下一页下一页回首页回首页参考圆、参考点：参考圆、参考点：(1)(1)所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。而矢量的端点则谓之参考点。参考点在坐标轴上的投影才是谐振动参考点在坐标轴上的投影才是谐振动（2 2）利用参

16、考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知由图可知:X27位相差位相差两个振动在同一时刻两个振动在同一时刻t t的位相差的位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10)x2=A2cos(2t+20)1 1）两个简谐振动的位相差两个简谐振动的位相差假设假设1=2，回上页回上页下一页下一页回首页回首页则则=20-10当当=2k ,k=0,1,2,两两振振动动步步调调相相同同,称称同同相相当当=(2k+1),两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相2 超前于超前于1 或或 1

17、滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参过失落位相差反映了两个振动不同程度的参过失落 28一个谐振动从一个谐振动从一个状态到另一个状态一个状态到另一个状态经历的时间间隔为经历的时间间隔为 t=t2t1=T 22 2）同一振动在不同时刻的位相差）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在同一振动在t1t1、t2t2时刻的位相差为时刻的位相差为 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1)29用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 同相同相反相反相30谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vxT/4T/431由图可见：由图可见：x t+

18、o 32例例7:一质点作简谐振动的圆频率为一质点作简谐振动的圆频率为，振幅为振幅为A，当，当t=0时质时质点位于点位于 x=A2 处，且向处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。转矢量图。解：由已知条件可知，解：由已知条件可知，t=0时，时，与之对应的初位相角在第四象限与之对应的初位相角在第四象限33一、动能一、动能二、势能二、势能三、总能三、总能四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值回上页回上页下一页下一页回首页回首页4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量34同理平均势能同理平均势能Etx0 xx=Acost回上页回

19、上页下一页下一页回首页回首页在一个周期在一个周期 T T 内的平均动能内的平均动能35例例8:谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于解：解：回上页回上页下一页下一页回首页回首页36例例9:一物体质量为一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数的倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能，如果起始振动具有势能 0.06J 和动能和动能 0.02J，求（求（1）振幅；（）振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度。解（解（1）（2）过平衡点时，）过平衡点时，x=0

20、，此时动能等于总能量，此时动能等于总能量37一、两个同方向、同频率谐振动的合成一、两个同方向、同频率谐振动的合成X1=A1cos(t+10)X2=A2 cos(t+20)求：X X1 X2 1、计算法计算法回上页回上页下一页下一页回首页回首页4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成38两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动，其中是一个同频率的谐振动，其中回上页回上页下一页下一页回首页回首页合振幅合振幅初位相初位相392、旋转矢量合成法、旋转矢量合成法回上页回上页下一页下一页回首页回首页xA110A220A0 x1x2x利用正切函数求

21、得合振动的初位相.两振动频率相同，则它们的两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平形四旋转，故形成稳定的平形四边形。边形。利用矢量加法的平行四利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋边形法则，合振动的旋转矢量为转矢量为A A合振幅合振幅初位相初位相40振幅最大振幅最大 A Amaxmax=A A1 1+A A2 2振幅最小振幅最小 A Aminmin=|=|A A1 1 A A2 2|3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响（1 1）若位相差）若位相差（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差为其它任意值时为其它任意值时振幅

22、振幅A A A AminminA AA Amaxmax回上页回上页下一页下一页回首页回首页41 例例10 两谐振动振动方程分别为两谐振动振动方程分别为解解 这两个谐振动的位相差为这两个谐振动的位相差为作旋转矢量图，利用旋转矢量合成作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为法，合振动为034ox回上页回上页下一页下一页回首页回首页42解：设合振动为解：设合振动为例例11:两谐振动方程分别为两谐振动方程分别为回上页回上页下一页下一页回首页回首页43v因两旋转矢量的角速度因两旋转矢量的角速度1，2，不相同，平行四边形的形状要不相同，平行四边形的形状要发生变化，矢量发生变化，矢量A的大小也随之的大小也

23、随之而变，出现了振幅有周期性的变而变，出现了振幅有周期性的变化。化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法二、同方向、不同频率两谐振动的合成二、同方向、不同频率两谐振动的合成拍拍回上页回上页下一页下一页回首页回首页1ox244 因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差异而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减异而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数称为的次数称为拍频。拍频。回上页回上页下一页下一页回首页回首页xt

24、tx2t tx1t t452、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为设分振动为3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率 余余弦弦函函数数的的周周期期应应为为2，但但取取绝绝对对值值后后，周周期期为为，故故合合振振幅幅变化的周期变化的周期 即即“拍频拍频”等于两个分振动频率之差等于两个分振动频率之差回上页回上页下一页下一页回首页回首页464、“拍振动拍振动”的应用的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。利利用用拍拍现现象象还还可可以以测测定定振振动动频频率率、校校正正乐乐器器和和制制造造差差拍拍振荡器等等。振荡器等等。回上页回上页下一页下

25、一页回首页回首页47 例例12一质点在一质点在X X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A4cm，周期周期T2s，其平衡位置取作坐标原点。假设其平衡位置取作坐标原点。假设t0时质点第一时质点第一次通过次通过x2cm处且向处且向X轴负方向运动，则质点第二次轴负方向运动，则质点第二次通过通过x2cm处的时刻为处的时刻为（A）1s；（B）（2/3）s；（C）（4/3）s；（D）2s。解：选（B）回上页回上页下一页下一页回首页回首页48例例13一水平弹簧简谐振子的振动曲线如下图。振子一水平弹簧简谐振子的振动曲线如下图。振子在位移为零，速度为在位移为零，速度为A、加速度为零和弹性力为零加速度为零和弹

26、性力为零的状态，对应于曲上的的状态，对应于曲上的点。振子处在位移的点。振子处在位移的绝对值为绝对值为A、速度为零、加速度为速度为零、加速度为2A和弹性力为和弹性力为KA的状态，则对曲线上的的状态，则对曲线上的点。点。tx-Aabcde0Af答：当答：当x=0、a=0、F=0时：应为时：应为 0点，b点，d点，f点又又 v=-A,则应为b点点,f点点当x=A、a=-2A 、v=0、F=-kA时：应为 a点，点，e点点回上页回上页下一页下一页回首页回首页49例例14：三个同方向的简谐振动分别为：三个同方向的简谐振动分别为(1)欲使欲使 x1 和和 x3 合成振幅为最大，则合成振幅为最大，则 应取何

27、值？应取何值？X13=?(2)欲使欲使 x2 和和 x3 合成振幅为最小，则合成振幅为最小，则 应取何值？应取何值？X23=?解解：（：（1）（2）50一、一、阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用而减小，系统的动能转化为热能。作用而减小，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振

28、共振51阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程振子受阻力振子受阻力系统固有角频率系统固有角频率阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数52弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期弱阻尼弱阻尼tx53临界阻尼

29、临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置过阻尼过阻尼tx临界阻尼临界阻尼tx54二、二、受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在筹划力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在筹划力作用下的受迫振动的方程令令周期性外力周期性外力筹划力筹划力55稳定解稳定解(1)频率频率:等于筹划力的频率等于筹划力的频率 P P(2)振幅振幅:(3)初相初相:特点特点:稳态

30、时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动56三、三、共振共振在一定条件下在一定条件下,振幅出现极大值振幅出现极大值,振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1 1、位移共振、位移共振(1)共振频率共振频率:令令(2)共振振幅共振振幅:572、速度共振、速度共振（又称能量共振）（又称能量共振）一定条件下一定条件下,速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。速速度度共共振振时时，筹筹划划力力频频率率等等于于系系统统固固有有频频率率，一一周周期期内内筹筹划划力力总总作作正正功功，此此时时向向系系统输入的能量最大。统输入的能量最大。583 3、共振的利

31、用与防止共振的利用与防止 应用应用：钢琴、小提琴等乐器的木质琴身，就是利用了钢琴、小提琴等乐器的木质琴身，就是利用了 共振现象使其成为一共鸣盒以提高音响效果。共振现象使其成为一共鸣盒以提高音响效果。收音机的调谐装置也是利用共振现象以接收某收音机的调谐装置也是利用共振现象以接收某一频率的电台播送一频率的电台播送。危害危害：共振时系统的振幅过大，建筑物、机器设备等共振时系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严峻的破坏。如就会受到严峻的破坏。如1940年年7月月1日日 斜拉桥因共斜拉桥因共振而坍塌。振而坍塌。防止措施防止措施：破坏外力的周期性破坏外力的周期性 改变物体的固有频率改变物体的固有频率 改变外力的频率改变外力的频率 增大系统的阻力增大系统的阻力59谢谢观看/欢送下载BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES.BY FAITH I BY FAITH