高数II-2练习题和答案.pdf

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1、高数11-2一、单项选择W00(-l)n+11、级数n=l n为()A,发散B.条件收敛但不绝对收敛*C、绝对收敛但不条件收敛 D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线 X =2t,y=1+t,z=t2在 t=2处的切向量是(。r A.(2,1,4)C B.(4,3,4)cI c、o rD、(-4,3,4)参考答案 Adf f(%，y)(x0,y0)dx,dy3、在)处 均存在是件。,A、充分 r B、必要C C,充分必要 D 、既不充分也不必要参考答案 D4.设a 为常数，则级数00n=lsin(na)0f(x,y)在(右,、0)处连续的()条A、绝对收敛C B、条件收敛r C、发散D、敛散

2、性与a 的值有关参考答案A5、二元函数u=yjx2+y2 z+arcsin(x2+y2+z2)的定义域是().c z x2+y2 l-z2 A、p z x2+y2 1 z2B、c c zx2+y2 z2-1 r D、参考答案 A1-z2 x2+y2 un+1(n=1,2,3,.)(-1)*1%若满足则交错级数A、一定发散B、一定收敛1 C、可收敛也可发散 1 D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。Asz00(-Dn2几n=l y00(-1，乙 =1比(7 1 +1)B、y 54=i F参考答案13、C、D、Cz00(-l)nn!n=lnn下列说法正确的是（）o0,nA、两直

3、线之间的夹角范围在。利B、两平面之间的夹角范围在 ，兀 c、两向量之间的夹角范圉在D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案C0,7T8 nnnn=l 加14、级数收敛，则参数a 满足条件（）A、aeB、a0 弟 忌 用(5禺18、，且收敛，则()。rA、绝对收敛C B、条件收敛0C、收敛 D、发散难度 3解题方法参考答案 Akx+y+z+k=O x+ky+kz+k=O19、当k=()时，平面 与互相垂直。*CA、0c B、1c C.-1c*D、3难度 4解题方法参考答案 Adz Z=U2V dx h=。2、设，u=cos x,v=sin x,贝 ij=()。CA、0cB、-1c C.1c D、2

4、难度 4解题方法参考答案Cz=In4x2+y2+arcsin1x2+y221.二元函数的定义域是（）。1 x2+y 4A、B、1+1忘4/l,24c、1 x2+j24D、难度解题方法参考答案4A22、方 程x=2在空间表示（）A、yoz坐标面B、一个点C、条直线D、与yoz面平行的平面难度解题方法参考答案3Dyr,+pyf+qy=/（、）%，为，丫323、设的三个线性无关的解则 该 方 程 的 通 解 为（）。+c2y2+笛3A、31+C 2 y 2 G +。2)丫3 0B.q y i +c2 y 2 -(1 -Q-C 2 W 3 r c、C l%+C 2 y 2 +(1 -C l 一。2亚3

5、r D、难度 3解题方法参考答案 Dy y+Py+Qy=/(%)1 J/24、设 和 是微分方程 的解，则()也是微分方程y+Py+Qy=/(%)的解。%一为A、71+72B、2ylc、2%-y2 r D、难度 3解题方法参考答案DI)：x2+y2 y0),则=()o21n(x y)D、难度4解题方法参考答案An+131、已知级数的部分和,则该级数的通项 为()1n r A、Tn+1 r B、Tn(n-l)r c、1n(n-l)D、难度 4解题方法参考答案 C32、总长度为2 的一根铁丝，可以围成矩形的最大面积是。181B.61412 D、难度 4解题方法二次积分为O O参考答案 Cy=cos

6、 x cos y-sin x sin y33、为将方程u=x+y r A、Xu=-y.B、u xy r c、u=x y.D、难度 4解题方法参考答案 D34、设 a=(2,3,1),b=(1,1,3),c=(1,2,0),则(ab)x(bc)等于()。c A、(0,1,-1)1B、(0,-1,-1)C、(0,1,1)c D、(0,-1,1)难度 4解题方法参考答案 Be x 2+y 2dxdy,D35、积分转化为可分离变量的微分方程，适当的变量代换是（）。：x2+y2 0 A、/0I O /VSAi*b、炉-/C0.c、VvVsAA C B2-AC07,A（-l）n+1xn-171=045、辕

7、级数1l+x r A,-1O-1rki 的和函数为o。B、1+xX1+xc、0 r D、难度 4解题方法参考答案 B言二(l+x)(l+siny)y(o)=246、求解微分方程 满足初始条件 的特解的Matlab命令为()。A、y=dsolve(Dy=(1 x)(1 siny)；y(0)=2,(x)B、y=dsolve(,Dy=(1 x)*(1 sin(y),/y(0)=2,x)C、y=dsolve(*Dy=(1 x)(1 sin(y),；y(0)=2,(x,)C1 D、y=dsolve(Dy=(1 x)*(1 siny),；y(0)=2,；x,)难度 4解题方法参考答案 B47、察级数 的收

8、敛域为()r A、0(一 8,+8)B、（一 8,0）(-8,1 D、难度 4解题方法参考答案 A a +b =a-b fa=(3,-5,8),6 =(-1,1,f c)48、设?!k=()0CA、0c B、1c C、-1c D、2难度 3解题方法参考答案 B连1 an(x-k)n X=3 X=|4 在处收敛，则此级数在 处()。1A、收敛C B、发散 C、不确定Q,1 D、收敛性和 有关难度 4解题方法参考答案 A50、下列一阶微分方程中哪个不是可分离变量的微分方程()。(x2 l)yz+2xy2=0y tan x-ylny=0 r B、,x+2y=-,x+2y2 c、（靖 y+（短+y+e

9、y）dy=0 r D、难度 3解题方法参考答案 C51、交换二次积分 的积分次序可得（）。鱼1广 （）dy A、0%也/（”）dy B、I C、x udy.D、难度 4解题方法参考答案 By-2y (x2+2x)eA52、对于非齐次微分方程,其特解有()的形式。Q(x)=ex Ax2+Bx)Q(x)=ex(Ax+B)Q(x)=ex(Ax2+Bx+C)Q(x)=Ax2ex.r D、难度 4解题方法参考答案 Cf(x)心)=2/(x)/(O)=l n 253、若 满足 并且，则/(X)=()Oexl n 2A、e2 xl n 2ex+l n 2c、2e2x+ln2 r D、难度 3解题方法参考答案

10、 BffD y)R2 x2 y2clxdy54、二重积分(D 是以原点为中心，半径为R 的圆)的值为()。nR2-nR23 B、-nR22 c、r D、以上答案都不对难度 4解题方法参考答案 Dduu-ln(x+y2+z3)最55、设，则=(o1x+y2+z3A、2yx+y2+z3*C Das3 Z 2x+y2+z3c、Xx+y2+z3 D、难度 4解题方法参考答案 A1 1 1 ：x+y l 1 =056、二平面T T/2A.C T T/3n2：3 x+8=0 0的夹角=()。7 T 4难度 4解题方法参考答案 Dx-3 y-5 z+1一 57、直线 与直线x-1 y z的夹角为()A、0B

11、、45C、60 D、90难度 4解题方法参考答案 D58、下面可以作为一条有向直线的方向角的是（）。A、45。，60,600B、30%450.60C C、45,90%60c D、0,30,150难度 4解题方法参考答案 AU =/(,)59、已知,其中x-w（s,t）,y=ip（s,t）均有一阶连续偏导数，则=()od f d(p d f dipdx dt dy dtA、互+互州+打生dt dx dt dy dt碟+噜c、红+心+虺dt J dt dtD、难度解题方法参考答案60、4B下列方程中表示椭球面的是（）。%2+y2-z2=Q2r A,x2+y2+z=a2B、难度解题方法参考答案61、

12、难度解题方法参考答案62、2x2+3y2=a2c c、x2+y2+2z2=a2D、3D下列方程表示抛物面的是()。x2+y2+z2=1r A.x+y+z=1B、x+y2+z2=0r c、x2 y2+z2=03C下列平面中，垂直于Z 轴的是()oA、x+y+z=0B、z=4C、5x6y=1 D、yz=1难度 3解题方法参考答案 B=x+y 1dx63、求解微分方程 的通解的Matlab命令为（）。A y=dsolve CDy=x y 1,x)CB、y=dsolve(Dy=x y 1)rC、y=dsolve(y=x y 1 *)C D、y=dsolve(y=xy 17x)难度 3解题方法参考答案

13、A64、y=y(x)设y y(x)x y+arc tan y=0由方程 所确定,dydx=()。1 一二y NA、1 4.-y2B、T +卷 D、难度 4解题方法参考答案 Bz=arcs in-+yfxy65、函数 X 的定义域是()。fe y)1 11 y,x w 0难度解题方法参考答案(x,y)|x|y 0,x H 0U(x,y)|x y 0,y 0U(x,y)|x 0,y 0D、3 (r,8)-7 1,0 0 2TT!0为常数，则f(x,y)在(0,0)点()。A、连续，但不可偏导 0 B 、可偏导，但不连续 C、可微且 df|(0,0)=0 D、仅(x,y)和fy(x,y)在(0.0)

14、点连续难度 4解题方法参考答案 Cy oo(n乙7i=l 2n+l)70、无穷级数 是()A、收敛 B、发散 1 C、不能确定乙九=1九幅 1 D、和级数 敛散性一致难度 4解题方法参考答案 Ayy+(y+l)y =0，p=yr71、求解微分方程 使用变换 降阶得到的方程是（）。yp y +（y+D p?=oyp?+(y+I)P=o-（y+DP?=o r c、+（y+1犷=o r D、难度 3解题方法参考答案 AG+9+G+1）+仔+专）+72、级数的和为（）0A、1B、17.37.D、2难度3解题方法参考答案Cx2+y2+z2250,z=473、方程组所表示的圆的半径为()OA、4B、3C、

15、2D、1难度3解题方法参考答案BZ X2-=I-44y2974、方程表示的曲面是()O1A、椭球面 f-B、椭圆抛物面-C、球面 f、D.圆锥面难度3解题方法参考答案B75、2n 1 5,则Xn=lCln()。A、1B、0C、8D、不能确定难度 4解题方法参考答案 C76、下列方程中表示柱面的是（）。人 )乙一工 r A、x2+z2=1+y B、x2 y2=1r c、x+y+z2=1.1D.难度 3解题方法参考答案 C/(x,y)(x0,y0)77、二元函数 在点 处两个偏导数tx（x（）,yo）,/y（x（）,yo）f（x）y）存在是 在该点连续的（）。r A、充分条件而非必要条件P B、必

16、要条件而非充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件又非必要条件难度 4解题方法参考答案 D78、曲面是()。A、zox平面上曲线z=x绕 z 轴旋转而成的旋转曲面 B、zoy平面上曲线z=|y|绕 z 轴旋转而成的旋转曲面 1 C、zox平面上曲线z=x绕 x 轴旋转而成的旋转曲面 1 D、zoy平面上曲线z=M绕 y 轴旋转而成的旋转曲面难度 4解题方法参考答案 BD：x2+y2 a279、设f(x,y)是有界闭区域 上的连续函数，则当Q T 0时,的极限O O0A、不存在0B、等于 f(0,0)C、等于C D,等于难度 4解题方法参考答案 Bx2+y2+2z2+2x 6y+12z=1680

17、、椭球面的中心坐标是()。A、(-1,3,3)B、(1,3,-3)*C、（1,3,3）0D、（1,3,-3）难度 3解题方法参考答案 B二、判断题dy _ 1dx x+y（。）=081、微分方程 满足初始条件 的特解是x+y+1=eyo（）正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确a=（2,1,2）6=（4,T,10）82、向量，正确 错误难度 4解题方法参考答案 正确u=siny=2st,y83、设c=bAa A=3且 c 垂直于b,则。）t+s2,则 u 对 s 的偏导数为2e(t siny+s cos y)()正确错误难度 4解题方法参考答案 正确Z=Z y)Z=/A 3 Z +2 y 3

18、 g +g84、设函数 由方程 所确定，则l+3(z-2y)O ()正确r错误难度 4解题方法参考答案 错误d2uX-u=xe siny85、设正确dy dx1(0,0)二。,则O ()错误难度 4解题方法参考答案 错误00n=ln+1n3+286、级数收敛。()正确 错误难度 4解题方法参考答案 正确87、已知函数正确错误难度4解题方法参考答案正确88、难度解题方法参考答案89、难度解题方法参考答案90、f(x,y)xoy平面上的双曲线4G 2正确错误4正确已知a=(1,正确错误4错误椭圆抛物面正确1,arctan,则4 A:2-9 v2=36+z2)9y2fx绕 y 轴旋转一周所生成的曲面

19、方程是36()士(121)1),b=(1,2,2),则和向量a 与b 都垂直的单位向量是次+日二z22可以通过抛物线()x2Z=2绕 z 轴旋转得到。()110()错误难度4解题方法参考答案正确m=%2+y2 d(j,D:x2+y2 R291、积分的值为难度解题方法参考答案knR3正确错误4错误()92、在一个具有电源、电阻和电感的电路中，设电感为4 亨利，电压为60伏特，电阻为12欧姆，并假定在初始时刻的电流为0 安培，则电路中电流41-12/=60随时间变化的微分方程为,()正确错误难度4解题方法参考答案错误93、某级数00n =l正确错误难度4解题方法参考答案错误n(%+5产n的 收 敛

20、 区 间 为()1 22 32 n294、级数收敛。()正确错误难度4解题方法参考答案正确 x,y2=x+xex,y3=x+ex95、已知是y+Pyr+Qy=/(x)y+Py+Qy=0的解，则微分方程 的通解为y=Ctx+C2e2x正确错误难度4解题方法参考答案错误$0 02JH =1100!+(-l)n96、无穷级数1.171收敛。)正确错误难度4解题方法参考答案正确97、过点(2,0,一1)且与直线 x=L2,y=-3t1,z=-2t3垂直的平面方程是x3y2z-4=CL()正确错误难度4解题方法参考答案正确y+2y+y=098、微分方程y=ex+(3e l)xe-A 正确r错误难度 4解

21、题方法参考答案 正确y+y=099、微分方程 满足初始条件y=2 cosx+3 sinx。0 正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确y-5y，+6y=1 0 0,微分方程 正确 错误难度 4解题方法参考答案 正确y(0)=1/(1)=3满足初始条件 的特解为.()y(0)=2,y(0)=3的特解为2 y Qe21+C2e3v+1通解为。()2口针-：101、无穷级数 发散。()正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确(s i n x y+x c o s x v)d x+x2c o s102、微分方程xsinxv=cAAAAAAAzX*vWWM/V,()正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确

22、z=a.v(Q W 0)103、将yoz坐标面上的直线 绕z轴旋转一周，(X2+z2)=Q2y2O()正确 错误难度 4解题方法参考答案 错误xvdj,=0AA/*VSAA-VX*v*Vw 00）“没有极值。（）,正确 r错误难度 4解题方法参考答案 正确113、级数 收敛。（）正确C错误难度 4解题方法参考答案 错误y=Cx-xlnx114、一条曲线满足其切线在纵轴上的截距等广切点的横坐标，则该曲线的方程为正确 错误难度 4解题方法参考答案 正确d2z 2 V-21 1 5、设函数，则.()正确 错误难度 4解题方法参考答案 错误7,y2 x-1 y-2z=x2+-=z-32 2 21 1

23、6、曲面 在点(1,2,3)处的法线方程为。()正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确y-2yr=(x2+2x)ex1 1 7、对于非齐次微分方程2 x)e x p(x),；x )o ()正确C错误难度 4解题方法参考答案 错误的通解的 M a t l a b 命令为 y=d s o l v e (D 2 y-2 D y=(xA21 1 8、2xyy=x2+xy+y2求解微分方程,要转化成为可分离变量的微分方程，适当的变量代换是u =x y o ()正确 错误难度 4解题方法参考答案 错误二 I n (1+x +V+z3)*119、正确r错误难度 4解题方法参考答案 错误U=f(xy,x2+

24、y2)120、设，且函数f 可微 正确r错误难度 4解题方法参考答案 正确三、填 空 题1+Xl+x+y2+z3。()则。()(2-3,0)n=(1,-2,3)121、求过点 且以 为法向量的平面的方程。难度 4解题方法因为所求平面过点(2,-3,0),且以九=(L-2,3)为法向量，所以根据平面的点法式方程,得所求平而的方程为参考答案(x 2)2(y+3)+3z 0即 x-2 y +3 z-8 =0 x+l y z2 2 3122、点(2,4,1)到直线 的距离为.难度 4解题方法参考答案 68 Inn乙九=1.2+21123、级数 的收敛性为 o难度 5解题方法参考答案 收敛y +6y+1

25、3y=0124、二阶齐次微分方程 的通解为、难度 4解题方法参考答案 y=/GCOS2X+C2s 仇 2X)y +9y+20y=0125、二阶齐次微分方程 的通解为.难度 4解题方法参考答案 y=cTe4x+c2e5xxv-2 、2二。126、如果 和 是某二阶常系数齐次线性微分方程的解，则该微分方程为难度 4解题方法 /n参考答案 y y=u y-2yr+2y=ex127、二阶非齐次微分方程 的通解为.难度 5解题方法参考答案y=ex(1+q c o s x +Q s i n x)128、设难度解题方法参考答案129、难度解题方法参考答案Xu=ey5Z4,则d2udxdyd x z-ey(l

26、+土户Xydzdxdzdxye町y=f(x)o,一21130、已知曲线过点,且其上任一点处的切线斜率为x l n(l +%2)难度 5解题方法/(X)=则参考答案/(久)=-(1+x2)l n(l +%2)1z 2x+y V 5 z 4 =0131、一平面过 轴，且与平面 的夹角为面的方程为 o难度 5解题方法713,则该平参考答案3x+y=0或3久一y=0132、函数难度 4解题方法z=exy的全微分为dz=参考答案 e Kydx+e rdy/G y)=盯 +意？133、设，则fx(0,1)fy(04)难度 4解题方法参考答案 2;0134、y=f M设曲线上任意一点P a y)到坐标原点的

27、距离等于曲线上点P 的切线在y 轴上的截距，已知曲线过点(1,0)。则该曲线满足的违法方程是.难度 5解题方法参考答案y-冲 =Jx2+/X I)=0力-3,4)5(4,-1,3)135、通过点 与 的直线方程为(难度 5解题方法参考答案 x-2 y+3 z-4 x+2y 3z+4=0136、过点(1,3,2)且平行于两平面 及3x y+5z+2=0的直线方程为.难度 4解题方法参考答案 x 1，v +3-7-1 4-z =I n (x +y2)也137、设，则难度 4解题方法参考答案 dxI=ff xd xd y138、二重积分y=fx,y=x2所围成的区域)，难度 5解题方法z 271(1

28、,0)(J(其中 是由两条抛物线则该积分先对X积分再对y积分的二次积分形式为参考答案 y fy d y x d x200n=l2nn!n139、难度解题方法参考答案级数5收敛的敛散性为.140、难度解题方法y+ytanx=secx一阶线性微分方程 的通解为.5参考答案y=sinx+Ccosxi l l I-1-F.+2 5 101n2+l141、难度解题方法参考答案级数4收敛的敛散性为.142、难度解题方法参考答案*8 nn累级数 的收敛区域为.(1,3)y i 82JTI=11n2nvn 1143、难度基级数的收敛域为:其和函数为.5解题方法参考答案-2,2)，2(2-x)2、_ _ _ 乙

29、 九=1(2 n-l)(2 n+l)1 4 4,级数 的和为.难度 4解题方法1参考答案 一2y=x2+x,z=1+x3 x=1145、求曲线 在对应于 点处的切线方程为难度 4解题方法参考答案 x1 y 3 z3T 一 T 一 T146、经过P(1,1,1),Q(-2,1,2),R卜3,3,1)三点的平面方程是.难度 5解题方法参考答案 Y+2v+2z-6=0Z00(-l)nn=O(+272 n*/V2n147、幕级数难度 5解题方法的收敛区间为，参考答案(22)f3x2+2y2=12 z=0148、由曲线 绕y轴一周所得的旋转面方程为难度 4解题方法参考答案 3(x2+z2)+2y 2=1

30、2ydx+(%lny)dy=0149、微分方程 的通解为难度 5解题方法参考答案 x=Iny-1 +(X Xkf-dj y r C O S X dT x150、J=_ o难度 5解题方法参考答案 1/2rx+1 y 3 z+1L=-=2 2 2151、直线 与x轴的夹角为.难度 4解题方法参考答案出arccos3y+y=y2(cosx sin%)152、微分方程难度 5解题方法参考答案-=Cex-sinxy/(x,y)=xy+x3153、则难度 5解题方法参考答案 x+y+3%2x-3 y-5 z+2 3 4154、直线.x+y +1=vx -y+3z=难度 4解题方法5参考答案 3FCC0S

31、.V87155、将 直 线z=1 y绕z轴旋转一周，所得的旋转曲面方程_难度 4解题方法的通解为+变dx dy1与直线04=0的夹角为_参考答案x2 +y2=i)2z=x2+6xy+y2 156、难度 5解题方法参考答案,1 3(、(8)%(3,2,1)157、过点 且垂直于向量难度 52x,则该函数的驻点为_OMo的平面方程为.解题方法参考答案3x-2v+z 14=0/(x,y)=xy xy2 x2158、函数难度 4解题方法参考答案(0,0),(0,1),(1,0)d2u _Z=x dxdy159、，则 _ _ _ _ _ _ _难度 5解题方法参考答案xy-1(l+ylnx)u=fx y

32、,x2 y2)160、设y的驻点是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _dudy,且 函 数f可微，则难度解题方法4参考答案-2 y/2四、计算题yy+(y)2=0 y(0)=1,/(0)=2161、求方程 满足 的特解。难度 5解题方法该 方 程 是 不 显 含 自 变 量x的 方 程，设y=p,则y =p,代 入 原 方 程，得ypp-p2=0,化 简yp-p=0(p=0)得 可 分 离 变 量 的 微分 方 程p=q y,即参考答案,dy技=2分 离 变 量 后 两 端 积 分，得丫=2。N+仁，注 意 到y(0)=2,得 特 解y=e2Xoyf(xy)dx+

33、xgxy)dy-0162、计算微分方程难度 5解题方法的通解,有用方程形式中出现函数/(%y)和g Q y),因此尝试变换二就。于是得到参考答案y u以r l及 丁 工y =不u二x-u。代入原方程得到，有=u(g(u)-f(u)o分离变量得到：?一二=纥两边积分就得到瀛果十加+C。假设J (黑 黑)=F 0)，于是可得原方程的通解为F(xy)=Inx+C./(x)=sin2 x163、难度解题方法求函数6的麦克劳林级数。首先，因为s i H x=|-1 co s 2 x,同时，我们知道%2 工，%之 久C OS X =1-+(T)n7TF+3(-8,+8)2!4!(2 n)!因此,参考答案c

34、o s 2%=1 (2 x)2!2-+(2 x)44!(2xYn+(l)n x+(-8,+co)(2 n)!所以 s i i F x=|co s 2%=-一 等+等+产 需+）1 /(2 比)2 (2 x)42!4!)2+(_ 1尸3+I (2 n)!22122M2（2,0,l）MM；164、已知两点 和。求向量 的模、方向余弦和方向角。难度 5解题方法解：砥 为 二 2-1，0-V2,1-2=1,-V 2,-1,MrM2 =112+(-V2)2+(-1)2=2;参考答案1 n 2 1cos a=-,cos p=,cos y=;2 L 2/2进而，方向角为：a=?,p=,y=o3 4 3/（“

35、）二等八琵）165、设，求难度 5解题方法令工二建,工=,得到x=!x y u v代入f(x,y)=等中得：参考答案所以x2+y2xy=f(x,y)ffD孙 加166、计算积分，其 中D是由直线y=x,x=-1,y=1所围成得闭区域。难 度6解题方法解:积分区域可化为域(x,y)|x W y W 1,-1 W%W 1 ,则积分参考，yy/1+x2-y2da=J J yy/l-x2-y2dy dx=-(1 +x2-y2)2二-l)dx=一濡(-i)dx=JE)167、设函数难度 6解题方法dz d2zdx dx dy,f具有二阶连续偏导数，求参考答案-=zx=y fx(xy,x+y)+f2(.x

36、y,x+y)=+启d2z=zXy=fl+xyft l+yf12+x f21+f22X2+y2+z2=104168、求球面 上平行于平面3x+4y+z=2的切面方程。难度 6解题方法令F(%,y,z)=x2+y2+z2-1 0 4,切点为M o(%o，yo，z()贝i j F/(o，yo，Z o)=2 1 o ,Fy(%o，yo，Z o)=2y0,Fzf(x0y0,z0)=2z0过M o点的切平面方程为2%o(%-x0)+2y0(y-y0)+2 z0(z-z0)=0因为它与平面3%+4 y+z=2平行，所以:考 答段二卒二彳，解 得=3 _4%又因为点)，M),Z o)在球面上，所 以 有%+y

37、0 2 +z0 2 =0 4,得Z o =2,故Xo=6,y0=8M o点的坐标为(6,8,2),(-6,-8,-2)所求切平面方程为3%+4y+z=5 2y+4yf+4y=eax169、求微分方程 的通解。难度 6解题方法先写出微分方程的特征方程为N+4 r+4 =0,容易解出特征根为乙二/2=-2。所以对应齐次方程的通解为y=(G+C2x)e-2 X.当a w 2时，令y*=A eax,代入原方程，解出4 =尸 之，所以此时的通解为(a+2)2参考答案 y=(G+C2x)e-2 v H-ea xoJ 1/(a+2)2当a=2时，令y*=B/eax,代入原方程，解出8=；,所以此时的通解为y

38、=(G+C2x)e2x+x2ea xoy,+,A,y=0n y(0)=y(l)=0170、试讨论人为何值时，存在满足 的非零解。难度 6解题方法参考答案A =7227r2,（九 _ 土,2,.）13x171、将函数 展开成难度 6解题方法(%1)的事级数。注意到-二14-(x-l)1 11 O4 l-i(x-l)4记y=沁-1),参考答案同时因为自；=1 +y+y2 +丫”+，所以-1)+(%1)+(一1)+1 11 1 1=%+曜 a D+不(I/+布 a -D”+172、从 斜边长为I的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。难度 5解题方法设直角三角形的两直角边分别为发N则周长C=x

39、 +y +I又 因/+y2=12 得 y =712 X2则 C=%+y jl2-x2+ICr=1+-(2 x)参考答案 2 V l_ 丫2 7人令C=0,得新x 二 IV2那么y二知V2故：L.言割=(1+低)，I=ff2 yjx2+y2dxdy x2+y2 0.且4 0,所以由极值的判别准则可知，点(0,1)是函数2=/+&-1)2的极小值点。z=x3y2-3xy3 xy+1177、设难度 6解题方法d2z d2z d2z d2z d2zdx2 9 dy dx dx dy dy2 dx3 求参考答案dz dz d2z d2zT-=3x2y2-3 y3-y,=2x3y-9xy2-x,=6xy2

40、,T-=6x2y-9y2-1dx dy ox2 ay oxd2z d2z d3za a=6x2y-9y2-1;=2x3-18xy,=6y2dx dy oy2 ox3八PI(O,O),P 2(I,O),P 3(O，D178xOv、在 小坐标面上找一点P使它到三点 的距离平方和最小。难度 6解题方法参考答案设P Q,y)为 皿 面 上的任一点，则P到A，B，P 3三点距离的平方和为S =|P P1|2+|P P2|2+|P P3|2=x2+y2+(x l)2+y2+x2+(y I)2=3 x2+3 y2 2 x 2 y+2Sxr=6 x -2Sy=6 y-2牖二：牌 驻 点(D由问题的实际意义知，

41、到三点距离平方和最小的点一定存在，又只有一个驻点，因此G，为所求点。M i (3,3,4)“2(2 O-1)179、设有两点 和，在Z轴上求M i M2和 距离相等的点。难度 5解题方法解：设所求的点为M(O,O,z),由|西彳|=|函J,得参考答案 J(3 0)2 +(3 -0-+(4 -z-=V(2-0)2+(0-0)2+(-l-z)2解得z=2.9。于是所求的点为M(0,0,2.9)。y Inxy180、验证函数解。难度 5解题方法(xy-x)y+xy,2+yy-2y=0是微分方程的对函数y=2 n孙求导数，得到y=.(y+x y)，简化可得=%继续求导数得到参考答案(1-i)y +9=

42、-将这些代入原方程，容易发现等式恒成立。所以函数y=2 n x y是微分方程(盯-x)y+xy，2+yy -2 y =0的解。yy=2x y(0)=0,y(0)=2181、求微分方程 满足初始条件 的特解。难5度解题方法屣因为方程尸=2 x不显含因变量y,所以令尸=u,则y =V：原方程变为uur=2x容易发现该方程是一个可分离变量的微分方程，分离变量后并积分得：J udu=J 2xdx也就是u2=x2+C1 0参 利用初始条件/(0)=2可以解出的=1,因此得到考1M zzu2=x2+1答2案 所以有u=v 1 4-x2,即：yr=V 1 +x2.对上式两端再积分，得到：y=J V 1 4-

43、x2 dx=l n(x +v l +x2)+C2.最 后 利 用 初 始 条 件y(0)=0,得 到Q=0。所 以 原 方 程 的 解 是y=I n (%+V 1 +%2)1c Cu=-ln(x2+y2)182、设函数,求难度5解题方法参考答案六=1士 2y=，再求偏导得d2u d fdudx dy dx dy/183、难度 i解题方法参考答案y。2xy(%2+y 2)2 5(%2+y 2)2yo o _ _ _ _2 _ _ _ _乙九=1 l +2 +.+T i判断级数 的敛散性。记九=W 4，%注意到1血 8最=4。由因为先收敛，所以原级数收敛。ffD e-x2y2dxdy184、难度解

44、题方法计算6,其 中D是由中心在原点、半径为a得圆周所围成的闭区域。解：在极坐标中，闭区域D可表示为0 丁 Q,0 8 0.且A 0,所以由极值的判别准则可知，点(0,1)是函数z=x2+(y-1)2 的极小值点。“、Cx sinx T/W=Jo1 9 3,求函数 的麦克劳林级数。难度 6解题方法参考答案y 3 y.5 y.2n+l%五T+b.+(-1)?i 2 n.(2 n+l)I +L i.tx-11y-4z+21x _ y+2 _ zLt 7 乙：2 -2 -1194、求直线角。难 度5解题方法和直线的夹匕,乙 2的方向向量分别为Si=(1,-4,1).S2=(2,-2,-l)o则两直线

45、夹角的余弦为参考0|lx 2 +(-4)x(-2)+l x(-l)1 V2答案V l2+(-4)2+12722+(-2)2+(-1)2 V2 2所以两直线的夹角6=34Z81195、交 错 的p级数是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛。难 度5解题方法因为级数S (l)n是交错级数，当0 0时，有-71=1 1 1参考 l i m吁 一n=l i m n一九=。和%i+i 1时，因为级数 吃收敛，所以此时级数是绝对收敛的。乙X n P、00而当si时，因为级数w3发散，所以此时级数是条件收敛的。W00n=l4n+5n6n196、判断级数难度 5解题方法的敛散性。记”n=2,vn=,因为两个级数均为

46、几何级数，并且公比小于1，因此两个级数都是收o 6敛的。根据性质3,级数竽收敛。-71 =1 6Z ex2+y2+z21 9 7、若 z=z(x,y)是由难5度解题方法dzdx所确定的隐函数，求 和dzdy解:因食=(2 x +2 z 给 e x +z 2号=0 y+2z勺 e x?+y2+z2参考故；dz _ 2 x ex 2+y2+z2 dz _dx-1 -2 zex 2+y2+z 2,5 y-1 -2 zex 2+y2+z2z3 3xyz a31 9 8、设，求难度 6解题方法d2udxdy参考答案 Z(Z-2平2T2之(z2-xy)3 4-=a(l n x)y2dx x 1 9 9、求

47、微分方程 的通解。难度 5解题方法容 易 发 现，该 方 程 是 一 个 贝 努 利 方 程，并 且 只 要 通 过 变 换z=y T,可以将方程变成dzdx-=,X参考答案这 是 一 个 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程，可 以 解 得 方 程 的 解 为z=x c (lnx)2j=回代就可以得到原方程的解为yxc-(Inx)2=lod-a y b c200、设向量a=(2,3,-1),b=(1,-2,3),C=(2,1,2),向量 与 均垂直，且在向量 上的投影是1 4,求 向 量 d。难度 6解题方法解：与*b均垂直的向量n=a X 6=(7,7,7)因为向量d与a、匕 均 垂直,所以d=An=(7A,-7A,-7A)d在向量c上的投影是14,d c=|c|Prjcc Z参考答案|c|=314A-7A-14/1=3 X 14A=-6d=(-42,42,42)