2019年高考数学试卷（文科）（新课标3）答案解析.pdf

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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学1.答卷前，考生务必#自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择 时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答 选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考i耦 束 后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选 择 本题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小峻的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,已 知 集 合 幺=-1,0,1,2),5=x|x2 1),则 5=()A-1,0,1 B 0,1 C.-1,1 D(0,1,2)【答 案】A【解 析】【分 析】先 求 出

2、 集 合8再求出交集.【详 解】Q x2 l,：.故 选A.【点 睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若z(l+i)=2 i,贝ijz=()A 1 i B.144 C,1 i D.1+i【答 案】D【解 析】【分 析】根据复数运算法则求解即可【详 解】z=11r瑞/1+1.故 选D.【点 睛】本题考查复数的商的运算，渗 透 了 数 学 运 算 素 养.采 取 运 算 法 则 法，利用方程思想解题.3,两位男同学和两位女同学随机排成一列，则 两 位 女 同 学 相 邻 的 概 率 是()愿你以渺小启程，以伟大结束。【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概

3、率，进而得解【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是去.故 选D.【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用等价转化的思想解题.4.西游记三国演义水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 1。学生，其中阅读过西游记或 红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，闻读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有6 0位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5

4、B.0.6 C.0.7 D.0.81答案】C【解析】【分析】根据题先求出闻读过西游记的人额，进而得解【详解】由题意得，阅读过西游记的学生人数为90-80+6 0=70,则其与该校学生人数之比为70-100=0.7.故 选C.1点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.5函 数/。）=25 1111一 网112；（在0,2布的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】令/。）=0,得sinx=O或cosx=l,再根据 的取值范围可求得零点.【详解】由/（x）=2sin x-sin 2x=2sinx-2sinxcos x=

5、2sin x（l-cos x）=0,得sin工=0或cosx=1,Q xe 0,2/r,愿你以渺小启程，以伟大结束。2x=0、；J(x)在 0,2扪的零点个数是3,故 选B.【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养.采取特殊值法，利用额形结合和方程思想解题.6 .已知各项均为正数的等比数列 4 的 前I项和为15,且 =为3+4生，则 出=()A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利 用 方 程 思 想 列 出 关 于 的 方 程 组，求出的，再利用通项公式即可求得勾的值.【详解】设 正 数 的 等 比 数 列 的 公 比 为g,贝:=0,

6、以回=34g+4以14=1解得 1；,：%=。2=4,故 选C.匕=2【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.7.已知曲线丁=e*+xlnx在点(l,a e)处的切线方程为y=2 x +B,则()A.a=,b=1 B.d s.b=1 c.2 =e-1,b=1 D.a=el,b=-1【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得&.【详解】详解：/=a/+lnx+l,江=7=四+=2,a=3将0，1)代入V=2x+占得2+8=1 =-1,故 选D.【点、睛】本题关键得到含有生。的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得

7、到方程关系.S.如图，点曾为正方形4 5 C。的中心，A&a?为正三角形，平面下C D J_平 面 他 是 线 段 或?的中点，则()愿你以渺小启程，以伟大结束。3A.8 河=副，目直线方正，反M 是相交直线B.8 M羊E N ,且直线B M,是相交直线C.8 舷=初，且直线3 比,是异面直线D.B M手E N ,且直线B M,加是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.【详解】如图所示，作B O C D于0，连 接 加，过 M作 M?_L于 尸.连 即，Q 平面J平面3 8 .后0 _ 1 8,后。匚平面（7%，二屈9，平 面 延 0,平 面 期 C。，A

8、 W B 与 均 为 直 角 三 角 形.设正方形边长为2,易知。=0，O N =1 E N =2,2 2【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的为 0.01,则输出 的值等于（）愿你以渺小启程，以伟大结束。4（开和卜=l,s O|r 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果.【详解】输入的&为0.01,x=1.S=0+1,x=0.5 0.01?不满足条件；S=0+l+；,x=；0.01?不满足条件；S=0+l+1+L +4-,x=-L=0.0078125 u1：W（x j）eD,2x+y,12

9、.给出了四个命题：R v与 p v g；P 5；2 1,这四个命题中，所有真命题的编号是（）A.魄 B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可回出平面区域再结合命题可判断出真命题.y=2x f x=2【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由“二，得 小x+y=6 1y =4I P A （2,4）,直线2x+y =9与直线2x+y =12均过区域D,则P真q假，有 R 假rq真，所以（宓真卷假.故选A.愿你以渺小启程，以伟大结束。6x+y【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.12.设/（x）是定义域为R的偶函数，目在（0,也）单调递减

10、，则（）（/_3/_2A./log3 wj 2 2 /2 3【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把./（2与，转化为同一个单调区间上，再比较大小.【详解】0/（工）是口的偶函数，二/（1/3；）=/（1吨34）.二-1 二 二Q logj 4 log3 3=1,1=2 2 2 log3 4 2 2，又（x）在（0,+8）单调递减，愿你以渺小启程，以伟大结束。7【点 睛】本题主要考查函数的奇偶性、单 调 性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量 1=(2,2)%=(-8,6),则cos,)=.【答 案】一 亚10【

11、解 析】【分 析】根据向量夹角公式可求出结果.2x(8)+2x6/2【详解】C躺二号靠行彳元.【点、睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.14.记 鼠 为 等 差 数 列%的前万项和，若 为=5,%=1 3,则即=.【答 案】10。【解 析】【分 析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果【详 解】%=%+2d=5%=%+6d=13，得&=1d=210 x9 10 x9Si。=10 a-d=10 xl+-x2=100.l+22【点 睛】本题考点为等差数列的求和，为 基 础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.15.设 稣 丹 为

12、椭 圆C：，+，=l的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若朋我玛为等腰三角形,则她的坐标为.【答 案】(3,何愿你以渺小启程，以伟大结束。8【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出|九名|、|峥|,设 出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得a?=36,川=2 0,/=0,1y o 0）,则 以 玛=：|月居|）0=4%，又=；x 4 x j/-2、4厉，4%=4厉，解得先=岳，,X；卜 卜 何 _1，解得而=3（%=3舍去），36 20二的坐标为卜，码.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

13、16.学生到工厂劳动实践，利用3 4打印技术制作模型.如图，该模型为长方体期8-4 4 G 2挖去四棱锥。-E F G H后所得的几何体，其中。为长方体的中心，及E G H分别为所在棱的中点，3 =8C=6c m,=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _r答案】113.8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量愿你以渺小启程，以伟大结束。9【详解】由题意得，E=4X6-4X；X2X3=12加2,四棱锥（9-团啕的高 3cm,J.L z g =gxl

14、2x3=12s3.又长方体 A B C D-A.B D,的体积为 =4x6x6=144CM:所以该模型体积为，=6-匕=144-12=1 32CM其质量为0.9x132=118.8g.【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（-）必考题:17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试蛤：将20。只小鼠随机分成A B两组，每组10。只，其中2组小鼠给服甲离子溶液，E组小鼠给服乙离子溶

15、液.每只小鼠给服的溶液体积相同 摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试蛤数据分别得到如甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根 据 直 方 图 得 到 的 估 计 值 为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中&力的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】a=0.35,8=0.10；4.05,6.【解析】【分析】（1）由产（C）=0.70及频率和为1可解得a和3的值；（犷艮据公式求平均数.愿你以渺小启程，以伟大结束。10【详解】由

16、题得a+0.20+0.15 =0.70,解得a =0.35,ft0.05+6+0.15=l-P(C)=1-0.70,解得力=0.10.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15 x2+0.20 x3+0.30 x4+0.20 x5+0.10 x6+0.05 x7=4.05,乙离子残留百分比的平均值为 0.05 x3+0,10 x4+0,15 x5+0,35 x6 +0,20 x7+0.15 x8=6【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.I S.2L4BC的 内 角 的 对 边 分 别 为a也c,已知a s m土 上=方Q上.2(1)求8;(2)若&4 B C为

17、锐角三角形，目c=l,求A A 5 C面积的取值范围.【答案】(1)B./,与【解析】【分析】(1泳J用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据AB,C均为三角形内角解得3(2)根据三角形面积公式S 3 c =；s m 3,又根据正弦定理和c=l得到 心。关于C的函数，由于 445 C是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算。的定义域，最后求解$3 c(的值域.4+CA+C【详解】(14艮据题意a s m =b sin A,由正弦定理得sin月sin=sin 5 sin/,因为0 0,消去 sin 2 得 sin 二=sin 5 .工+C*A+C A+C0B JT,0(一 兀因为

18、故一y-=B或 者 瑟 一+8 =，而根据题意H +8+C =”，故AA-C A+C rr七 一+6 =开不成立，所 以=_=3,又因为4+B+C =”,代入得3 3=4,所以E=g.(2)因为V 4 B C是锐角三角形，由3)知3=今，5+8+C=4得到R+C =w”,0 C -20 -C3故，,解得无 6 2 2又应用正弦定理sin J4 sinCc=1，由三角形面积公式有:愿你以渺小启程，以伟大结束。11=a c sin5 =-c2 sin5 =c2 sinsin=2 2 c 2 sinC4s i吟 一 sinC4加会。sC-cos 会n C 的 2“1 2“、3 1 万-=-(sin-

19、cos )=-4-sinC 4 3 ta nC 3 8 ta n C 8 3.J3 3 1 /3 y/3又因一 C 工-，故 J v-4-6 2 3 8 8 ta n C 8 2故 第故$3 0的取值范围是(g,乌o 2【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查S B C是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面，是一道很好的考题19.图1是 由 矩 形 加 班，出乙4SC和菱形班P C组成的一个平面图形，其 中 盘=1=BF =2,Z F 5 C =6 0，将其沿A B,B C折起使得B E与 毋1重合，连结D G,如 图2.(1

20、)证明图2中的4C,G,Z)四点共面，目平面48C_L平面B C G E：(2)求 图2中的四边形兑C G D的面积.【答案】见 详 解;(2)4.【解析】【分析】(D因为折纸和粘合不改变矩形册即，R N A B C和菱形B F G C内部的夹角，所以A D f/B E,B F f f C G依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证因为A B是平面8 C G E垂线，所以易证.(2)欲求四边形A C G D的面积，需求出C G所对应的高，然后乘以C G即可.愿你以渺小启程，以伟大结束。12【详解】(D证：A D H B E ,B F H C G,又因为E和F粘在一起.A D H C G,A,C,

21、G,D 四点共面.又Q A B 上 BE,幺B L B C.：.13_L平面BCGE,Q A B u平面A B C,二平面ABC 1平 面BCGE,得证.(2)CG的 中 点 附，连结现/,D M.因 为 少 D E,M _ L平面BCG E,所以DE_L平面BCGE,故D E L C G,由已知，四边形BCGE是菱形，目/E B C =6 0得E M L C G ,故C G，平面D E M.因此3 M A.CG.在 DEJW 中，DE=1,E M=M ,故 D =2.所以四边形A C G D的面积为4.【点睛】很新颖的立体几何考题.首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再

22、者粘合后的多面体不是直棱柱,最后将求四边形A C G D的面积考查考生的空间想象能力20.已知函数八)=2/-，+2.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当0。3时，记/在 区 间 0 5的最大值为M,最小值为物，求河-根的取值范围.O【答案】(1)见详解；(2),2).【解析】【分析】(1洗 求/(x)的导数，再根据。的范围分情况讨论函数单调性；(2)讨论。的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得河-徵的取值范围.愿你以渺小启程，以伟大结束。13【详解】对，(x)=2/_#+2求导得f =6 x2-2ax=6 x(x-，.所以有当a 0时，S O)区间上单调递增，呜)区 间 上

23、 单 调 递 减，岁丑)区间上单调递熠.(2)若0 +2=/一。+2,设函数g Q)=春 x+2,求导r2O 病g(x)=一 1当0 2时g U)0从而g )单调递减而0 a V 2,所以3 V。一a +2 2即9 27 27Q河-溶的取值范围是 行,2).若2 a 3,*x)在区间(0,学里调递减，在区间0,1)单调递增，所以区间 0用上最小值为了(2而/(0)=2./(l)=2-a +2 /(0),故所以区间 0 上最大值为了).所以设一切=/(0)-/(f.)=2-2(-)3-a(-)2+2=,而2 a 3,所 以 之 1 即M-活的3 3 3 27 27 27O取值范围是(万,1),O

24、综上得M-m的取值范围是 万,2).【点睛】(1就是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，由计算量补充.2 1已知曲线c：J=XL2,。为直线F=-15上的动点，过。作c的两条切线，切 点 分 别 为 小B.2 2(1)证明：直 线 过 定 点：(2)若以旦0,5旃圆心的圆与直线履相切，且切点为线段4 8的中点，求四边形月八B E的面积.【答案】(1)见详解；C)3或4逝愿你以渺小启程，以伟大结束。14【解析】【分析】（1）可设义演,必），以 孙 为），然 后 求 出A,B两 点 处 的 切 线 方 程，比 如 加

25、：必+；=为（再-f）,又 因 为 也 有 类 似 的 形 式，从而求出带参数直线A B方程，最后求出它所过的定点.（2）由（1）得带参数的直线48方程和抛物线方程联立，再通过可 为线段4 5的中点，敲，器 得 出，的值,从而求出M坐 标 和 函 的 值，4,当分别为点D,E到直线A B的距离，则&=产+1,d2=J1+1结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】（而 明：设 可，-1幺氏，必）则 必=白：.又因为y=,所以V =x则切线D A的斜率为用,故7+；=再01-），整理得2处 2必+1=0.设B g,为），同理得2?-2%+1=0.工（小必）,以 程 力）都满足直线方程2tx-2

26、y +1=0.于是直线2比-2y +1 =0过点A B,而两个不同的点确定一条直线，所以直线幺8方程为2比-2y+1=0.即 2a+(_27+1)=0,当2x=0,-2y+1=0时等式恒成立.所以直线A B恒过定点(0,；).(2)由3)得直线4 5的方程为1y =*+1.1y=t x+2由，2 ，可得-2tx 1 =0,x，二万于是为+=2t,x/2=T,必+y2=公+/)+1 =2F+1|AB|=J1+/|Xj -x21=Jl+P x/(x1+x2)2-4XJX2=2(t2+1).愿你以渺小启程，以伟大结束。15设a4?分别为点打出到直线a?的距离，则为=历1，d2=2心+i因此，四边形A

27、 D B E的面积S=f 9|（4+%）=伫+3）历T设M为线段A B的中点，则 加，/+；）,由 于 戢_L湛，而 疏=（才 一2）,益 与 向 量（1/）平行，所以，+（针-2卜=0,解得=0或f=L当=0时，S=3；当/=1时S=4返因此，四 边 形 加3 F的面积为3或4应【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.（-）选考题：共 10分请考生在第22、23题申伯茂 典作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4 7：坐标系与参数方程22.如图，在极坐标系5 中，42,0）,B陋芬。（也,争，力2,明弧初

28、，院,即 所 在 圆的圆心分别是。，0）,（1,*,。，兀），曲线凶1是 弧 淞，曲线助2是 弧 死，曲线电 是弧电）.（1）分别写出M i，M2,M 3的极坐标方程；2）曲线M由龙,M2,龙13构成，若点P在M上，目|。尸 上 出，求P的极坐标.【答案】（1）Q =2 cos 6（6 e 0,）,q =2 sin 5（6 e ,y ）,q =_2 cos 6（6e 孕,R）,4 4 4 4（也令他夕函当，恪当.6 J 3 6【解析】【分析】（，寻三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中d的取值范围艮据条件p=用逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐标.愿你以渺小启程，以伟

29、大结束。16【详解】(D由题意得，这三个圆的直径都是2,并且都过原点.%:q =2 cos&eM2:Q=2cos(6-今=2 s in=d e q,学 ):Q=2cos(0-4)=-2co s0(0 e 管,*).(2)解方程2 cos 6=4(H O,f )得夕=g,此 时P的极坐标为(招，今4 6 6解方程2 sin =戊0 e ,孚 )得。=或0=多，此时P的极坐标为(书,当 或(有,驾4 4 3 3 3 3解方程-2cos 6=的(即 二 )得6 =江，此 时P的 极 坐 标 为()4 6 6故P的 极 坐 标 为(戊 今,(戊 务(戊 当，他当6 J 3 6【点睛】此题考查了极坐标中

30、过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.选修45：不等式选讲23.设x j,z e R,且x+y+z=l.(1)求(公 球+8+1尸+(2+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+0-1)2+(z-a)3 2；成 立,证 明：a W一3 或 a N T.4【答案】(D 0)见详解【解析】【分析】4(1海据条件X+y+Z =l,和柯西不等式得到5-1)2+0 +1)2+3+1)221,再讨论XJ,Z是否可以达到等号成立的条件.0)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x，yz代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.详解(1)(X_l)2+O+l)2+(z+l)2(12+F+12)N(x_D+3 +D+(z+l)2=(x+y+z+l)2=4故41(x-lA+Cy +i y+G +l A N 等号成立当目仅当 x _ =y +l=z+l 而又因 x+y+z =l,解得 2 1成立，所以有a W-3或a N-l.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.愿你以渺小启程，以伟大结束。18