2020-2021学年江苏省镇江某校高一（下）第二次月考数学试卷（6月份）（附答案详解）.pdf

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1、2020-2021学年江苏省镇江一中高一(下)第二次月考数学试卷(6 月份)一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知复数z=l+：,则复数z在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.tana=y,且a第三象限角，则cosg+a)=()A./B.C.彳 D.J25 25 25 253.已知向量2=(2,0),b=(14)若向量，与向量d-垂直，则实数4=()A.|B.1 C.2 D.34.设m,n,2表示不同直线，a,0,y表示三个不同平面，则下列命题正确是()A.若?n 1 Z,n 1/,则九B.若m“a,则a JL/?C.若a l y,B 工

2、丫,则。D.若a n y =?n,/?n y=n,m/n,则仪05.旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧.某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m,从B点测得M点的仰角B M.N点的仰角“BN屋 以 及“MB”争 则 两 座 山峰之间的距离M N=()A.300m B.600nl C.300V2m D.600口m6.已知平面向量,，石满足|方|=2|B|4 0，且关于x的方程/2|石|尤+N .石=0有实根，则向量,与石的夹角的最小值是()A.弓 B.与 C胃 D谭7.已知圆柱的

3、高为2,它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为()A.4V5?r B.(8+6V3)7 T C.10V3T T D.(10+4 6)兀8.如图，为了测量B,C两点间的距离，选取同一平面上4,D两点，已知D C =90 Z.A=60,AB=2,BD=2乃，DC=4V 3,则BC的长为（）A.4V3 B.5 C.6V5 D.7二、多 选 题（本大题共4小题，共20.0分）9.在 ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为S,下列ABC有关的结论，正确的是（）A.若 4BC为锐角三角形，则sin4 cosBB.若a b,则cos2A cos2BC.S=4

4、R2sinAsinBsinC,其中R为 ABC外接圆的半径D.若 ABC为非直角三角形，则tan/1+tanB+tanC=tanAtanBtanC10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数z=言。为虚数单位），则z3。=-1B.若复数Z满足z2 e R,贝iJzeRC.若复数z=a+bi（a,b 6 R）,则z为纯虚数的充要条件是a=0D.若复数z满足|z|=l,则复数z对应点的集合是以原点。为圆心，以1为半径的圆11.已知力BC的面积3,在4 4BC所在的平面内有两点P,Q,满 足 方+2PC=00D.S=412.如图，长方体ABC。-&口。1的底面是正方形，AAr=2AB,E是。Di

5、的中点，则（）A.ZiBiEC为直角三角形B.CEA、BC.三棱锥的-BiCE的体积是长方体体积的;OD.三棱锥G-B1CD1的外接球的表面积是正方形4BCD面积的6兀倍第 2 页，共 16页三、填 空 题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知i是虚数单位，则()2。2。=.14.在ABC中，角4 B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b+c)(a+b c)=3ab,且a?=b e,则b，的值为.y l 2cos5-sin2501 5-6 5。=16.某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶(如图)，已知该垃圾桶由上、下两部分组成(上部为多面体，下部为

6、长方体，高度比为1：2),垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该 垃 圾 桶 下 部 长 方 体 的 容 积 为,该垃圾桶的顶部面积(最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和)为四、解答题(本大题共6 小题，共 70.0分)17.已知a,。为锐角，=$cos(a+W)=-*.(1)求cos2a的值；(2)求sE(a 夕)的值.18.在z 0,z的实部与虚部互为相反数，z为纯虚数这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并解答.问题：已知复数2=机2 巾6+(HI?9)i.(1)若，求实数m 的值；(2)若m为整数，且|z|=1 0,求z在复

7、平面内对应点的坐标.19.如图，某快递小哥从4 地出发，沿小路力B rB C 以平均时速30公里/小时，送快件到C处，己知BD=8(公里)，ADCB=45,ACDB=30,4BD是等腰三角形，乙 ABD=120.(1)试问，快递小哥能否在3 0分钟内将快件送到C处？(2)快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路4。-D C追赶，若汽车平均时速6 0公里/小时，问汽车能否先到达C处？(参考数据：V 2 “1.4 1 4.V 3 1.7 3 2)2 0 .如图，在棱长为6的正方体4 B C D -&当 口。1中，点E是 的 中 点，点F在棱4 B上,且A

8、F =2 F B,设直线B D i、D E相交于点G.证明：G/7/平面4 4 1 Q D：(2)求B到平面G E F的距离.2 1 .如图，在三角形A B C中，A C=3 /6,A B=2显,4 B A C =2乙4 c B.(1)求A/I B C的面积：(2)若B C、4 C边上的点M、N满足：B M =MC,A N=2 N C,且A M、B N相交于点P,求4 M P N的余弦值.2 2 .已知。为坐标原点，/1(7 2,0),B=(0,V 2),M为4 B的中点.(1)若N是线段O M上任意一点，求 而.A M+/V O .雨的最小值；(2)若点P是N 4 0 B内一点，且O P =

9、2,Ar,夕分别为x轴正半轴，y轴正半轴两点,且 有 赤=2 0 4；+而,求 得 泅+看 正的最小值.第 4 页，共 16页答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z=1+：=l i,则复数z在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限.故选：D.根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,属于基础题.2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知利用同角三角函数基本关系式即可化简求值得解.【解答

10、】解：因为t a n a ，且a第三象限角，贝 i j c o s 6+a)=sina=V1 cos2a|.故选：C.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.由向量坐标运算法则求出己再由向量日与向量&-/1刃 垂直，利用向量垂直的性质列出方程，能求出实数人【解答】解：1 向量d =(2,0),b=(1,1)*Q,-A b=(2 A,A),向量,与向量五-a B 垂直，a (a A b)=2(2 A)=0 解得实数a =2.故选：c.4 .【答案】B【解析】解：,m,九，表示不同直线，a,氏 y 表示三个不

11、同平面，,若n i l,则m与九平行，相交或异面，故 A错误；若m上0,m a,则a _ L ,故 3正确；若a l y,/7 1 y,则a 与/?相交或平行，故。不正确；若a n y =m,n y =n,m 几，则a 与0 相交或平行，故。不正确.故选：B.由n,表示不同直线，a,0,y 表示三个不同平面，知：若7 n _L h n i l,则m与九平行，相交或异面；若m1氏 m a,则a l/?；若a l y,/7 1 y,则a与0 相交或平行；若a n y =m,0 C y =n,mn，则。与 相交或平行.本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行

12、等价转化.5 .【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.首先在两个直角三角形中求解B M,B N,然 后 在 中 利 用 余 弦 定 理 求 解 即 可.【解答】解：由题意得，A M =CN=3 0 0,B M =sin 乙48M=c m=一 3 0 0 V2 m,CN _ 300sinLCBN si 咤6 0 0 m,在 B M N 中，由余弦定理可得:M N =y/BM2+B N2-2 BM-BN-cosMBN第6页，共16页2 +(6 0 0)2-2 x 3 0 0 V2 x 6 0 0 x 4=6 0 0 m-故选：B.6 .【

13、答案】B【解析】解：根据题意，设向量江与3 的夹角为。，设|1|=t，则 同=2 3关于x 的 方 程 一2|3 氏+五 不=0 即-2 tx+2 t2cos0=0,若该方程有解，则=4 t 2 8 t 2 c o s 0 N 0,变形可得c o s O W 又由 0 9 所以4 一 B,故s i n As i n -B)=c o s 8,故 A 正确；对于B：由于a b,所以2 R s i n 4 2 R s mB,iHsinA sinB,所以s i/A s i n?B，整理得 1 一 2 sin2A 1-2 sin2B,故c o s 2 4/2 a,B】C=耳，结合勾股定理，判断4；通过C

14、 E与 不 平 行，判断B；求出棱锥6-B i C E的体积，长方体的体积，推出三棱锥C i-B i C E的体积与长方体体积比例，判断C；求出三棱锥C 1-B 1C D1的外接球的表面积，正方形AB C D面积，即可判断D.【解答】解：令=2 4B =2 a,在中，BE=V 3 a EC=V 2 a,BrC=V 5a，满足勾股定理，则AB i EC为直角三角形，故A正确；因为C E与41B不平行，故8错误；棱锥G a C E的体积为VQ_BICE=/i-Ci CE=|x|x a x V 2a x V 2a =所以匕B CD-A B g%=2。3,则三棱锥G-&C E的体积是长方体体积的：，故

15、C正确；因为三棱锥G -B】CD i的外接球就是长方体4 B CD -的外接球，所以三棱锥G -8停久的外接球半径R =等3/=手，三棱锥G B CD i的外接球的表面积为S =4兀X （苧/=6 a 2兀，SA B C D=a2,三棱锥G-的外接球的表面积是正方形A B C。面积的6 7r倍，故。正确，故选：A CD.13.【答案】-1【解析】【分析】第 10页，共 16页本题考查复数的运算法则、指数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题.先 计 算 唔）2,再利用复数的运算性质即可得出.【解答】解：虑产=（罕A 八T唔 产2。=唔）4严5=(-1)5 0 5=-1.故答案为：-1.1

16、4 .【答案】述3【解析】解：由于：(Q+b +C)(Q+b c)=3ab,则：(Q+b)2 c2=3ab,整理得：a2-I-b2 c2=abf由于：0 V C TT,故：C=%因为：a2=b e,由正弦定理可得：s i n?=sinBsinC,_n rz得i=1.-b-=-s-i-n-B-=-s-in-B-=-1-=1=-2-4-3-,asinA siM 4 sinBsinC sinC sin-3 故答案为：竺3由已知整理可得a?+-c?=a b,利用余弦定理可求c o s C=土结合范围0 C 兀,可求C=g,由。2=%，根据正弦定理可得s i/A =s i n B s i n C,进而根

17、据正弦定理化简所求即可求解.本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.15 .【答案1 V 3【解析】【分析】本题考查三角函数的计算，属于基础题由c o s 5 =c o s（3 0。-25。），再结合两角差的余弦公式,即可得解.【解 答】解：原式一 2c o s(3 0-25)-s i n 25。_ 2(学c o s 25+演n 25)-s i n 25 _ 6c o s 25。_cos250c o s 25 c o s 25 V 3-故答案为：V 3.1 6.【答 案】N如 空M2R【解 析】解：如 图，由正六边形边长

18、为a,可得AD=4a,则A C =岛，O B =a.K守刁由题意，下部长方体的底面为边长是国a的正方形，高为4 a,下部长方体的体积为7 5 a x V 3 a x 4Q=1 2 a3;最上面正方形的对角线长为6 a,则 正 方 形 边 长 为 华=渔a.V 2 2.每一个小三角形是等腰三角形，底边长为西口，腰长为a,2则一个小三角形的面积为工x在a x la2-(a)2=-a2-.垃圾桶的顶部面积为幽X幽+4 x 典=如 竺a2.2 2 8 2故答案为：12a 3：如 空a?.2由正六边形的边长求出下部长方体的底面边长及高，再求出上面正方形的对角线长，得到正方形的边长，然后利用长方体体积公式

19、及正方形与三角形的面积公式求解.本题考查多面体体积与表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.17.【答 案】解：(1)因为a为锐角，t a zi a =,1 2所以s讥a =而，cosa=-=,所以 c o s 2a =2 cos2a l =2 x 1=|.(2)由(1)可知s i n 2a =2 sinacosx=因为a,。为锐角，(。+夕)=2.10所以 s i n(a +S)=J i c o s 2(a +0)=耳,所以 s i n(a -/?)=s i n 2a (a +/?)第1 2页，共1 6页=sin2 acos(a+/?)-cos2 asina+/

20、?)4,依 3 772 y2=-X(-)-X =-5 k 10y 5 10 2【解析】(1)由已知条件求出s i n a,cosa，由二倍角的余弦公式求解即可；(2)由二倍角的正弦公式可求得s i n 2a,由同角三角函数的基本关系求出$访(。+6)，根据a -0 =2a -(a +),利用两角差的正弦公式求解即可.本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，考查两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于中档题.18.【答案】解：(1)若选择，解得T H =-3.若选择，z的实部与虚部互为相反数，A m2 m 6 +m2 9=0,解得m=3 或一|.若选择，z为纯虚数，慎二,；=。，解得m

21、=-2.(2)z-10,(m2 m -6)2+(m2 9)2=100,(m-3)2(2/+10m +13)=100.r zn为整数，(7n-3)2为平方数，2nl 2+10m+13 为奇数.v 100=102 x 1或 100=22 x 25,二验证可得m 3 =2,即?n=1.由m=l,得z=-6-8 i,其在复平面内对应点的坐标为(-6,-8).【解析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题.若选择，由实部大于0且虚部等于0,进行求解.若选择，由z的实部与虚部互为相反数构造方程求解.若选择，由实部为0且虚部不为0进行求解.(2)由|z|=1 0,得(m 3)2(

22、2巾2+i o7n+13)=100,结合m为整数，(m 3)2为平方数，27n2+i 0n l+1 3 为奇数求解m值，进一步得到z得答案.19.【答案】解：(1)在 B C D 中N D CB=45。，乙 CDB=30,贝 i J/CBD =105。,由正弦定理得CD8sinl050 sin45BCsin3Q*BC=4 a(公里)，义萨 x60=16+8V2a 27,3 27.3(分钟)，所以汽车不能先到达C处.【解析】本题考查了三角形的正余弦定理的应用，学生的数学运算能力，属于中档题.(1)利用题中的条件易知ZB=8,在三角形 BCD中由正弦定理，可解出BC的长度，即可解出；(2)利用(1

23、)可解出CD的长，在三角形A/IB。中，由余弦定理可计算出4D的长，即可解出.20.【答案】解：(1)证明：连接4。1，则舒=券=胃/-7fFG/AD,j；F也BC=2V 15.,AB2+AC2-BC2 I.n-5_V i s cosZ-BA C=c c =*-snZ-BA C=v l cos2Z.BA C=，2ABAC 4 4 ShA BD=A B-A C-sinBA C=|x 3 /6 x 2乃 x 乎=|V 15.(2)由已知条件BM =M C,A N=2 N C,且4 M、BN相交于点P,可 知 祠 =1而+而），丽=|前 一 荏，|荏|=2乃，|而|=3几，四 而=2通x3 /6 x

24、 cosZ-BA C=9,所 以 前.丽=（次+：确.（海-确=浑2一 萍.而 三 荏2号 A M =J(海+,硝2=2V 6-|而|=J(|而2-=荏6,)_ _,9 18 S Z M P N =c o s =缶V616【解析】（1）由题意利用二倍角的正弦公式、余弦定理求得B C的值，从而求得s i n/B A C的值，从而求得 A B C的面积.（2）由题意利用向量的加减法及其几何意义，两个向量的夹角公式求得NMP N的余弦值.本题主要考查二倍角的正弦公式、余弦定理，向量的加减法及其儿何意义，两个向量的夹角公式，属于中档题.2 2.【答案】解：A(&,0),B=(0,V 2).M为4 B的

25、中点.M日 净，直线。例的方程为y =x，设N(x,x),x e 0,y，NO-NA +NO-NB=(-x,-x)(V I-x,-x)+(-x,-x)(4,&-x)=4 x2-2A/2X=4(x Y)2 一当 =当 时，亚 福+布而取得最小值为一/(2)设P(2cosO,2sinO),且。(0,今，4(a,0),B(b,0),O P=2OA1+O B;(2cos9,2sin6)=(2a,0)+(b,0),BPa=cosO,b=2sin0f.1 1 _ 1 1 _ sin20+cos20 sin20+cos201 0 2,1 2 OBr2 cos20 4sin20 cos20 4sin20sin

26、20,.,1,cos20=-+1 H-1-.、cos26 4 4sin205 2/sin20 cos20-4 1 cos20 4sin20=5 r 11 =9,4 4当 且 仅 当 誓=笆 1，即tan。=立时，等号成立，cos20 4sin2。2故 施+洪 淮 最 小 值 笔【解析】(1)易知直线。M的方程为丫=无，于是可设N(x,x),x e 0,f ,用含x的式子表示出所求代数式，再结合二次函数的性质，得解；(2)设P(2cos0,2sin0),且。6(0卷)，Aa,0),B(b,0),由平面向量的线性坐标运算可得。=。$仇 b=2 s in d,再结合模长的计算方法、同角三角函数的平方关系与基本不等式，即可得解.本题考查平面向量在几何中的应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握平面向量的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.第 16页，共 16页