2019年数学高考真题卷--全国Ⅲ卷理数（含答案解析）.pdf

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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试-全国in卷理科数学一、选择题:本题共1 2小题,每小题5 分，共 6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合=-1,0,1,2,户 xlf wi ,贝A.-1,0,1 B.0,1 C.-1,1 D.0,1,22.若 z(l+i)-2i,则 z=A.-l-i B.-l+iC.1-i 1).1+i3.西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1 00位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位,阅读过 红楼梦的学生共有80位,

2、阅读过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有6 0位,则该校阅读过 西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.84.(1+2力(1+力4的展开式中f的系数为A.1 2 B.1 6 C.20 D.245.已知各项均为正数的等比数列 a j 的前4 项和为1 5,且含4 色掰&,则a 3=A.1 6 B.8 C.4 D.26 .已知曲线y-a e+xn x 在点(1,a e)处的切线方程为y=Zx+b,则A.b=-B.a=ef b=lC.a=e b=l D.b=l7.函数y 噌 言 在 6 的图象大致为8.如图，点 A 为正方形4及力的中心,血为正三角形,

3、平面即让平面A B C D,是线段切的中点,则A.B M=E N,且直线B M,是相交直线B.B肝E N,且直线B M,即是相交直线C.B M=E N,且直线B M,以，是异面直线D.B肝E N,且直线B M,/是异面直线9.执行右边的程序框图,如果输入的，为 0.01,则输出s的值等于A2 或B.2-士25C.2-426D.2-427(开 始)一！./输 入e/输 出s /io.双 曲 线 的 右 焦 点 为K点尸在。的一条渐近线上,。为坐标原点.若I如H/1,则如。的面积4 2为A.B.C.2 V 2 D.3 V 24 21 1 .设/X x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+8)单调递减

4、,则A.A lo g3i)M 2 b4B.A log 3i)A 2b (2*4C.M 2-i)/(lo g3i)42 3 1D.f(2力”(20 f(log 3i)41 2.设函数f(x)=s i n(3 外;(3 0),已知/(x)在 0,2 n 有且仅有5 个零点.下述四个结论:/U)在(0,2 口)有且仅有3 个极大值点f(x)在(0,2 n )有且仅有2 个极小值点f(x)在(0噌)单调递增 的取值范围是耳，第其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分，共 20分.1 3.已知 a,b 为单位向量，且 a b=O,若 c=2 a /5b,则 c o

5、 s-.1 4.记 为等差数列 a 的前 项和.若�,则芈 _ _ _ _ _ _.1 5 .设凡内为椭圆。啜=1 的两个焦点，材为，上一点且在第一象限.若折出为等腰三角形，则材的坐标3 6 2 0为.1 6 .学生到工厂劳动实践,利用3 D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A B C D-A B 6。挖去四棱锥外夕审/后所得的几何体,其中。为长方体的中心,F,G,分别为所在棱的中点,4 6*0 6 c m,/4 N c m.3 D 打印所用原料密度为0.9 g/c m：.不考虑打印损耗，制作该模型 所 需 原 料 的 质 量 为 g.三、解答题:共7 0 分.解答应写出文字说明、证

6、明过程或演算步骤.第1 7 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2 2、2 3 题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共6 0 分.1 7 .（1 2 分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验:将2 0 0 只小鼠随机分成A,B 两组，每 组 1 0 0只，其 中 A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：频率/组距0.3 0.1-频率/组距1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 百分比甲离子残留百分比直方图20

7、151005o.O.O.O.记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到夕（。的估计值为0.7 0.（1）求乙离子残留百分比直方图中a,6的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.1 8.（1 2 分）/6 C 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a s in -is in A.求 6；若 4 外为锐角三角形,且c=l,求力比面积的取值范围.19.(12 分)图1是由矩形A D E B,Rt/仇7和菱形跖GC组成的一个平面图形,其中A B=1,B E=B F之,N FB C 与O .将其沿A B,比折起使得

8、B E 与跖重合,连接D G,如图2.(1)证明：图2中的4 C G,四 点 共 面,且 平 面 平 面B C GE-,(2)求图2中的二面角B-C G-A的大小.-1)2 的最小值；(2)若(才-2)2+(夕-1)2+(2-3 尸2：1 成立,证明:aWT 或心-1.1A2 3 4D C A5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 62CDBBCACD 4 (3,V 1 5)1 1 8.8l.A【考查目标】本题主要考查集合的交运算与一元二次不等式的求解,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】集合 B=x TWxWl ,则 A D B -1,0

9、,1 .2 .D【考查目标】本题主要考查复数的四则运算,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】Z*喘晶彗=l+i.3 .C【考查目标】本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析.【解析】根据题意阅读过 红楼梦 西游记的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过 西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为言R.7.4 .A【考查目标】本题主要考查二项展开式通项公式的应用，考查的核心素养是数学运算.【解析】展开式中含f的项可以由“1 与 ”和“2。与 x”的乘积组成,则f的系数为髭+2 盘 2+8=1 2.5 .C【考查

10、目标】本题主要考查等比数列通项公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】设等比数列E,的公比为q,由 a s 考金掰d得 学不得,得也,因为数列 4 的各项均为正数,所以 q t、又 a+a i+a a+a=a (1 +q+c =a (1 攵%比)=1 5,所以 a i-1,所以 a s=a、(f N.6 .D【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算.【解析】因为y，=a e+n户1,所以y x=1=a e+lt所以曲线在点(1,把)处的切线方程为y a e=(a e+l)(入-1),即 尸(a e+l)x T,所以 片上：2 懈得:7.

11、B【考查目标】本题主要考查函数图象与性质的应用，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】因为H x)弓芸二 所 以f(-x)亏 篝=V(x),且x e -6,6 ,所以函数yj为奇函数,排除C;当2+2 3 2 +2 2+2以x X时，f(x)第7和恒成立,排除D;因为f(4)-：*：*-128 12鲁6力9 7,排除A.故选B.2+2-2+2 f 16+2578.B【考查目标】本题主要考查空间线线位置关系，考查考生的空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解析】取 切 的 中 点0,连 接O N,E 0,因为反力为正三角形,所以E O VC D,又

12、平面故小平面A B C D,平面E C D C平面A B C D=C D,所 以 平 面A B C D.设正方形力6(力的边长为2,则E 0=6,O N A,所 以 或 名/+加 N,得ENN过M作切的垂线,垂足为P,连接B P,则.物当,叫,所 以 加 引 +=(争。(|)2$=7,得5 g厅,所以B*E N.连接B D,B E,因为四边形A B C D 为正方形,所以N为薇的中点，即E N,班均在平面B D E 内,所以直线B M,日是相交直线,选B.9.C【考查目标】本题主要考查程序框图,考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】执行程序框图,x=

13、,s=0,s 4)*l=l,不满足喘，所 以s=l+之 ,x/,不满足x f =-i-,所以 s=i 不满足 x f =-,4，4 O LUU所 以S=1号*泡之9,X=L,不满足x 喘,所 以s=lm焉不满足喘，所 以s=l号*彳*噎 之 焉x卷不 满 足 点 就，所以 s=l上上=d=2 二,x=,满足 x e2 4 8 64 26 128 100输 出S 4啧，选 C.10.A【考查目标】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】不 妨 设 点 尸 在 第 一 象 限,根 据 题 意 可 知所 以 叱=也又t a

14、n N尸外上，所以等腰三角形a 2/W的 高 加 亚 所 以S*X 限建2 2 2 2 2 41 1 .C【考查目标】本题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力,考查的核心素养是数学抽象、直观想象.【解析】根据函数f(x)为偶函数可知，f(l o g )=F(T o g 3 4)=F(l o g 3 4),因为0 f(l o g ).1 2 .D【考查目标】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力，考查的核心素养是数学抽象、直观想象、逻辑推理.【解析】如图,根据题意知,x W 2 n XB,根据图象可知函数f(x)在(0,2 n)有且仅有3 个极大

15、值点,所以正确;但可能会有3个极小值点,所以错误;根据X忘2 n 7 /B空置 X5(01 3 .|【考查目标】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】设 a=(l,0),Z =(0,1),则 c=(2,7 5),所以 c o s C,:号1XV4+5 31 4 .4【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式与前”项和公式，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.【解析】设等差数列 a j 的公差为d,由现学&,即以+#3 团,得d2 a“所以S10 10ai+Yd 10。1+若X2ai 100.sT 5 a i+d 5 0,y o,=

16、3二 房 所 以 M的坐标为(3,同).1 6.1 1 8.8【考查目标】本题主要考查空间几何体体积的计算，考查考生的空间想象能力与运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】由题易得长方体A B C D-A B C 队的体积为6 X 6 X 4=1 4 4(c o?),四边形 7 浏为平行四边形,如图所示,连接GE、H R易知四边形 加第的面积为矩形式 出面积的一半，R%X 6 X 4=1 2(c m2),所以 心蝇物;耳、3X 1 2=1 2(c m)所以该模型的体积为1 4 4 T2=1 3 2(c m，),所以制作该模型所需原料的质量为1 3 2 X0.9=1 1 8.8

17、(g).【解题关键】求解本题的关键是运用平面几何知识求得四边形跖第的面积.1 7.【考查目标】本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图能力、阅读理解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算.【解题思路】(1)根据P9的估计值为0.7 0 及频率之和为1 可求得a,6 的值；(2)根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值.解：(1)由已知得 0.7 0=a X).2 0 0.1 5,故3 5.6=1-0.0 5-0.1 5-0.7 0-0.1 0.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 X 0.1 5+3 X 0.2 0 MX 0.3 0 5 X 0.2 0 6 X 0.1 0*7 X 0

18、.0 5-1.0 5.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3 X 0.0 5 4 X 0.1 0 5 X 0,1 5 4)X 0.3 5 7 X 0.2 0 8 X 0.1 5-6.0 0.1 8 .【考查目标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.解：(1)由题设及正弦定理得s i n 5 s i n A.因为 s i n 所以 s i n ger i n B.由 A+B心 18 0。，可得 s i n 等 s*故 c o s s i n f c o s f.因为c o s g#0,故 s i n?,因此B=6

19、 0 .由 题 设 及 知 脑 的 面 积 a*4a由正弦定理得a_psinA Sn(1200-C)百/sinCsinC2tanC 2由 于 a 为锐角三角形，故 0 4 9 0 ,0 2 9 0。.由 知A+C=12 0。，所以30 C 90 ,故/Q 2,从而，0 械o 2因此,/仇:面积的取值范围是(?,?).【误区警示】确 定 a的范围时,要注意该三角形为锐角三角形,每个角均为锐角.1 9 .【考查目标】本题主要考查四点共面、面面垂直的证明、二面角的求解，考查考生的推理论证能力与空间想象能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】根据/C G 可 证 明 四 点 共

20、 面,通 过 证 明 平 面 8 a 芯即可证明面面垂直；过 作比的垂线，以垂足为原点,6 c 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解二面角.解：由已知得A D/B E,C G/能 所 以A D/C G,故A D,应确定一个平面,从而A,C,G 四点共面.由已知得A B VB E,A B LB C,故/由L 平面B C GE.又因为4 6 u 平面A B C,所以平面4平 面B C GE.(2)作E HVB C,垂足为H.因为E3 平面B C GE,平面6 a 花_ L 平 面/园 所 以 鼠 L 平面A B C.由己知，菱形比面的边长为2,N E B C$0 ,可求得B H=,E

21、 H=以为坐标原点，沆的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则J(-l,1,0),C(1,O,0),G(2,0,V 3),C G=(1,0,V 3),A C=(2,-1,0).设平面4 O G 的法向量为n=(x,y,z),则(C G n =0,fx+V 5 z =0,1/i C -n =0,l2 x-y =0.所以可取力=(3,6,-V 3).又平面比 8 的法向量可取为加=(0,1,0),所以c o s 3人喂三今因此二面角B-C G-A的大小为30 .【解后反思】(1)证明空间线面位置关系时思路要清晰,证明过程中的条件要写全,步骤要规范；(2)本题没有直接建立空

22、间直角坐标系的条件,需要证明垂直关系,才能建立坐标系.2 0.【考查目标】本题主要考查导数在研究三次函数单调性、最值中的应用，考查考生的运算求解能力,考查分类讨论思想,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)求出导函数,分a X),a R,a 0 讨论即可；(2)根据(1)中函数的单调性,结合已知区间分aW O,a 2 3,0 a 0；当 x e (0,$时，f (x),+8)单调递增；若 a 0,则当 x d(-8,9 u (0,+8)时,)；当 途 停 0)时，f (*)在区间 0,1 的最小值为f(f f)=b,最大值为A l)=2 a+b.此 时 a,6 满足题设条件当且

23、仅当b-l,2 a+b=,即 a 4),b-.(i i)当 心 3 时，由知,f(x)在 0,1 单调递减，所 以 f(x)在区间 0,1 的最大值为F(O)=b,最小值为/(I)=2-a+b.此 时a,6 满足题设条件当且仅当2-a+b=T,b=,即a=i,b=l.(i i i)当 0。3 时，由知，/U)在 0,1 的最小值为吟吟+A最大值为b 或 2-a+b.若3班=-1,6=1,则a 海,与 0 Q 3 矛盾.若5 班=-1，2-a+b=l,贝 ij aTW或 a=-3 代或 a H,与 0 a (z+l)2 的最小值为，(2)由于(A-2)+(7-1)+(z-a)y-(-2)2)2+z-a)2 2 (x-2)(yT)+(yT)(z-a)+(z-a)(x-2)(y-l)，(z-a)2 2 Q等,当 且 仅 当 x 与,y.,z 詈时等号成立.因此(*-2)，(-1)屹-4 2 的 最 小 值 为 亨.由 题 设 知 智!若,解 得 a -3 或 a-L