2020-2021学年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（上）诊断数学试卷（10月份）（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（上）诊断数学试卷（10月份）1.下列关于X的方程中，一定是一元二次方程的为（）A.ax2+bx+c=0C.x2+-5=0X2.下列图形中不一定是相似图形的是（）B.%2-2=(x+3)2D.x2-1=0A.两个等边三角形B.两个等腰直角三角形C.两个长方形D.两个正方形3.如果W =则下列各式中不正确的是（b 4)A.誓=5RB-ab41c.D.叱b-a=7b-a _ 1=34.用配方法解关于x 的一元二次方程%2 2X-3 =0,配方后的方程可以是（）A.(x I)2=4 B.(x+I)2 4 C.(x I)2=16 D.(x+I)2=1

2、65.已知直角三角形的两边长是方程M-7 x +12=。的两根,则第三边长为（）A.7 B.5 C.V76.如图，点 E 在 口 ABCQ的边3C 延长线上，连 A E,交边 CD于点凡在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有（）D.5 或V77.A.1对 B.2 对 C.3 对如图，在4BC中，AB=AC,Z,A=36,3 0 平分N4BC交 AC于点。，若4 c=2 a,则 AO的长是（）A.B.V5-1-a2V5+1-a2D.4 对C.(V 5-l)aD.(V5+l)a8.如图，在力BC中，DE/BC,*=；，则下列结论中正确的DB 2是（）ADE 1A.=-BC 2B.=iEC 3 d

3、ADE的周长_ 1 NABC的周长一3D.bADE的 面 积ABC的 面 积_ 1-49.已知直角坐标系中四点4 2,4）、B（2,0）、C（2,3）、D（2,0）若 点 在 x 轴上，且P A,P B、A B 所围成的三角形与P C、P D、C。所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P 的个数是（）A.3个 B.4个 C.5个1 0.如图，在矩形纸片4 B C D 中，AB=6,B C =1 0,点E在 CC上，将a B C E 沿 B E 折叠，点 C恰落在边A Q上的点尸处；点 G在 4 尸上，将A/I B G 沿 BG折叠，点A恰落在线段B F 上的点“处，4 E B G =4 5

4、。；XDEFS A A B G；S-B G =|SMGH；4 G +。5=P G.D.6 个则下列结论正确的有（）A.B.C.D.1 1.若一元二次方程/-3 x+1 =0 的两根为X 和则乂 1 +g=.1 2.在比例尺为1：5 0 0 0 0 的地图上，量得A、8两地的图上距离A B =3 c m,则 A、B两地的实际距离为 km.1 3 .东东和爸爸到广场散步，爸爸的身高是1 7 6 c m,东东的身高是1 5 6 c/n,在同一时刻爸爸的影长是8 8CM,那么东东的影长是 cm.1 4 .若关于x 的一元二次方程（卜一1）/+4%+1 =0 有实数根，则的取值范围是1 5 .为解决群众

5、看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为2 8 9 元的药品进行连续两次降价后为2 5 6 元.设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为1 6 .如图，AB.CO相交于点 O,0 C =2,0D=3,AC/BD,E F 是A O D B 的中位线，且E F =2,则AC的长为.1 7 .如图，A A B C 两边的中线8 E,C 尸相交于点G,若S 0 8 C =1 0,则 图 中 阴 影 部 分 面 积 是.1 8 .如图，在R t 4 8 c 中，AC =8,BC =6,若点 M、N分别是线段A B、4c上的两个动点，则C M +MN的最小值为.第2页，共2 3页19.解方程：

6、(l)(x-I)2-16=0；(2)x2-5x+1=0(用配方法)；(3)x2+5=-4%；(4)(y+1尸+2(y+1)=3.20.先化简，再求值：(1 一2)土 三 一 二 7,其中x 满足方程/一 2一3=0.“+2 xz+2x x+121.已知：如图，A E2=A D-A B,iLABE =A C B,求证：DE/BC.22.如图，已知。是原点，B、C 两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).(1)以点O 为位似中心，在 y 轴的左侧将 OBC放大两倍(即新图与原图的位似比为2),画出图形并写出点8、C 的对应点的坐标；(2)如果AOBC内部一点M 的坐标为(x,y),写出M 的对应

7、点M的坐标.23.已知关于 x 的方程/一(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长.24.如图四边形A8CD中，4 c 平分4DAB,ADC =Z.AC B=90,E 为A B 的中点.(1)求证：AC2=AB-A D；(2)求证：C E A D；(3)若 AD=8,AB=1 2,求:的值.D.CA E B2 5 .山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克4 0 元，按每千克6 0 元出售，平均每天可售出1 0 0 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均

8、每天的销售可增加2 0 千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 2 4 0 元，请回答：(1)若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 2 4 0 元，每千克核桃应降价多少元？(2)在(1)间的条件下，平均每天获利不变，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？(3)写出每天总利润y 与降价x 元的函数关系式，为了使每天的利润最大，应降价多少元？2 6 .如图，直线A B 分别与两坐标轴交于点4(4,0).8(0,8),点 C的坐标为(2,0).(1)求直线A8的解析式；(2)在线段4 8 上有一动点P.过点P分别作x,y 轴的垂线，垂足分别为点E,F,若矩形O E P

9、F 的面积为6,求点P的坐标.连结C P,是否存在点P,使A A C P 与A A O B 相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22 7 .【探究证明】：(1)某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如 图 1,矩形A 3。中，E F 1 GH,E F 分别交4 B,8 于点E,F,GH分别交4。，B C 于点G,H._p.EF AD求证：一=；GH AB【结论应用】：(2)如图2,在满足(1)的条件下，又A M L B N,点 M,N分别在边BC,CD上,若 普=5，则普的值为_ _ _ _ _ _;G

10、H 10 AM第4页，共23页【联系拓展】：(3)如图3,四边形A 8 C D中，Z.ABC =9 0 ,AB AD=8,BC =C D=4,AM 1 D N,点M,N分别在边B C,A 8上，则 黑=.2 8.如 图1,O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，。为原点，点4在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，。4=5,O C =4.(1)在O C边上取一点。，将纸片沿4。翻折，使点。落在8 c边上的点E处，求。，E两点的坐标；(2)如图2,若A E上有一动点P(不与4,E重合)自A点沿A E方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为/秒(0 t ABC的周

11、长 AB 3沁=金)2 =A,所以。选项的结论错误.ShABC A B 9第8页，共23页故选：C.先利用比例性质得到喂=先根据平行线分线段成比例定理可对B选项进行判断；再证明A C E SABC,然后根据相似三角形的性质对A、C、。选项进行判断.本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质解决问题.9.【答案】B【解析】解:止匕时ABPSA P O C,则 P&CD=AB：PD,则(x-2)：3=4：(x+2)解得x=4,二点P

12、的坐标为(-4,0)；若 A B P s c D P,则 AB：CD=PB-.PD,则(x-2)：(x+2)=4：3解得：x=-14,不存在.(2)若点尸在A 8与CQ之间，如图2,有两种可能:若 A A B P s C D P,则 A&CD=BP：PD,-4：3=(x+2)：(2 x)解得：x=|，二点P的坐标为C，o)；若ABPSA P D C,则 A&PD=BP：CD,*4：(2-%)=(x+2)：3,方程无解；(3)若点P 在 C O 的右边，如图3,有两种可能：若A B PSACOP,贝IJAB：CD=BP：PD,4：3=(2+x)：(x 2):.x=14,点尸的坐标为(14,0),

13、若AABPS A P D C,则 AB：PD=BP：CD,4：(x-2)=(x+2)：3,x=4,点 P 的坐标为(4,0)；二 点尸的坐标为C，0)、(14,0)、(4,0)、(-4,0).故选：B.当点P 在 AB左边，在 4 8 与 C O 之间，在 C的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得.此题考查相似三角形的判定与性质.解题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的应用.10.【答案】B【解析】解：IFB C E沿 BE折叠，点 C 恰落在边A O 上的点尸处；点 G 在 A F 上，将4BG沿 B G 折叠，点 4 恰落在线段8尸上的点H 处，:乙CBE=/-F

14、B E,乙ABG=LFBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,：.乙EBG=乙EBF+Z.FBG=/.CBF+g/ABF=/.ABC=4 5 ,所以正确；在Rt 4BF中，AF=y/BF2-A B2=在 00-36=8,DF=A D-A F =1 0-8 =2,设4 G=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=10-6=4,在R tA G FH 中，v GH2+HF2=GF2,xz+42=(8-%)2,解得x=3,GF=5,AG+DF=FG=5,所以正确；BCE沿 BE折叠，点 C 恰落在边A。上的点F 处，Z.BFE=ZC=90,乙 EFD+Z.AFB=90,而乙AFB+

15、NABF=90,乙ABF=乙EFD,A B F sDFE,AB _ AFDF DE .D*E*-=_-A-F=_ 8=_ 4 DF AB 6 3第 10页，共23页AB DE茄#而 D E F与 A B G不相似；所以错误.1 1S&ABG=-x 6 x 3 =9,SA G H F=X3X4 =6 SA A B G=SA F G H,所以正确故选：B.利用折叠性质得N C B E =乙 F BE,N 4 B G =乙 F BG,BF =BC =1 0,BH=BA=6,AG=G H,贝ij可得至此E B G =3乙4 B C,于是可对进行判断；在R t A B尸中利用勾股定理计算出力 F =8,

16、则 O F =4。一4 F =2,设 4 G =x,贝 i j G H =x,GF =8-x,HF =BF -BH=4,利用勾股定理得到/+4 2 =(8 -x)2,解得x =3,所以A G =3,G F =5,于是可对进行判断；接着证明4 ABF sx DF E,利用相似比得到第=芸=J =：,而号=DF AB 6 3 AGf =2,所 以 号 清 骼 所 以4 DE F 与4 4 B G不相似，于是可对进行判断；分别计算3 AU Dr和SA G H F可对进行判断.本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长.1 1.【答案

17、】3【解析】解：.一元二次方程M-3%+1=。的两根为与和“2，久+%2 =3.故答案为：3.本题要求算出X l+%2的结果，匕+外 正好与两根之和公式一致，根据两根之和公式(韦达定理)可以求出与+孙 的值.本题考查了一元二次方程根与系数的关系.若与，刀2是一元二次方程a/+以+C =0(a*0)的两根时，力+%2 =-2，尤i%2 =12.【答案】1.5【解析】解：.比例尺为1：5 0 0 0,量得两地的距离是2 0厘米，.1 _ 3 5 0 0 0 0 -AB两 地 的 实 际 距 离)4、8 两地的实际距离=15 0 0 0 0 c m =1.5km.故答案为：15由在比例尺为1：5 0

18、 0 0 0的地图上，量得A、B两地的图上距离4 B =3 c m,根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离.此题考查了比例尺的性质.注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一.13.【答案】7 8【解析】解：据相同时刻的物高与影长成比例，设东东的影长为X C/M,则可列比例为黑=士，176 156解得X =7 8,故东东的影长7 8 c z n.在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力.14.【答案】卜3 5且&片1【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根的

19、判别式和定义以及一元二次方程的概念，熟练掌握根的判别式与方程的根之间的关系是解题的关键.根据一元二次方程的概念可得k-1*0,根据一元二次方程有实数根可得解-4 ac=16-4(/c-l)0,解之即可.【解答】解：一元二次方程(k I)/+4 x+1=0有实数根，k-1 4 0,且炉-4 ac=16-4(fc -1)0,解得：k 5且k丰1,故答案为k 5且k M 1.15 .【答案】2 8 9(1-x)2=2 5 6【解析】【分析】此题主要考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为“，变化后的量为6,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l x)2 =b.设平均每次的降价率为x,则经

20、过两次降价后的价格是2 8 9(1-x)2,根据关键语句“连续两次降价后为2 5 6元，”可得方程2 8 9(1-与2=2 5 6.【解答】解：设平均每次降价的百分率为x,则第一降价售价为2 8 9(1-x),则第二次降价为2 8 9(1-%)2,由题意得:2 8 9(1-X)2=2 5 6.故答案为2 8 9(1-x)2 =2 5 6.16.【答案【解析】解：E F是A O D B的中位线，DB=2E F=2 x2 =4,:AC BD,第12页，共23页 AO CL BOD,AC oc,=,DB ODatAC 2即一=4 3解得AC=|.故答案为：|.根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第

21、三边的一半求出D B,再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解.本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键.17.【答案】g【解析】解：连接AG并延长交BC于。，则为AABC的中线，ABC的三条中线A。、BE,C F交于点G,SCGE=S&AGE=g S f C F，S&BGF=-ABGD=3 ABCFSAACF SABCF _ 5S&48c=-X 10=5,SACGE=&SA4CF=3 X 5=-,S48GF=SKBCF=X 5=,_ _ 10S 阴 影=SACGE+SABGF=可,故答案为：p根据三角形的中线把三角形的面

22、积分成相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：I,即可得出结果.本题主要考查了重心的性质、三角形面积的计算；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键.18.【答案】【解析】解：作 C 关于4 8 的对称点。，作DN 1 4 于点N,交于AB于点M,贝 IJ此时CM+MN的最小值，且CM+MN=DN,在中，AC=8,BC=6,AB=4 2 +心=10,SA B C=1-AC-BC=AB-CE,小 门 BCAC 24*C L!I=,CD=2CE=y,乙 D+乙 AC E =Z.A+乙AC E=90,Z-

23、A=乙D,(C ND=乙 AC B=90,D C N s A B C,DN _ C DAC ABf192 D N =-CM+MN的最小值为：詈.故答案为：詈.首先作C 关于A B的对称点D,作DN 1 A于点N,交A B于点M,则此时CM+MN有最小值，且CM+MN=O N,然后利用直角三角形的性质，求 得 C。的长，继而证得4D CN s A B C,利用相似三角形的对应边成比例，求得答案.本题考查轴对称-最短问题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会路轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题.19.【答案】解：(l)(x 1产=16,x-1=4,所以占=5,%2

24、=-3;(2)x2 5%=-1,2 r.25 _ .25-5x H =-1 H ,4(TT，5,V21X =+,2-24所以%1=5+V215-VH2，%72 =2(3)%2+4%+5=0,=42-4 x 1 x 5 =4:.Z-AED=/-ABE.v Z.ABE=ZC,Z.AED=Z-C,/.DE/BC.【解析】由AE2=A O T B,是公共角，根据有两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，即可证得 A C ES AA E B,由相似三角形的对应角相等，即可得=NABE,又由N4 B E =N4 C B,可得乙4ED=乙4 C B,即可得DEBC.此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的

25、判定与性质.此题难度不大，注意掌所以M的坐标为(x,y),写出M的对应点M 的坐标为(2x,-2y).本题考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键.很多信息是需要从图上看出来的.23.【答案】(1)证明：4 =(m +2)2-4(2771 -1)=(m -2)2+4,二 在实数范围内，机无论取何值，(0 2-2)2+4 2 4,即A 4,二关于x的方程/一(n i +2)x +(2m-1)=0 恒有两个不相等的实数根；(2)根据题意，得I 2-lx(m+2)+(2m-l)=0,解得，m =2,则方程的另一根为：7n +2 l =2+l =3；当该等腰三角

26、形的腰为1、底边为3 时，1 +1 A D C L AC B,Z-DAC =Z-BAC,Z.AC E =Z,DAC C E/AD；(3)W：AC2=AB-AD,AB=1 2,AD=8,AC -4A/6,C E =6,第 16页，共23页 CE/AD,:.乙ECF=L F A D,乙CEF=FDA,ECFs A DAF,CE _ CF _ C FAD AF AC-CF9cir-i 6 C F 8-4瓜-CF解 得:CF=竽,AF=AC-C F =4 y 6-=7 7则”=邛=zAF 16 痣 47【解析】(1)由AC平分4 n 4 B,得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形A Q C与三角

27、形ACB相似，由相似得比例即可得证；(2)由 E为 AB中点，三角形A B C 为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到4 E =C E,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；(3)由 C E 与 AD平行,得到两对内错角相等，进而得到三角形E C F 与三角形A O F 相似，由相似得比例求出A F的长，即可确定出所求式子的值.此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形的中线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.2 5.【答案】(1)解：设每千克核桃应降价x

28、元.根据题意，得(6 0-40)(1 0 0 +：*2 0)=2 2 40.化简，得/-1 0%+2 4=。解得X =4,x2=6.答：每千克核桃应降价4 元或6 元.(2)解：由(1)可知每千克核桃可降价4 元或6 元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6 元.此 时,售 价为：6 0 6 =5 4(元)，X 1 0 0%=9 0%.答：该店应按原售价的九折出售.(3)每天总利润y 与降价x 元的函数关系式为：Xy =(6 0 -%-40)(1 0 0 +-X 2 0)=-1 0 x2+1 0 0 x +2 0 0 0=-1 0(x2-1 0%)4-2 0 0 0一 1 0(%-5

29、)2 +2 2 5 0,当x=5时，y 最大，故为了使每天的利润最大，应降价5 元.【解析】(1)设每千克核桃降价x 元，利用销售量x 每件利润=2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应下降6 元，求出此时的销售单价即可确定几折.(3)根据已知得出销量乘以每千克利润=总利润进而得出函数关系式，再利用配方法求出即可.本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式.26.【答案】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,依题意，:+，=，.(k=-2F=8，:.y 2x+8；(2)设动点P(x,-2x+8),则PE=x,PF=-

30、2 x+8,SOEPF=PE PF=x(-2x 4-8)=6,*,%1,%2 =3；经检验%1 =1,x2=3都符合题意，点(1,6)或(3,2)；存在，分两种情况第一 种:C P/O B,如 图 1：O C x图1 /OB,而点。的坐标为(2,0),点 P(2,4)；第二种CP _ L 48,LAPC=Z-AOB=90,Z-PAC=Z.BAO,APCsAOB,A P A C 一=，O A A B.丝 _ 2-4-V42+8Z，第18页，共23页M P岑,如图2,过点P作PH，X轴，垂足为从:P H”O B,4P H s ABO,.P H _ AP _ AH,O B AB 0Af2SP H 丁

31、 AH=-=，8 4 VS 447P H=AH=-5 51只 O H =O A-A H =y,点 P(5 6.点尸的坐标为(2,4)或点P常,.【解析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用相似三角形的性质与判定与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键.(1)由于4(4,0)、8(0,8),利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；(2)可以设动点P(x,-2x+8),由此得到PE=x,P F =-2x+8,再利用矩形OEPF的面积为6 即可求出点P的坐标；存在，分两种情况：第一种由CPOB得 4C P sZkA 0 B,由此即可求出尸的坐标；第二种CP 1 4 B,根

32、据已知条件可以证明APCSA O B,然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P 作轴，垂足为H,由此得到PH OB,进一步得到A A PH s力B O,然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P 的坐标.27.【答案】高：【解析】解：【探究证明 过点A 作4PE尸，交 C。于 P,过点B 作B Q G H,交 4。于 Q,如 图 1,四边形4BC。是矩形，：.AB/DC,AD/BC.四边形AE F P、四边形B”GQ都是平行四边形,.-.AP =E F,GH=BQ.图1又 丫 GH IF F,:.AP 1 BQ,.Z.QAT+Z.AQT=90.四边形ABC。是矩形，:./-D

33、AB=乙D=90,Z,DAP+/-DPA=90,Z.AQT=EDPA.PDAL QAB,AP _ AD:，-=-，BQ ABEF _ ADGH=AB【结论应用】：如图2,v EF 1 GH,AM LBN,由 中 的 结 论 可 需 嗡,冷 缁.BN _ EF _ 7 AM GH 10，故答案为高【联系拓展】：过点。作平行于A 8的直线，交过点A 平行于BC的直线于凡 交BC的延长线于S,如图3,则四边形ABSR是平行四边形.乙 ABC=90,平行四边形AB5R是矩形，Z.R=Z.S=90,RS=AB=8,AR=BS.AM 1 DN,二 由中的结论可得罪=亲设SC=x,DS=y,则4R=BS=4

34、+x,RD=8-y,在Rt CSD 中，x2+y2=16，在RM4RD 中，（4+x）2 +（8-y）2 =64，由-得x=2y 4，解 方 程 组 号 2 t4瞰：0（舍去），或1 132.4R=4+%=差32DN _AR _ 4故答案为：:图3第20页，共23页【探究证明】：过点A 作4P EF,交 CD于尸，过点B 作BQGH,交 A。于 Q,如图1,易证4P=EF,GH=BQ,PD A Q A B,然后运用相似三角形的性质就可解决问题；【结论应用】：只需运用(1)中的结论，就 可 得 到 篇=枭=翳，就可解决问题；【联系拓展】：过点。作平行于AB的直线，交过点A 平行于BC的直线于R,

35、交 BC的延长线于S,如图3,易证四边形4BSR是矩形，由(1)中的结论可得瞿=筹.设SC=x,DS =y,则力R=BS=4+x,R D=8-y,在Rt CSD中根据勾股定理可得M+y2=16，在RtaARD中根据勾股定理可得(4+x)2+(8-y)2=64，解就可求出x,即可得到A R,问题得以解决.本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用(1)中的结论是解决第(2)、(3)小题的关键.28.【答案】解：(1)依题意可知，折 痕 是 四 边 形 OAEO的对称轴,.在RtAABE中，AE =A0=5,AB=4.BE =y

36、jAE2-A B2=J52-42=3.C E=2.E点坐标为(2,4).在Rt/kOCE中，D C2+C E2=D E2,又：DE =O D.：.(4-0。A+22=0 D2.解得：O D=1.D点坐标为(0,|).(2)如图；P M/E D,A PM L AE D.PM AP*，ED AE又知4P=t,E D=|,AE =5,PM=-x-=-,5 2 2又 PE=5-t.而显然四边形PMNE为矩形.S矩旃M NE=PM.PE=X(5 t)=-*+11；S 四 边 形PMNE=_ 式 之)2 +5义.o|5.二当t=泄，5矩辫MNE有最大值得图(3)若以A E 为等腰三角形的底，则ME=M4(

37、如图)在Rt 4E0中，ME=MA,PM 1 AE,P为4 E 的中点，.t=AP=-AE=2 2又：PM/ED,.M为A O 的中点.过点M 作M F 1 0 4,垂足为尸，则“尸是。40的中位线,MF=-0D OF=-0A2 4 2 2二当t=|时，(0|/OD2+AO2=J(|)2+52=苧.过点时作时尸1。4 垂足为F.v PM/ED,4 P M s AED.AP AM=-.AE AD.n AM AE 5x5 n q t=AP=-=-r=-=2V5,AD 5VS21 r-.PM=-1=V5.MF=MP=V5,OF=OA-AF=OA-AP=5-2通,.当 t=2近 时，(0 2V5 5)

38、,此时M 点坐标为(5-2 6,6).综合 可知，=|或1=2百 时，以4,M,E 为顶点的三角形为等腰三角形，相应M 点的坐标为(I，或(5-2V5.V5).【解析】(1)根据折叠的性质可知：AE=0A,0D=D E,那么可在直角三角形A8E中,用勾股定理求出BE的长，进而可求出C E 的长，也就得出了 E 点的坐标.在直角三角形CD E中，C E 长已经求出，CD=O C-0 D =4-0 D,DE=0 D,用勾股定 理 即 可 求 出 的 长，也就求出了。点的坐标.(2)很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间f 表示出AP,PE的长，然后根据相似三角形APM和求出PM 的长，进而可根据矩

39、形的面积公式得出S,/的函数关系式,根据函数的性质即可得出S 的最大值及对应的f 的值.(3)本题要分两种情况进行讨论：ME=M4时，此 时 为 三 角 形 AOE的中位线，那么AP=争，据此可求出f 的值,第22页，共23页过 M 作M FJL04于 F,那么M F也是三角形AOO的中位线，M 点的横坐标为A 点横坐标的一半，纵坐标为。点纵坐标的一半.由此可求出 的坐标.当M4=4E时，先在直角三角形04。中求出斜边AO的长,然后根据相似三角形AMP和 ADE来求出AP,的长，也就能求出f 的值.根据折叠的性质，此时4尸=AP,M F =M P,也就求出了 M 的坐标.本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、图形的翻折变换、相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用等知识点，综合性较强.