高等数学练习题及答案.pdf

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1、 高等数学1练习题库测试题一、选择题1、设 E=（x,y）x x y 0,A、E为连通域：C、E为单连通域；则（）B、D、E不是连通域;E为复连通域;2、函数Z =ar cS i n +ar cS i n 土的定义域是（）2A、-2 x 23C、一 2 c x 2月.一 3 y 3B、-3 y 3D、o x2+y2 3、函数Z2的定义域是（）A?十 2工。C、0 x2+y2B、x2+y2X2+r2 14、l i m 1+x-oc12x yA、等于exy=()B、等 于1C、等于0 D不存在5、设函数/(x,y)=1.si n x yx1yA、全平面C、全平面除C轴 则/（x,y）在（）上连续。

2、（）x=0B、全平面除去原点C、全平面除y轴6、的在矩开展区域 D：（常量）（）A、必要条件C、充要条件B、充分条件C、既非充非也非必要条件7、设2=2+己=；1+；#=；1一），,则在（1,0）处偏导数电,包的值分别为（）dx dyA、4和 0C、0和 0B、0和 4D、4和 48 设=/+/+2,工 _ rc o ssi n”,y =rsi n si n,z=rc o s，则 黑，电，兰 的值分别为dr do di/()A、0,0,2rC、2r,0,0B、0,2r,0D、0,0,09、当 人（）时，由方程y -x-4 si n y =0,能确定y =/（x）且y（x）具有连续导函数。（）A

3、、1C、2 0 D 2 +内的极值，有（）A、有极大值2=6一 ，无极小值 B、有极小值Z =0C、有极小植Z=0,极大值Z=e T D、无极植Q r15、研究函数Z=2 +y,（x O,y 0）的极值，有（）x yA、在（4,2）处有极小值Z=6；B、在（4,2）处有极大值Z=6；C、在（1,2）处有极大值Z=10；D、无极值16、函数/（X,y）=x+y-/-Z x y-y?有三个驻点（0,0）（1,1）（-1,-1）,则（）A、/（0,0）是极大值 B、/（0,0）是极小值C、f（l,l）,f（T,T）都是极小值 D、f（l,l）,f（T,T）都是极大值17、若?（%，%）=，/；（/，

4、汽）=0,则在点（X o，y 0）处函数/（x,y）（）A、连续 B、必取极值C、可能取得极值 D、全微分d 2=018、函数Z =x +2 y 在条件/+/=5下的极值为（）A、极大值 f（l,2）=5 B、极小值 f（l,2）=5C、极大值 f（2,l）4 D、极小值 f（2,1）=419 函数 =+y +z=5,在条件x y +y z+zy =8 下（）A、无极值4B、有极大值 二4 一和极小值274C、极有极大值=42720、D、仅有极小值=4圆 炉+2町+5 y 216 y =0 与直线x +y 8=0 之间的最短距离是（）A、2V2B,3V221、据二重积分的概念可知DC、4 72

5、-y2dxdy=()，D、6A/2其中 X?+y2 2 如33dxdyC、D、A32国 乜J +cosx+sin。A、-/2B、2 /32设/=JJ(1+4/+9/D估计其值满足（）A、1 3 6 C、S7TI 1O O Z T则 I满 足（C、0 /-2D、-1 /0,其中D是圆形闭区域：/+y 2 4利用二重积分的性质B、S/r I 3 6 7rD、3 6 /100-2 2x)24 设/=其中Q:0 K y W/J W 2;贝 l j/=()DA、0B、3 6TC、6 4-3 D、25 625、设/=JJx e8s3)s山3 卜祖乂其中O:卜|l,|y|71 C、-71 D、-711 6

6、1 63 2、设 E 为球面 x2+y2+z2=l(x 0,y 0)的外侧，则 JJx y z d x 力=()3 3、微分方程丫 一4+（4 尤2一2%=0 有两个解弘=旌2,%=xe%贝卯=G%+C2 y2（）A、是方程的通解 B、未必是方程的通解C、仅是方程的一个特解 D、未必是方程的解3 4、已知(一 1%=2,出 一1 =5,则=()n=l =1 n=lA、3 B、7 C、8 D、93 5、级数的部分和数列有界是级数收敛的（）A、充分条件 B、必要条件C、充要条件 D、以上都不对3 6、用比值法或根值法判断下列级数收敛的是（）8oo&+1A、B、Z 3 7、若“条件收敛，则级数（）n

7、=l=1A、条件收敛C、一定发散c、X-D、y 1B、绝对收敛D、可能收敛也可能发散3 8、设级数论发散，且（）则 级 数“必发散。（）f t=l n=lA、a|/?|B、abn C、|a|/?|D、an b3 9、设级数 与绝对收敛，且（），则 级 数“必收敛。（n=l=1A、a|b|B,abn C、anb,D、an bn4 0、设级数fa 收敛，则级数之明/i=l =lA、绝对收敛C、发散B、条件收敛D、可能收敛民可能发散4 1、设级数屋，力:都收敛，则级数（%+/）（）=1 n=l =1A、绝对收敛C、发散B、条件收敛D、可能收敛民可能发散4 2、己知级数%（x-1）在x =-1 处收敛

8、，则此级数在x =2 处7 1=1A、条件收敛 B、绝对收敛C、发散 D、可能收敛民可能发散4 3、函数/（x）=l n（l +x）展开x的哥级数，则 的系数为（）A、-B、（-i r i C、（-l）n-L D、n n n +14 4、使 函 数 系 列 l,c o s x,c o s 2 x,c o s 几 x,正交的最小区间是（()n+1)A、0,（B、0,C、-7t D、0,4 4 5、使函数系 S 加工5 血 5 加比,正交的最小区间是（）A、0,2 4 B、-肛乃 C、0,乃 D、0,4有？加m TV C I m nnx n m4 6、使函数.余 j 1,c o s -j-,S i

9、 n-j-,c o s -,c o s -;S i n-（这里/0,/片1）正交的 区 间 是（）A、o,2 z r B 匹TT C、o 1 D、1,1 4 7、设/（x）是以2%为周期的函数，在区间-肛/上/（x）忖，则其傅立叶级数中c o s 3 x 及S i n3x的系数田及心分 别 是（）C、D、0,49冗4 8、若函数/（x 以 2 万为周期，且/（x）=x 2,（0 4x4 2 万 则 f（x）的傅立叶级数在点4=0 收敛 于（）A、0 B、7t24 9、能展开成正弦级数的函数。（）A、一定是奇函数C、不一定是奇函数5 0、下列y 为y +y =ev的特解的是A、y=xex B、y

10、=exC、2 2 D、4 1 2B、一定是偶函数D、一定是奇函数或偶函数X1C y e D、y =e5 2、设 小）=：7（0 x4 2）展开为周期为4的余弦级数，则c o s 军 的 系 数 为（）-r c、-7 D、42 2 5/2 5 病2则将其展开为半幅余弦级数的常数项劭为（）2%x2+3y2dx 2xydy-0dx y5 4、将 方 程 也=上一+1 化为可分离变量的方程应选取的代换为()dx x yA x =w-l,y =v +l B、u=x,y C u=x y D、=x +y5 5、微 分 方 程 乂*+19+乂1 +召+/、2,),=0化为可分离变量的方程应迭取的代换是()A、

11、x=u+k y =v +A C、u=xy D、u=x+y5 6、已知方程1 2；/，+q，_ 丫 =0 的一个特解为*,则方程的通解是y=()A、C 1 X+C 3 B、C|x +(7 2 C、G九 +D、C x+x5 7、初值问题也二 一+1,儿_ 0=1 的解为()dx x-yA (x +y)2 =2 x +1C、(x -y)2=2 x +l5 8、微分方程y=3 x y +是()A、齐次方程C、全微分方程5 9、微分方程(x +y)dy=(x y)dx 是A、一阶线性方程C、齐次方程26 0、方程y=3 y，的一个特解是()A、y=(x +2)-C、y =(x +c)，6 1,方程 y-

12、x y=-。(丫？+y)是()A、可分离变量方程C、线性非齐次方程B、(x +y)2=2 x-1D、(x+y)2 =-2 x +1B、可分离变量方程D、线性非齐次方程()B、可分离变量方程D、全微分方程B、y =x3+1D,y =(x +c)y =c(x +1)B、齐次方程D、线性齐次方程6 2、已知函数y(x)满足方程x y=y I n ,且当x =l 时，则当y =e)时。则当x =-l,y =()xA、-1 B、0 C、1 D、e-16 3、曲线y =y(x)经过点(0,1),且满足微分方程y+2 y =4 x,则当x =1 时y =()A、0 B、1 C、2 D、46 4、方程x d

13、x +y 力=(x?+y 2 kx的积分因子可取()6 5、方程孙+y=0属于可降低的类型是()A、y()=/(x)型 B,y=/(x,y)型 C、y=f(x,y)6 6、方程孙+y=0的通解为y =()D、不可确定A、C jn|xl+C2x B、C|n|xl+xC C|/i|xl+C D、C2|/i|xl+C267、方程 y+y=1,不力=0,=()=的解=()A、C Inchx B、C|Inchx+C2 C、Inchx68、方程y”=S山y属于可阶的类型为()A、y()=/(x)型 B、y =/(x,y)型 c、y=/(y,y)型 D、无法确定69、方程y+(y F=x属于可降价的类型是(

14、)A、y()=/(x)型 B、y =/t y)型 C、y =/(%y)型 D、无法确定70、下列方程是全微分方程的是()A、y2+y+S i nx=ex B、+y+exy=S i nxC、+exy+ey2=S i nx D、+exy+exy=S i nx71、微分方程 y(y)2+x(y+yy=0 是()A、三阶线性方程 B、二阶非线性方程C、三阶线性方程 D、二阶线性方程72、微分方程为y-3y+2y=/的特解的形式为()A、Ax B,Ax+Bx+C C、XA.X +BX+C)D、X2A.X +B c+c)73、下列函数组中线性无关的是()A、cos2x,S i n2x B、ex,Aec(A

15、 0)C、xcos2x,7xcos2x D、e,5 e74、下列函数组中线性相关的是()A、B、C、e2x,ei x D、x,2nexX2+4;i I T75、已知函数 =e y2=e 7，y3=x 则，()xA、M与内线性相关 BC、力与内线性相关 D76、微分方程y=y 的通解为y=A ,c +C|X+C-,x+CjC、G，+C2x+力与为线性相关两两线性相关)B-C|x+C?D、C/3 +C3二、填空题。1、求 极 限 吗 空 当=()f x+y2、求 极 限 理 十 二=()10 x+y3、求极限吧，一=()x+y4、求 极 限 吧 三 硬4 =(5、求极限吧，/=()yj xy+1-

16、16、求 极 限 映 亚 色=()X7、设/(x,y)=x +(y-l)a rc s i n#则f,(x,l)=()_ x2+y28、由 线 z =一 厂 在 点(2,4,5)处的切线与正向x 轴所成倾角为()。y=49、微分为方程y +V-2y=0 的通解是()。1 0、若函数从=f(t,x,y),x=*(s,t)均具有一阶连续偏导数，则 生=()。dtai i、设函数)在/,i 上连续，则一 力=()。dx 上。s x 1 2、方程x y =y满足x=l 时，y=0,y =1 的特解是()1 3、旋转球3/+/=1 6 面上点(-1,-2,3)处的切平面与坐标平面XOY的夹角余弦为()。1

17、 4、微分方程y-4 y =0 的通解为是()。1 5、函数z=x y 在 点(1,2)至 IJ(2,2+V 3 )的方向的方向导数为()。1 6、函数u=x 2+y 2-z 2 在点A (c.0,0)处的梯度为()17、函数U=l n(x 2+y 2+z 2)在点处的梯度为()1 8、元函数z =l-jY+y?的极大值点是().1 9、设 a,6,丫 为 平 面 三 角 形 的 内 角，则 函 数 y =c o s a c o s/7 c o s y 的极大值为().2 0、位于两圆x2+y 2=2 4 与 x2+y 0=4 y 之间的均匀薄板的重心坐标为()2 1、锥面z =Ji+-被柱面

18、Z2=2X所割下部分的曲面面积为().2 2、设有一物体，占有空间区域C:0Wx Wl,O Wy Wl,O W z W l,在 点(x,y,z)处密度为P(x,y,z)=x+y+z,则该物体的质量为()2 3、设C 是由锥面z n 由JP TT7与平面z=h(r 0,h o)所围成的闭区域，则 J J J z d”&=Ra().24立体由曲面z=x 2+y 4 x+y=a,x=O,y=O,z=O 所围密度为1,则重心坐标为().2 5、设T 是 从 点(1 ,1 ,1 )至 I 点(2 ,3 ,4 ,)的 一 段 直 线，则Txdx+ydy+(x +y-V)dz=().2 7、设 2 6、设

19、L 是 抛 物 线 y=x 2 上从点，(-1,1)到(1,1)上的一段孤，则-2xyix+(y2-2xyly=()L 为抛物线 y=x 之 上从 0(0,0)到 B(1,1)的一段孤，贝 ij 2xydx-x2d y=()2 8 设 L为直线y=x 上从0(0,0)看至U B(1,1)的一段弧，贝 ij j Z x y d x +x?d y =).2 9、密度为p=x 2 +/曲线L为圆围x2+y2=a x 质量M=（）3 0、积分1=卜 一+4 q 3）心+（6 犬-12-5丫 4）6 与路径无关，则入=（）L3 1、已知虫+）*）收一为某函数的全微分，则 2=（）（x +y）23 2、Z

20、 为平面x +y +z=4被圆柱面/+y2=i截出的有限部分，则曲面积分Jj z 4 =一Z（）3 3、面Z 为 x?+y 2+z 2=R 2在第一极限的部分，其面密度为P （X,丫,Z）=X,则曲面的质量为（）3 4、设 S是平面X+Y+Z=4 被圆柱x?+y 2=l 截出的有限部分，则曲面面积 y ds=（）3 5、面Z 为 x?+y 2+z 2在第一极限的部分其面密度为常数p,则其绕Z 轴的转动惯量为（）3 6、面密度为p的上半球 Z Y+V+Z 2 =（2 2 0）饶 z轴的转动惯量为（）3 7、设Z为 由=+/）与 z=h（h o）所围立体的表面内侧，则J z /.、.=（）3 8、

21、设Z为曲面Z R;/+V w/g/0）的 上 侧 则 公办,=（）3 9、设曲面1 2 炉+y 2+22=/的 外侧，贝4 0、设曲面X为X2+/+z?=。2 的外侧，4 1、设Z 为球面x?+y 2+z 2=a 2的外侧，则 势一Z4 2、设 X为锥面z =+/下 平 面=9J j zds=(JJ(x2+y2)dxdy=()cdyz=()所 围 成 的 空 间 区 域 的 表 面 外 侧，则ydzdx=（）4 3 向里场下 =Z -穿过上半球面z=4 4、设Z 为半球面Z=j 4 x 2-y 2 的上侧。4 5、设 L 为 圆 二+匕=1 的弧，其周长为a4 3 _4 6、均 匀 曲 面 及

22、/一 一+y2 的重心为（4 7、基级数的收敛半径是（念2n4 8、基级数（一 1）”的收敛区间是（）：V/?2-x2-r2 的通量i=()侧 JJx dy dz +ydxdz+zdxdy=()z,则(2x y+31+4)ds=()o4 9、微分方程y +y =O的通解为（）.50、微分方程y +6y +1 3 y =0的通解为（）。51、齐 次 线 性 方 程 +3 y =0 的通 解 为（）。52、齐次方程y =+二 y l i=2 的 特 解 为（）。v Y v53、齐次方程（l+2e）dx +z e（l-）dy =0 的 通 解 为（）。y y y54、微分方程y +y c o sx

23、=/n x 的通解是（）o55、微分方程;/+）1 21 1%=0 皿21 的通解为（）。56、方程y -回=0 满足初始条件y|yJ o=百 的 特 解 是（）。57、微分方程：+2孙=4 x 的通 解 为（）。dx58、设圆柱形浮筒，直径为0.5米，垂直放在水中，当稍向下压突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2 秒种，则浮筒的质量为（）59、贝努利方程包-丫=肛 5的 通 解 为（dx60、方程（x +ydx-d =dx+dy 的通解为61、方程 ydx-xdy+y2xdx=0 的通解为（62、方程y =J1 +/的 通 解 为（63 方程 =1 21+$也1的通解为（k g.)o()o)

24、o)o)o64、满足微分方程y =x的经过点M（0,1）且在此点与直线y=+1 相 切 的积分曲线是）。65、微分方程Vy 1 =0的通解是（）。66、微分方程y =（y F+y 的通解是（）。67、方程y =l +（y ）2的通解为（）。68方程孙 一sin y =0 满足冗=0 时,TTy =|,y =l 的特解是()o三、解答题1、已知函数/(x,y)=/+y 2 一x y ta n 土，试 求/(比,(y)y2 已知函数/(,匕卬)=U 试 求f(x+y,x-y,xy)3、设/(x,y,z)=zy2+yz2+z x?,求(0,0,1),(1,0,2)4、设 z =x l n(x y),

25、求彳。dz dy5、求函数：z =l n(l +/+力 当 x=i,y=2时的全微分。6、求 函 数：Z=-,当 x=2,y=l,Ax =0.1 5,Ay =0.1 时的全增量和全微分。y7、求 函 数 z =e v,当x =l,y =l,A,v =0.1 5,Ay =0.1 时的全微分。8、设 z =而=x c o sy,u=x sin y,求包.dx9、设 z =2 I n y,而=,w=3 x-2y,求电.ydx1 0.设 z =,而x =sE r,y =求 立dt1 1.设 z =a rc ta n (x y),而 y =e 求名.dx1 2.1 3、1 4、15、MX e (y-z)

26、*.十 必攻=y-rf t l y =a sin x,z=c o sx,-2a+1 dx求微分方程 y +y =e +c o s2x 的通解。设 I n J 十 _ a rc ta n/,求处.x dy设 x +2y +z -2yxyz=0,求。dx.16、设=比 工 求 .z y dx1 7、设/一 盯 z =0,求 一dx2W1 71 8设23-3 盯=。1求-.dxdy1 9 求曲线x =/-sin r,y =l-c o s/,z =4 山；在点（5-1,1,2行 1 处的切线方程。20、求曲线x =匚,y =,z=J 在对应于/=1 的点处的法平面方程。1-t t21、求曲线y?=2m

27、x,z2=m一无在点（x（）,y（）,Z o）处的法平面方程。,2 _LV2_I-72-3 r =022、求曲线-一 在 点（1,1,1）处的法平面方程。2x-3 y +5 z-4 =023、求曲线x=f,y =,z=上的点，使在该点的切线平行于平面x+2y +z=4.24、求曲面a +勿 2+c z?=1 在点与，儿“。处的切平面方程。25、求曲面/一 z+xy =3 在点（2,1,0）处的切平面方程。26、求椭球面x2+2 y2+z2=上平行平面x-y +2z=0的切平面方程。27、求函数“=x”在点（5,1,2）处沿从点（5,1,2）到点（9,4,的方向的方向导数。28、设 f（x,y,

28、z）-x2+2y2+3 z2+xy+3x-2y-6z,.g r adf（0,0,0）29、求函数/（x,y）=4（x-y）-x2-/的极值。3 0、求函数/（x,y）=（6 j-x2）（4 y -y?）的极值。3 1、求函数/（x,y）=e（x+丁+2 y）的极值。3 2、求函数/（尤,y）=/+y 3 _3q的极值。3 3、求函数2=（工一1）2+2 旷 2的极值。3 4、求函数z 二町在适合附加条件x+y =l 下的极大值。3 5、在平面xo y上求一点，使它到x=0,y =0 及x+2y-16=0 三直线的距离平方之和为最小。3 6、抛物面z=/+y2 被平而x+），+z=i 截成一椭圆

29、，求原点到这椭圆的最长与最短距离。37、计算二重积分JJ（x 2+y 2 G 其中D是矩形区域：凶 2）dy=Q的通解55 求全微分方程(a 2-2xy-y2)dx-(x y)2 dy=0 的通解。56、求全微分方程/公+(元/一2)，=0的通解。57、求全微分方程(xc o s y +c o s x)y -y s i n x+s i n y =0的通解。58、求微分方程(小一)必 一 皿=0的通解。59 求全微分方程的：y =x+s i n x的通解。60、求yn=xex的通解。61、求)，的通解。-1+x262求 y =y +x 的通解。63、已知(x)=e*是齐次线性方程(2%-1%-(

30、23+1 +2丁 =0的一个解，求此方程的通解。64、已 知%(8)=是齐次线性方程/y 一 2盯 +2y =0的一个解，求非齐次线性方程x2y-2 9 +2y =()的一个解，求非齐次线性方程x2y -2xy+2y =2x3的通解。65、已知齐次线性方程。y+y =0的通解为y(x)=G c o s x+c?s i n x,求非齐次线性方程y,f+y=s e c x 的通解。66、已知齐次线性方程。(x-1%一xy +y =(x 以 的通解为y =C ix+c2x-nx 1,求非齐次线性方程(x l)y 不，+丫 =的通解。67、已知方程y +4 y +4 y =0的特解为力=加 为 求)，

31、+4 y +4 y =%的通解。68、求微分方程y 一y =。的通解。69、求微分方程y(4)+2y +y=0的通解。70、求微分方程 y(4)-2y +)，=。的通解。71、求微分方程y(4)+5y -3 6y =0的通解。72、求微分方程2歹+丫 一 丫 =2 的通解。73、求微分方程y +a 2y =e，的通解。74、求微分方程 2y +5y=5x2-2 x-l的通解。75、求微分方程)，+3/+2丫 =3 比7 的通解。76、求微分方程y-2y+5y=e1 s i n 2 x的通解。77、求微分方程 y 6y +9 y =(x+l,3，的通解。78 求微分方程 y +4 y =xc o

32、 s x的通解。四、证明题1 .设函数z(x,y)由方程尸(尢+工,丁+工)=0 所确定，证明：+y =z-xyy x dx dy2 2 2 22 .试证：曲面+z 上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数a2.3 .设/(x,y)是平面D上的连续函数，且在D的任何一个子域。上，恒有=0，则在 D 内 /(x,y)三 0分4 .设，(x)在0/3 0)上连续，试证：2/(x)d x /(y)力=j /(x)d x -5 .设/(x)在 a,“上连续，试证：f d x，(x-y)”2/()，)小，=f s-y)a/()，)力，6 .设 为 f 连续函数，证明：j j/(a x +4-

33、c)dxdy=2 j*7 1-w2/(V2+b2u 4-c)du,其 中 D 为Dx2+y2 4 1,且。2 +力 2 工07 .设 在 单 位 圆 上 有 连 续 的 偏 导 数，且在边界上取值为零，证明：/(0,0)=l i m X f+y f；dxdy，其中 D 为圆环域：2 x2+y2l f。2 1 x+y8.设 f Q)为连续函数，证明 J j/(x -y)dxdy=-t)dt,D其中D为矩形域：国 可 得(常数a0)9.设/(x),g(x)均在 a,“上连续，证明柯西不等式：f f(x)g(x)dx V f /2(x)d x f g 2 a w*1 0 .设 f(x)为(),1 上

34、的单调增加的连续函数，证明：xfx)dx f2(x)dx1 1 .证明：fe-dxdx 2.(y).1 3 .设 也 0,。“0),证明%b.若 勿收敛，贝收敛；(2)若明发散，则 勿 发散。n=l n=l n=l =11 4 .设0 且 仞 有 界，试证fa?”收敛。“=】0 01 5 .若 l i m n2 a n=c (c 0 ),试证 明 收敛。M=11 6 .设 f 0(x)在区间|0,a(a 0)上连续，而且/“(x)=f 九 仆)a x e 0,a(=1,2,)试证：无穷级数在 0,a 上是绝对收敛的。=01 7 .设/(x)在点x=0 的某一邻域内具有连续的二阶导数，且lim

35、X TO X8 1=0,证明级数/(一),.=|绝对收敛。1 8.设 函 数 f(x)在 a,h 上 满 足 a /(x)b,f(x q 0 时，l i m y(x)=0;.r-+o o Q x-+p(x)(x),g(O)=a;证 明:g(x)f(x),Q x 0,由f(x,y)的连续性,可知存在一个庶(Xo，y 0)的邻域(综)，使得在其中/(尤,y)0,于是，由定积分中值定理，必(玲),使J J 7(x,y)4b=/C，)s,其中s为()A Q)的面积，又因/(47/)0故 J J/(x,j W 0,与假设矛盾，即知在D内有/(x,y)三0似 为。)4.证明：设/=f/(x)d x ,/I

36、 =J J 7(x)/(y)d x d y =fMdxf(y)dy，2 =f(x)f(y)dxdyD2则 1=J J 7(x)/(y)d x d y =人 +人。1+02而 A =f(y)dyf(x)dx=J f(y)f(x)dj y=f(t)f(y)dy dt=1 /(x M q /(y)d y =/1故/=2/,即 2 ff(x)d x /(y)d y =j f(x)d x5.证明：(dx(x-yY 2 f(y)dy=f (y)/(x-y)“d x =f -(x-y)-1。f(y)dy。山 山 力 山 一1 y证明：令君条则D变为 Ij=d(x,y)=1d(u,v)。(,丫)d(x,y)故

37、+by+c)dxdy=+12u+c)j dudv=/(J r2+b?a+c)duDD=2 1 J i-2/(J-2 +/+c)du7.证明：采用极坐标，令x =pc os。，y =ps in。，贝i jP =p co s 3-+p s i n3-=xf；+yf ,于是dp dx dy -d x d y =+y.1/(/?c os e,/7s in。)dO8初=四华切=/(c os s in 0)d6-f/(6,c os ,6,s in 0)d0因为/（x,y）在单位圆的边界上取值为0，故/（c os。,s in。）=0，再利用积分中值定理得I=一1 /（：0$。,$也。/。=一2 7（：0 5

38、夕,5 1 1 1。）,其中。*0,2 4故 l im -：，&力=1 5 1 （一2万）/（c os 6*,s in。*）=/（0,0）8.证明：令=x -y,u =x+y,贝 iJ-W+u 4 a,-a v-u 0,因而有f(x)-tg(x)ydx=f2(x)dx-2t f(x)g(x)dx+12 g2(x)dx 0上式中间部分是关于实数t的二次三项式，故其判别式仅当 =8?-4 A C W 0时，不等号才成立，即 j/(x)g(x)d x 0D即/20,故命题成立。1 1.证明：考虑二重积分J J e-d+再办力，分别取D 为D2 :x2+y2 0,y 0D2:0 x N,0 y NA:

39、x2+j2 0,y 0因为 f(x,y)=e T +尸)0 ,且 2 u 2 u 2故 W e(x2+y2)dxdy +yl dxdyD、D2 D3把左右两个二重积分化为极坐标下的形式，于是(2)ep p dp f ex d x ey dy f d g j、ep 2 p dp即:1 2.y f x W f e*dx V/ex xdx证明：设 L所围成的闭区域为D,由格林公式得+(p xdxdy1 3.因为区域D关于直线y=x 对称，所以JJ(x)dx dy =JJ(y)dx dyD D于是，i y 2 f f L(y)-dxdy=In上。()o e(y)o V 0,0“0),显然有%b二 的

40、a,.4fa,b 4&/仇,%,/a ,a2 b2 b2 O ja+i 0且 有界，故存在M 0 使0 ,即0 Q W ,于是nh/f 2 co -s0 收敛。=”=n=lax 11 5 .证明：由题设可知“为正项极数，因为1加 子=1加2%=。(0 0),二 收 敛，”一 8 1 一 00 72“=1_n=l n2由正项极数比较法的极限形式可知，收敛。n=l1 6.证明：因为/。在 区 间 0，。(。0)上连续，故 伉 在2间 上 连续,从而伉(x)|在 0间上有最大值，设为M W M=m ax /)(x)|0 W a q ”由 f(x)=f E i (x)dx =f /“_2(x)dx M

41、x =/f /o(x)dx个可得,(x)|，a。(冰 .：M d x xnTt-因为x,x e (),a收敛，故 上(刈收敛，即 fn(x)在 o,a上是绝对收敛的。n=0 ”=0=01 7.证明：由“X)在 点x=0的某一邻域内具有连续的二阶导数，且l i m/=0可推出1 X/(0)=0,/,(0)=0,将/(x)在点x=0的某一邻域内展成一阶台劳公式1 ,1 ,f(x)=/(0)+/,(0)+-/7)x2=5 /c)/，c e (o,x)又由题设/(x)在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续，因此三用0，使/(小加，于 是|/(小 飘”(打1 1 1 1 A z 7 1 x|s 令=二，

42、K i j /(-)4,由 于 收 敛，故z/(与绝对收敛。n|n|2 n =,n=,n1 8.证 明：因为|“,M-“|=|/(”“)一/(,1)|=|/)|一 TK 4%oo ao又，级数Z“收敛，所以，级数Z(十1绝对收敛。W=1 =11 9 .(1)解：通解为 y =“小.5+/=，“+二(bx+c)eax,A=a(2)当4 =0 时，y=cl +2,所以，l i m y(x)=l i m (ceax+)=a x T+0 且4 w a 时，y(x)=ceax-e,a-Ab lim y(x)=lim(ce-ax+-e )=0,r-+cc x-KO a A当几 0 且X=时，y(x)=(b

43、x+c)eax,lim y(x)=lim(/?,r+c)e-ax=0,V-+00 XT+OO2 0.证明：令/(x)=g(x)-/(x),尸(0)=0F(x)=g(x)-f(x)p(x)g(x)-p(x)f(x)=p(x)g(x)-/(x)=p(x)F(x)即 尸(x)-p(x)/(x)2 0,有忸(x)-p(x)尸(x)上 NO,f即 尸(x)e it),所以，G(x)G(O)=0,F(x)0,即g(x)/(%),()x/?一.选择题1.函数y=是()x+1A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数2.设 f(sin )=cosx+1,K O f(x)为()2A 2x2-2 B 2-2 x2 C

44、1 +x23.下列数列为单调递增数列的有()3 2A.0.9,0.99,0.999,0.9999 B.2 3D 无界函数D 1-x24554-，为奇数.C.f(n)淇中 f(n)=/D.，为偶数 211-M4.数列有界是数列收敛的()充分条件 B.C.充要条件5.下列命题正确的是()A.发散数列必无界C.两发散数列之和必发散6.设 lim/(x)=k,(k 为常数)则()A.f(x)在点x0有定义必要条件D 既非充分也非必要B.两无界数列之和必无界D.两收敛数列之和必收敛B.f(x)在点X。无定义C.f(x)在点x0的某去心邻域内有界 D.|f(x)-k|=炉+1 在区间-2,2 上 是()A

45、 单调增加C 先单调增加再单调减少10 .设l i m 处 也=4,则 K 为()T0 x-1A.l B.2 C.1/411.l i mS inlT)=()I X-lA.l B.O12.设 l i m(l +&)，=e 6 则 k=().18 XA.l B.2B 单调减少D 先单调减少再单调增加D.4C.2 D.1/2C.6 D.1/613.当xfl时，下列与无穷小(x-l)d 等价的无穷小是()A.x2-1 B.x3-l C.(x-l)214 .f(x)在点x=x o处有定义是f(x)在 x=x 0 处连续的()A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件15、当|x l 时，y

46、=了()A、是连续的 B、无界函数D.si n(x-l)C、有最大值与最小值D、无最小值16、设函数f (x)=(1-x)要 使 f (x)在点：x=0 连续，则应补充定义f (0)为()A、1 B、e C、-e D、-e1717、下列有跳跃间断点x=0 的函数为()A x arc t an l/x B、arc t an l/xC、t an l/x D、c osl/x18、设 f (x)在点X。连续，g(x)在点X。不连续，则下列结论成立是()A、f (x)+g(x)在点x o必不连续B f (x)X g(x)在点X o必不连续须有C、复合函数f g(x)在点X o必不连续D、二八M 在点X

47、o必不连续19、设 f (x)=11+ae”在区间(-8,+8)上连续，且9 f (x)=0,则 a,b 满足(A a0,b0B a0,b0)C、a0 D,a0,b -n/4,n/4 D、(-J i /4,n/4)22、在闭区间 a,b上连续是函数f(x)有 界 的()A、充分条件 B、必要条件C、充要条件 D、无关条件23、f(a)f(b)f(x)=x+l B、f(x)=x-lC f (x)=x2-l D、f (x)=5 x -4 x+l25、曲线y=x?在 x=l 处的切线斜率为()A、k=0 B、k=l C、k=2 D、-1/226、丫=-1|在*=1 处()A、连续 B、不连续 C、可

48、导 D、斜率为027、曲线y=x 3-3x 上切线平行x 轴的 点 有()A、(0,0)B(1,0)C、(-1,2)D、(1,-2)28、在下列点中，函数f(x)=&+t an x+(x T)可导的点有()A、x=0B x=l C、x=“/2D x=J i29、曲线y=si n x+c osx 在 x=/4 处的切线方程为()A、y=0 B、y=乃 C、烂 照 D、y-后 =乃&-“/4)30、曲线y=x-l/x 与 x 轴的交点处的切线方程为()A、2x+y=2 2x-y=2 C、2x-y+l=0 D 2x+y-2=031、若直线y 二 x与对数曲线y=l og.x 相切，则()A、e B、

49、1/e C、ex D el 32、曲线y 二 I n x 平行于直线x-y+l=0 的法线方程是()A、x-y-l=0 B、x-y+3e-2=0 C、x-y-3e 2=0 D、-x-y+3e-2=033、设直线y=x+a与曲线y=2arc t an x 相切，则 a=()A、1 B、JI/2 C、(JI/2+1)D、(JI/2-1)34、设 f(x)为可导的奇函数,且 f (x 0)=a,则 f (-x()=()A、a B、-a C、|a|D、035、设 y=l n 厚,则 y I x=0=()A、-1/2 B、1/2 C、-1 D、036 设 y=(c os)si n x,则 y|x=0=(

50、)A、-1 B、0 C、1 D、不存在37、设 y f(x)=l n(l+X),y=f f(x),则 y|x=0=()A、0 B、1/l n 2 C、138、已知 y=si n x,则 y =()D、I n 2A、si n x B、c osxC、-si n xD、-c osx39、已知 y=x I n x,则 y 0)=()A、-1/x9B、1/x9 C、8.1/xD、-8.1/x94 0 若函数 f (x)=x si n|x I,则()A、f 、(0)不存在B、f (0)=0 C、f (0)=D、f (0)=J i4 1、设函数 y=y f (x)在 0,内由方程 x+c os(x+y)=0