九年级数学上册全册教案:一元二次方程.docx
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1、 九年级数学上册全册教案:一元二次方程_三年级数学上全册教案 一元二次方程 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 2 了解一元二次方程的概念;一般式ax+bx+c=0(a0)及其派生的概念;?应用一元二次方程概念解决一些简洁题目 1通过设臵问题,建立数学模型,?仿照一元一次方程概念给一元二次方程下定义 2一元二次方程的一般形式及其有关概念 3解决一些概念性的题目 4通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热忱 重难点关键 1?重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2难点关键:通过提出问题,建立一元二次方
2、程的数学模型,?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程 一、复习引入 学生活动:列方程 问题(1)古算趣题:“执竿进屋” 笨人执竿要进屋,无奈门框挡住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭。 有个邻居聪慧者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足。 借问竿长多少数,谁人算出我佩服。 假如假设门的高为x?尺,?那么,?这个门的宽为_?尺,长为_?尺, ?依据题意,?得_ 整理、化简,得:_ 二、探究新知 学生活动:请口答下面问题 (1)上面三个方程整理后含有几个未知数? (2)根据整式中的多项式的规定,它们次数是几次? (3)有等号吗?还是与多项式一样只有式子? 教师点评:
3、(1)都只含一个未知数x;(2)它们的次数都是2次的;(3)?都有等号,是方程 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 2 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下形式ax+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 2 一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0(a0)后,其中ax是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 2 分析:一元二次方程的一
4、般形式是ax+bx+c=0(a0)因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必需运用整式运算进展整理,包括去括号、移项等 解:略 留意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 2 例2(学生活动:请二至三位同学上台演练) 将方程(x+1)+(x-2)(x+2)=?1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项 22 分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)+(x-2)(x+2)=1化成ax+bx+c=0(a0)的形式 解:略 三、稳固练习 教材 练习1、2 补充练习:推断以下方程是否为一元二次方程? (1)3x+2=5y-3
5、 (2) x=4 (3) 3x-2 2 22 52 2 2 =0 (4) x-4=(x+2) (5) ax+bx+c=0 x 四、应用拓展 22 例3求证:关于x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0,不管m取何值,该方程都是一元二次方程 2 分析:要证明不管m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m-8m+17?0即可 22 证明:m-8m+17=(m-4)+1 2 (m-4)0 22 (m-4)+10,即(m-4)+10 不管m取何值,该方程都是一元二次方程 2 ? 练习: 1.方程(2a4)x2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为 一元一次方程?
6、4m-4 2.当m为何值时,方程(m+1)x+27mx+5=0是关于的一元二次方程 五、归纳小结(学生总结,教师点评) 本节课要把握: 2 (1)一元二次方程的概念;(2)一元二次方程的一般形式ax+bx+c=0(a0)?和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用 六、布臵作业 第2课时 211 一元二次方程 教学内容 1一元二次方程根的概念; 2?依据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些详细题目 教学目标 了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些详细问题 提出问题,依据问题列出方程,化为一元二次方程的一般
7、形式,列式求解;由解给出根的概念;再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个学问点解决一些详细问题 重难点关键 1重点:判定一个数是否是方程的根; 2?难点关键:由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学独立完成以下问题 2 问题1前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x-8x+20=0 列表: 问题2列表: 3 教师点评(略) 二、探究新知 提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少?问题2?中一元二次方程的解是多少? (2)假如抛开实际问题,问题2中还有其它解吗? 22 教师点评:(1)问题1中x=2与x=1
8、0是x-8x+20=0的解,问题2中,x=4是x+7x-44=0的解.(2)如 果抛开实际问题,问题2中还有x=-11的解 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 2 回过头来看:x-8x+20=0有两个根,一个是2,另一个是10,都满意题意;但是,问题2中的x=-11的根不满意题意因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不肯定是实际问题的根,还要考虑这些根是否的确是实际问题的解 2 例1下面哪些数是方程2x+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 分析:要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式,使等式两边相等即可 2 解:将上面的这些数代入后,只有-2和-3满意
9、方程的等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x+10x+12=0的两根 2 例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x+bx+c=0(a0)的一个根,求代数式2023(a+b+c)的值 2 2 练习:关于x的一元二次方程(a-1) x+x+a-1=0的一个根为0,则求a的值 点拨:假如一个数是方程的根,那么把该数代入方程,肯定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法常常用到,同学们要深刻理解. 例3你能用以前所学的学问求出以下方程的根吗? 222 (1)x-64=0 (2)3x-6=0 (3)x-3x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满意等式的数,可用直接观看结合平方根的意义 解:略
10、 三、稳固练习 教材 思索题 练习1、2 四、归纳小结(学生归纳,教师点评) 本节课应把握: (1)一元二次方程根的概念; (2)要会推断一个数是否是一元二次方程的根; (3)要会用一些方法求一元二次方程的根(“夹逼”方法; 平方根的意义) 六、布臵作业 1教材 复习稳固3、4 综合运用5、6、7 拓广探究8、9 2选用课时作业设计 第3课时 21.2.1 配方法 教学内容 运用直接开平方法,即依据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些详细问题 2 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax+c=0,依
11、据平方根的意义解出这个方程,然后学问迁移到解 2 a(ex+f)+c=0型的一元二次方程 重难点关键 2 1重点:运用开平方法解形如(x+m)=n(n0)的方程;领悟降次转化的数学思想 22 2难点与关键:通过依据平方根的意义解形如x=n,学问迁移到依据平方根的意义解形如(x+m)=n(n0)的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成以下各题 问题1填空 222222 (1)x-8x+_=(x-_);(2)9x+12x+_=(3x+_);(3)x+px+_=(x+_) 问题1:依据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( p2p ) 22 问题2:目前我们都学过哪些
12、方程?二元怎样转化成一元?一元二次方程于一元一次方程有什么不同?二次如 何转化成一次?怎样降次?以前学过哪些降次的方法? 二、探究新知 4 上面我们已经讲了x=9,依据平方根的意义,直接开平方得x=3,假如x换元为2t+1,即(2t+1)=9,能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组争论) 教师点评:答复是确定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=3 即2t+1=3,2t+1=-3 方程的两根为t1=1,t2=-2 2 2 2 例1:解方程:(1)(2x-1)=5 (2)x+6x+9=2 (3)x-2x+4=-1 22 分析:很清晰,x+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(
13、x+2)=1 2 解:(2)由已知,得:(x+3)=2 直接开平方,得:x+3= 即 所以,方程的两根x1 x2 2 例2市政府规划2年内将人均住房面积由现在的10m提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为x?一年后人均住房面积就应当是10+?10x=10(1+x);二年后人均 2 住房面积就应当是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x) 解:设每年人均住房面积增长率为x, 2 则:10(1+x)=14.4 2 (1+x)=1.44 直接开平方,得1+x=1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.
14、2 由于每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为20% (学生小结)教师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程?我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、稳固练习 教材 练习 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,?那么二月份的营业额就应当是(1+x),三月份的营 2 业额是在二月份的根底上再增长的,应是(1+x) 解:设该公司二、三月份营业额
15、平均增长率为x 2 那么1+(1+x)+(1+x)=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: 22 1232 )=2.56,即(x+)=256 22333 x+=1.6,即x+=1.6,x+=-1.6 222 (1+x+ 方程的根为x1=10%,x2=-3.1 由于增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应把握: 由应用直接开平方法解形如x=p(p0),那么x= 解形如(mx+n)=p(p0),那么mx+n= 六、布臵作业 1教材 复习稳固1、2 第4课时 22.2.1 配方法(1) 教学内容 间接即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标 5 2
16、2 p0则方程无解 初中数学一元二次方程根说课稿 教材分析 中学阶段我们讨论的多项式函数中有二次函数,讨论的几何图形中有二次曲线。因此一元二次方程便成为了方程中讨论的重要内容。一元二次方程有根与系数关系,求根公式向我们提醒了两根与系数间的亲密关系,而根与系数还有更进一步的发觉,这一发觉在数学学科中具有极强的有用价值,本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等学问的进一步深化,又蕴含有丰富的数学思想方法,也为学生们将来的学习打下了必要的根底。 学生分析 进入了初二下半学期,随着年龄的增长以及试验几何向论证几何的逐步推动,学生们的规律推理力量已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的
17、解法后,自主探究其根与系数的关系是完全可能的。再加上我所执教的学生,他们有着较强的认知力与求知欲, 基于以上思索,我在设计中扩大了学生的智力参加度,也相对放大了学问探究的空间。 教学目标 在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中,经受观看、分析、概括的过程以及“实践熟悉再实践再熟悉”的过程,得出一元二次方程根与系数的关系。 能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根;已知一根求另一根及系数。 理解数学思想,体会代数论证的方法,感受辩证唯物主义熟悉论的根本观点。 教学重难点 发觉并把握一元二次方程根与系数的关系,包括学问从特别到一般的发生进展过程 教学过程 (一)复习导入 请学生
18、求解表格内的方程,完成解法的沟通以及求根公式的复习,求根公式向我们提醒了两根与系数间的关系,那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢?由此疑问,导入新课。 (二)探求新知 数学学科中由数到式的构造编排,让我们想到了从两根运算上的最简组合:和差积商绽开进一步讨论。初探新知中,我将学生们分成两组,分别对二次项系数为 1 的一元二次方程两根进展和差积商的运算,之后将结果汇总展现,共同观看与系数的联系。我在这些方程中安排了两个无理根方程。当学生们发觉这两个无理根在求和,求积后,竟变成了有理数,而且每一组两根和(积)都与系数有着亲密的联系,此时的他们不难对两根和与两根积产生关注,经受了对二次项
19、系数为1的一元二次方程两根和差积商的讨论后,确定了课题并获得猜测:“两根和等于一次项系数的相反数, 两根积等于常数项。”对于这一猜测,会有学生提出不同看法,他们提出讨论二次项系数非 1 的一元二次方程。学生的质疑启动再探新知。直接讨论一元二次方程两根和、两根积与系数的关系。这一环节中我不再给出详细的方程要求讨论,故除了局部同学自定义方程求根求和求积后产生猜测,还有局部同学对仍保存在板书局部的求根公式着手进展两根和,积的运算。这两种方案齐头并进,当前者通过不断验证来说明他们猜测的牢靠度时,后者通过论证,在严格意义下,说明白此结论的正确性。对于论证中学生消失的问题,我们在第一时间内揪错指正, 在学
20、问初探与再探后,学生获得了新知,得到了一元二次方程根与系数的关系, 三、训练感悟 我将之前从学生那里收集来的错解对比表中方程,询问检验其正误的方法。学生依据已有阅历,将其代入方程,进展检验。为寻求更为简便的方法,引出作用一,利用根与系数的关系,不解方程检验两数是否为原方程的根。我再给出两例,便于稳固练习,更明确了只有当两数和(积)同时满意方程两根和(积)的时侯,才是正确的根。当学生们正为找到了一种行之有效的检验方法,快乐不已的时候。突然间,表格中的数据丧失了,我分别隐去了方程的一根及b,c,a三个系数。为了将材料修复,学生小组绽开热闹的争论。有了上一题的阅历,学生们会利用根与系数关系,不解方程
21、,求出另一根及系数。也会使用代入求解的方法解题,通过新旧方法的比拟,在训练中获得感悟:方法的选择在于简便,学生们在选择了恰当的方法后,修复了材料也稳固了新知。 四、总结提升 由学生回忆学问的发生进展及应用过程,以“我的收获” 与“我的怀疑”沟通心得。我再帮忙学生整理所学学问,引导领悟数学的思想。我还会骄傲的告知他们,数学家们还发觉了存在于一元n次方程中的根与系数的普遍关系,这一内容将在高数中有所涉及,鼓励奋进 五、分层作业 现在的设计较之以往,有所继承,有所变革。 1、讨论启动入口不同 过去我总是先给出若干详细方程要求学生求根,并计算两根和(积),作出猜测。这样的数学后曾有学生问我:“教师为什
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- 九年级 数学 上册 教案 一元 二次方程
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