高考立体几何.pdf

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1、第八编立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图-自 主 学 习 。基础自测1.下列命题中正确的是A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答 案D2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30 B.45C.60 D.9 00答 案C3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：c m）,则此几何体的表面积是2)主视图 左视图T2.1.俯视图A.(20+4

2、C.(24+4 4 1)答 案A4.(20 0 8 广东,c m 2c mB.21 c m2D.24 c m2理5文7）将正三棱柱截去三个角（如图1所示），A,B,C分别是A G H I三边的中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的左视图为)答案 A5.已知正三角形A B C的边长为a,那么4 A B C的直观图4 A B C的面积为A后2R62C痣2A.a B.a C.a4 8 8)D.a16答 案D典例剖析 例1下列结论正确的是A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，

3、则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答 案D例2 （1 2分）已知A B C的直 观 图 是 边 长 为a的正三角形，求原三角形A B C的面积.解 建立如图所示的x O y坐标系，A A B C的顶点C在y轴上，A B边在x轴上，0 C为A A B C的高.3分把y轴绕原点顺时针旋转4 5 得y 轴，则点C变为点 点，且0 C=2 0 C，A、B点即为A、B点，A B=A B.6 分已知 4 B =A C =a,在中,由正弦定理得 =，8分s i n O A C s i n 4 5 r r i qs i n 1 2 0 屈所以 0 C =-a=a,s i n

4、 4 5 2所以原三角形A B C的高O C=V a,1 0分所以 S A W X a X a=-a .2 21 2分例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示:且A A =B B =C C =4 c m,正三角形A B C和正三角形A B C的高为2百c m.正三角形A B C的边长为|A B|=-2 百=4.s i n 6 0 0该三棱柱的表面积为S=3 X 4 X 4+2 X -X 42s i n 6 0 =4 8+8石(c m2).2体积为 丫=5底 A A|=-X 42s i n 6 0 X 4=1 6百(c m*).2故

5、这个三棱柱的表面积为（4 8+8 6）c m；体积为1 6 5/3 c m3.例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解如图所示，4A B E为题中的三角形，由已知得AB=2,B E=2x4 3=V i,2BF=|BE=,AF=A B2-B F2=4-|=,/.ABE的面积为S=-XBEXAFX y/3 X J-=42.2 2 V3所求的三角形的面积为拒.若过该球球心的一个截面如图所示,-i*一 知能迁移 一1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（）A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都

6、相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同球面上答 案B2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的 正 方 形,则 原 平 面 四 边 形 的 面 积 等 于.答 案2后才3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图（或称正视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解（1）由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高V0=4,0点

7、是AC与BD的交点.该几何体的体积V=-X8X 6X4=64.3(2)如图所示，侧面VAB中，V E A B,则VE=yvO2+0 E2=42+32=5/.SA=-XABXVE=-X 8 X 5=202 2侧面 VBC 中，VF1BC,则 VF=-JvO2+O F2=V42+42=4 V2.,.SAK=-XBCXVF=1 X 6 X 4 拉=12 拒2 2，该儿何体的侧面积S=2（SAVB+SA：）=40+24拒.4.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是（）答 案B活页作业一、选择题1.利用斜:测画法可以得到：三

8、角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是正方形，菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是A.答 案A2.如图所示,B.C.甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是图（甲）出 视图左俯视图俯视图俯视图（丙）(D.长方体：（A.圆锥；三棱锥；圆柱.B.C.D.主)答 案A3.卜.列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是)A.正方体B.正四棱锥C.D.答 案D4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下:E:rFh主视图左视图俯视图根据三视图回答此立体模型的体积为)A.4B.5C.6D.7答 案B5.棱长为1的正方体A

9、 B C D ABCD的8个顶点都在球。的表面上，E、F分别是棱A A,、D D,的中点，则直线E F被球0檄得的线段长为)(二、填空题7.用小立方块搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示,这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用_个小立方块.A.B.12答 案 D6.（2 0 0 8 湖北理，3）用与球心距离为1 的平面去截球，A 包 B.心3 3答 案 BC.1+D.拉2所得的截面面积为乃，则球的体积为（）C.8 6r 早答 案 9 1 48 .（2 0 0 9 兴化市板桥高级中学高三1 2 月月考）如下图所示，一个空间几何的主视图和左视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一个直径为

10、1 的圆，那 么 这 个 几 何 体 的 全 面 积 为.答 案?三、解答题9 .正四棱台AC：的高是1 7 c m,两底面的边长分别是4 c m 和 1 6 c m,求这个棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是口、0,BC和B C 的中点分别是匕和E,连接分 0、E,E,O B、O B、0 E、0 E,则四边形O B B O 和 O E E O 都是直角梯形.；AB=4 c m,AB=1 6 c m,.0 i E i=2 c m,0 E=8 c m,0 i B i=2 V 2 c m,0 B=8 拒 c m,三 0。+（O B-0 B）、3 6 1 c m2,E i E

11、 =O Q-+(0 E-0,E,)2=3 2 5 c m2,.B i B=1 9 c m,E i E=5 V T J c m.答 这个棱台的侧棱长为1 9 c m,斜高为5 而 e m.1 0.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，轴截面的面积等于3 9 2 c m 1 母线与轴的夹角是4 5 ,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为X c m,3 x c m.延长AAl 交0 0 的延长线于S,s在 R tZ S O A 中，Z AS O M 50,4/则 N S A0=4 5 ,AS 0=A0=3 x,A0 0,=2 x,A一Q又 S

12、珀 截 囱=1 (6 x+2 x),2 x=3 9 2,/.x=7.2故圆台的高00尸1 4 (cm),母线长 I=后 0Q=1 4/7 (cm),两底面半径分别为7 cm,21 cm.n.正四棱锥 的 高 为 石，侧 棱 长 为 万，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解 如图所示，正棱锥S-AB C D中高os=7 i,侧棱S A=S B=S C=S D=J 7 ,在 RtasOA 中,0A=8 2-。$2=2,/.A C=4.A B=B C=C D=D A=2 7 I.作OE _LA BE,贝IJE为A B中点.连接SE,则SE即为斜高，则SO_LOE.在 RtasoE 中，：O

13、E=LB C=V I,SO=V3 ,2.,.SE=7 5 ,即侧面上的斜高为石.1 2.如图所示的几何体中，四边形A A B B是边长为3的正方形，C C产2,C C A A,这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解这个几何体不是棱柱；在四边形A B B A中，在A A,上取点E,使A E=2；在B B,上取F使B F=2；连 接C E E F,C.F,则过C,E F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱A B C E FC“其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C,一E

14、A B F.8.2 空间几何体的表面积与体积 自主学习 Q基础自测1.(2008 山东，6)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A.9 万答 案 DB.10 万主视图左视图俯视图C.1 D.12 万2.如图所示，在棱长为4 的正方体A B C D-A B C D 中,P 是AB上一点，且 PB=，AB,则多面体P-B C C B 的体积为（4)Ad3D.16答 案 B3.如图所示，一个空间几何体的主视图、体的表面积为左视图是周长为4,一个内角为60。的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何（）俯视图B.nc 3不G.-2D.2%答 案 B4.已知正方体外接球的体积

15、为等H ,那么正方体的棱长等于)A.2拒R2V3D.-3 4后U.-3答 案 D5.（20 0 8 福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为石，则其外接球的表面积是.答 案 9 46.三棱锥SA B C 中，面 SA B,SB C,SA C 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且 A B=B C=C A=2,则三楂锥S-A B C 的表面积是.答 案 3+后典例剖析例1如图所示，长方体并且 a b c 0.求沿着长方体的表面自A到C,的最短线路的长.解将长方体相邻两个面展开有卜.列三种可能，如图所示.ABCD AiBiCiD.111 AB=a,BC=b BB；=c.三个图形甲、乙

16、、丙中AC,的长分别为：-J（a+h）2+c2=-Ja2+b2+c+2ab,a2+（h+c）2=la2+b2+c2+2bc,b c 0,.,.ab ac b c0.故最短线路的长为la2+b2+c2+2bc.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到几何体,求该几何体的表面积（其中ZBAC=30）及其体积.解 如图所示,过C作COAB于口，在半圆中可得NBCA=90,NBAC=30,AB=2R,.AC=73 R,BC=R,C0=R,2*S.=4 7r R,5口 怖 人0邯=4 X-y-R X石R=|乃R，SMO小尸乃 X.R X R=半 n R2,S儿网体&

17、=S球+S|0M 0图+SI锥 股 侧11 2 后 c。H +A/3 个二 一n R+7t R 二-re R 2 2 2旋转所得到的几何体的表面积 为 止 近 R；2 4（1 1?又 V 域 二 R,加 钳X0=3*AOi,兀 COi-TTR*A0）1 1%呦幽 n COr=-BOi re R-V几何体二V感 一（愉 豺a+%怖时）二4 一D3 1 D3 5 D；1R-4 R 二一7t R.3 2 6例3 如图所示，长方体ABCD A，夕C O中，用截而截下一个棱锥C A，。，求棱锥C的体枳与剩余部分的体积之比.解已知长方体可以看成直四棱柱A。少4 BCC7T设它的底面A D Q A 面积为S

18、,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C A，。，的底面面积为;S,高是h,因此，棱锥c的体积Vc-A D D=-X Sh=-Sh.3 2 6余下的体积是Sh-Sh=Sh.6 6所 以 棱 锥 的 体 积 与 剩 余 部 分 的 体 积 之 比 为1 ：5.例4（12分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60,E为AB的中点，将4AD E与ABEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.解由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=L折叠后得到个正四面体.方法一 作AFJ_平面DEC,垂足为F,F即 为 的 中 心.

19、取EC的中点G,连接DG、AG,过球心。作（_1_平面人。则垂足H为4AEC的中心.二外接球半径可利用0 H AS/G F A 求得.4分2分:AG与 AF1”净2=多在4AFG和4人的中，根据三角形相似可知,6分A H=1.0 A=-=XX3A尸 旦410分.外接球体积为&乃X0AJ=-T 3 3绰=口.43 812分方 法 二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.正四面体的棱长为1.，正方体的棱长为亚，23分二外接球直径2 R=6 .*6分R-石|-,49分.体积为5（用邛71.该三棱锥外接球的体积为 巫87T.12分知能迁移1.如图所示，在直三棱柱

20、ABC-AB0中，底面为直角三角形，ZACB=90,AC=6,BC=CC,=42.cP是BC,上一动点，则CP+PA,的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _.答 案5五议2.如图所示，扇形的圆心角为90。，其所在圆的半径为R,弦AB将扇形分成两个部分，这两部分 二2各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V,和 S之比为()A.1：1B.1 ：板C.1 ：2D.1 ：V3答 案A3.如图所示,三棱锥A BCD 一条侧棱AD=8 cm,底面一边BC=18 cm,积.解取BC中点M,连接AM、DM,取AD的中点N,连接M NVAC=AB=CD-BD,ABC 1AM,BC1DM,又 YAM A D

21、M 二M,.BC_L平面 ADM,BC二 18,AC=AB=DB=DC=17./.AM-DM-4 713,ANM1AD,.tMN二8后.,.SAA=-M N AD2B y二o B其余四条棱的棱长都是17 c m,求三棱锥A BCD的体ABc VA 8COVB ADM+VC ADM=-XSAX(BM+CM)X32 百 X183 3=192.73(cm5).4.如图所示，已知正四棱锥S ABCD中，底面边长为a,侧棱长为痣a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积.解(1)设外接球的半径为R,球心为0,则0A=0C=0S,所以。为ASAC的外心，即4SAC的外接圆半径就是球的半径.V

22、AB=BC=a,/.AC=V2 a.VSA=SC=AC=V2 a,.,.SAC 为正三角形.由正弦定理得2R=缶 2sin ZASC sin 60=-a3AB因此，R=a,V=n R:=n a.3 3 27(2)设内切球半径为r,作SEJ_底面ABCD于E,作SF1BC于F,连接EF,则有 SF=4 SB2-B F?SAS8C=-BC,SF二 一a X-a二-a.S 枝 推 全=4Sassc+S 底=(7+1)a.2 2 2 4又 SE=1/SF2-E F2=J a)?-(-|)2=2y.,.V(4 t=-Sah=laJX a=a3.3 3 2 6a R 3q i/3 x-a.r=3一棱锥=6

23、=S棱 锥 全(4+1)。2V42-V6123活页作业一、选择题1.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点,沿线AF,AE,EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为C.12D.24答 案D2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线长为2 J值，则这个长方体的体积是A.6B.12 C.24 D.48)答 案D3.已知三棱锥S ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心。在AB上，SO_L底面ABC,AC=6 r锥体积之比是A.n B.2 万 C.3 4 D.4 万答 案D4.如图所示,三棱锥P ABC的高P0=8,AC=BC=3,NACB=30,M、N分别在

24、BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,下面的四个图象中能表示三棱锥N AMC的体积V与x(x S (0,3)的关系的是,则球的体积与三棱()B答案 A5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为1 6,则这个球的表面积是A.16 万B.20 4C.24 4D.32 n答 案 C6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积答 案 C二、填空题7.(2 0 0 8 四川理，1 5)已知正四棱柱的对角线的长为 痣，且对角线与底面所成角的余弦值为 立，则该正四棱柱的体积3等于.答 案 2AAAA8.(2 0 0 8 上海春招)已知

25、一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1,j 丫 Y 其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=.-答 案 1+g6三、解答题a9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 c m 和 6 c m,高是一c m,2(1)求三棱台的斜高：(2)求三棱台的侧面积和表面积.解(1)设6、。分别为正三棱台A B C-A B G 的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O Q=g,过 0,作 0 D_L B G,0 D1 B C,则 D,D为三棱台的斜高；显然，A,0.,D,三点共线，A,0,D 三点共线.过 Di 作 DiE_L A D 于 E,则 D B 0 Q=3,2因 0 Q 尸亚 X 3=,0 D

26、=-X 6=V 3 ,6 2 6贝 i j DE-O D-O iDi=旧 B=B.2 2在 R t Z X DQ E 在DD=也 E2+EQ(2)设 c、/分别为上、下底的周长,X为 斜高，S 侧=(c+c )h =一 (3 X 3+3 X 6)X y/3=.-(c m ),2 2 2SE/SLS=+3x32+3x6、(c m2).2 4 4 4故三棱台斜高为后c m,侧面积为c m2,表面积 为 目 c m2.2 41 0.如图所示，正aA B C的边长为4,D、E,F 分别为各边中点，M、N、P 分别为B E、DE、EF的中点，将A A B C沿 DE、EF、DF折成了三棱锥以后.(1)N

27、 MN P 等于多少度？A F C(2)擦去线段EM、EN、EP 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？7解(1)由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，/A /BMNP 为正三角形，故NMNP=NADF=60.(2)擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，其侧面积为S勺|=SE-AD F催-SETNP则二 3X X 2-3 X -x/二 2 1.4 4 411.如图所示,在长方体 ABCD ABCD 中，AB=BC=1,BB,=2,E是棱CCi上的点，且CE二，CG.4(1)求三棱锥CBED的体积；(2)求证：AJ_平面BDE.(1)解,CECG=L4 2Vc M)E=VE-B C D=-

28、SA B C D,CE=-X 1 X 1 X 1 X L.3 2 2 12 证 明 连 接AC、B C.VAB=BC,A B D I AC.4A _L 底面 ABCD,.BD1AA.VA,AAAC=A,BDJ_平面A】AC.ABDIAC.VtanZBB,C=1,BB 2CE 1ta n Z C B E=-=A ZBB；C=ZCBE.CB 2VZBB,C+ZBCBF90,NCBE+NBCB产90,A BE 8,0.VBE1A B.,A B ABC二B”,.BEJ_平面ABC,A BE 1 A C.VBDABE=B,B E u平面 BDE,BD u平面 BDE,AJ_平面BDE.12.三棱锥S-A

29、 B C中，一条棱长为a,其余棱长均为1,求a为何值时VSTBC最大，并求最大值.解 方 法 一 如图所示，设SC=a,其余棱长均为1,取AB的中点H,连接HS、HC,贝|JAB_LHC,ABHS,，ABJ_ 平面 SHC.在面SHC中，过S作S 0 1 H C,则SOJ_平面ABC.在aSAB 中，SA=AB=BS=1,.,喈,A设 N S H 0=e,贝 iJSO=SHsinO=二 s in。，2 V s-A B C SABC,SO3X走x/x立s in。3 4 21 昨1二一sin 夕 W 一.8 8当且仅当s in 6=l,即8=9 0 时，三棱锥的体积最大.a=6 sH=收 乂 在

30、二 旦,V,=i.2 2 8.a为4 5时，三棱锥的体积最大为1.2 8方法二 取SC的中点D,可通过V rc=SC,3转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配方法解决.8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系自主学习一*口基础自测1.给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线1卜L与同一平面所成的角相等，则L,L互相平行；若直线k k是异面直线，则与I,、L都相交的两条直线是异面直线.其 中 假 命 题 的 个 数 是.A.1 B.2 C.3 D.4答 案D2.已知m、n为异面直线，m u平面a,n u平面夕，a D =l,则I

31、（）A.与m、n都相交 B.与m、n至少一条相交C.与m、n都不相交 D.至多与m、n中的一条相交答 案B3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分答 案C4.如图所示，点P,0,R,S分别在正方体的四条棱匕 且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（)答案 C5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将AABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为()A.90答 案BB.60C.45D.02一 典例剖析一例1如图所示

32、，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE：EB=CF：FB=2：1,CG：GD=3：1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求 AH：HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.解 .把Af=CF=2,.EFAC.EB FB，EF平面 ACD.而 EFu 平面 EFGH,且平面EFGHA平面ACD二GH,EFGH.而 EF/AC,，ACGH.=3,即 AH：HD=3：1.HD GDFF 1 GH 1(2)证明：EFGH,且 丝AC 3 AC 4.EFWGH,.四边形EFGH为梯形.令 EHOFG=P,则 P C E H,而 EHu平面 ABD,PGFG,

33、FG u平面 BCD,平面 ABDC平面 BCD=BD,APeBD.A EH,FG、BD 三线共点.例2如图所示，正方体ABCD A B C D中，M、N分别是AB,B C的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D B和CC,是否是异面直线？说明理由.解(1)不是异面直线.理由如下：M、N分别是A B、B C的中点.MNAC,又,：NA D D,而 又 n.c,AA.A C,.四边形A.ACC,为平行四边形.止,JL JL；.AC 而 得 至ljMNAC；:.A、M、N、C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D.B与C L在同一个平面D

34、CC,内，则BG平面CCD,CG平面CCD.B C u 平面 CC.D,这与正方体ABCDA B C D中BC_L面CCD相矛盾.假设不成立，故D B与C&是异面直线.例3（12分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形,对角线AC与BD交于点0,P0_L平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解（1）在四棱锥P ABCD中，PO_L平面 ABCD,NPB0是PB与平面ABCD所成的角，即 NPB0=60,在 RtZXPOB 中，VB0=AB sin300=1,又 PO1OB,.POBO ta

35、n600=石，NDAB=60,B2分,/底面菱形的面积S=2 x lx 2 X 2 X包=2上.2 2.四棱锥P ABCD的体积Vp co=-X 2 y/3 X y/3=2.3(2)取AB的中点F,连接EF,DF,TE 为 PB 中点，：.EFPA,A ZDEF为异面直线DE与PA的夹角(或其补角).8分在 RtAAOB 中，A0=AB cos30=3=0P,6分A f t RtAPOA rf PA=6,EF=210分在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=V3,由余弦定理得AcosZDEF=D E2+E F2-D F22DEEF2*国 近 3642所以异面直线DE与PA所成角的余弦值

36、为亚.412分知能迁移1.如图，E,F、G、H 分别是空间四边形A B、B C、C D.D A 上的点，且 E H与 FG相交于点0.求证：B、D、0 三点共线.证明 YE eA B,HeA D,E e 平面A B D,H e 平面A B D.E Hu平面 A B D.VE HnFG=0,.Oe 平面 A B D.同理可证o e 平面B C D,.OW平面 A B D C 平面 B C D,即 OC B D,所以B、D、0 三点共线.2.在正方体A C 中，E 是 C D 的中点，连接A E 并延长与B C 的延长线交于点F,连接B E 并延长交A D 的延长线于点G,连接FG.求证：直线F

37、G u 平面A B C D 且直线FG直线A B.证明 由已知得E 是 C D 的中点，在正方体中，由于A W 平面A B C D,E G 平面A B C D,所以A E u 平面A B C D.又 A E A B C=F,从而F E 平面A B C D.同理G W 平面A B C D,所以F G u 平面A B C D.因为 EC1；A B,故在 RtA JB A 中，C F=B C,同理D G=A D.又在正方形A B C D 中,B C所以四边形C FGD 是平行四边形，所以 FGC D.又 C D A B,A B A B,所以直线FG直线A B“A D,所以C FJLD G,JL3.如

38、图所示，等腰直角三角形A B C 中,ZA=90,B C=V2,D A 1 A C,D A 1 A B,若 D A=1,且 E 为 D A 的中点.求异面直线 B E与 C D 所成角的余弦值.解 取 A C 的中点F,连接E F,B F,在4 A C D 中，E、F 分别是A D、A C 的中点,；.E FC D,A ZB E F即为异面直线B E 与 C D 的夹角或其补角.在 RtaE A B 中,A B=A C=1,A E=-A D=-,.,.B E=,2 2 2在 RtE A F 中，A F=-A C=-,A E=1,2 22.E F哼,在 RtB A F 中,A B=1,A F=-

39、,2 2在等腰三角形E B F中,EF 也 r-COSZFEB=-2=3=叵BE 后 10T.异面直线BE与CD所成角的余弦值为叵.10-活页作业 一一、选择题1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是)A.相交C.平行或异面答 案DB.相交或异面D.平行、相交或异面2.给出下列命题：若平面a内的直线a与平面月内的直线b为异面直线，直线c是a与夕的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交;若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面：一定存在平面a和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是A.B.答 案C3.已知a,b是异面直线，直线c直线a,则

40、c与bA.定是异面直线C.不可能是平行直线答 案C4.若P是两条异面直线I、m外的任意一点，则A.过点P有且仅有一条直线与I、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与I、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与I、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与I、m都异面C.B.一 定是相交直线D.不可能是相交直线D.().)()答 案B5.（2008 辽宁文，12）在正方体ABCDABC.D,中,E、F分别为棱AA,、CC,的中点，则在空间中与三条直线A D、EF.CD都相交的直线（）A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条答 案D6.正四棱柱ABCD-ABGD,中，AA,=2AB,则异面直

41、线A B与ADi所成角的余弦值为（）2B.-54喂答 案D二、填空题7.如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4,EF_LAB,则EF与CD的夹角是.答 案30。8.已知a、b为不垂直的异面直线，a是个平面，则a、b在a上的射影可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线;一条直线及其外一点则在上面的结论中，正 确 结 论 的 编 号 是(写 出 所 有 正 确 结 论 的 编 号).答 案 三、解答题9.如图所示，正方体ABCD A B C D中，E、F分别是AB和AA,的中点.求证：(1)E,C,D,F四点共面；(2)CE,D F,DA三线共点.

42、证明(1)如图所示，连接CD.,EF,A.B,F分别是AB和AA,的中点，EFA：B 且 EFA,B,2又 T A D BC,二四边形 再BCD1是平行四边形，.ABCD”.EFCD”；.EF与CD,确定一个平面：a ,*.E,F,C,D【e a,即E,C,D,F四点共面.(2)由(1)知 EFC D,且 EF=CD,2，四边形CD FE是梯形，；.CE与D F必相交,设交点为P,则 P dC E u平面 ABCD,且 P W D Fu平面 A.ADD,二P W平面ABCD且P W平面A,ADD1.又平面ABCDCI平面A ADD,=AD,.PWAD,.CE,D.F,DA 三线共点.10.定线

43、段AB所在的直线与定平面a相交，P为直线AB外 的 一 点，且P不在a内，若直线AP、BP与“分别交于C、D点,求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明 设定线段AB所在直线为I,与平面a交于。点，即IC a=O.由题意可知，APCa=C,B P na=D,ACG ,De a.又；APCBP=P,.AP、BP 可确定一平面:且 CW/,D e .,.CD=a A p.V A e P,BG p,A IG FL,.o e p.o ea n/7,Bp o s CD./.不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为CC,、AA,的中点，画出平

44、面BEDF与平面A8CD的交线.解 在平面AADD内，延长DF,DF与DA不平行，因此D F与DA必相交于一点，设为P,则 PGFD”PGDA.又.FD,U 平面 BEDF,ADu 平面 ABCD,.P E平面 BEDF,PW平面 ABCD.又B为平面ABCD与平面BEDF的公共点，连接PB,A P B即为平面BEDF与平面ABCD的交线.如图所示.PBC12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、B C上的点，=,AB=CD=3,EF=百，求AB、CD的夹角ED FC 2的大小.解 如图所示，在线段BD上取一点G,使 剪 二L连接GF、GE、EF.G D 2A E _ BGED

45、 GDGEA B,且 GE=2AB 二 2,FC 2 3同理，GFC D,且 GF=,C D=1,3+12 _7 1在aEGF 中，cos NEGF=-二-,2x2x1 2ZEGF=120.由 GFZ7CD,GE/7AB 可知,AB 与 CD 夹角应是NEGF 的补角为 60.8.4 直线、平面平行的判定及性质自 主学习 一口基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是（）若直线I上有无数个点不在平面a内，则la;若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的条直线与一个平面平行，那么另条直线也与这个平面平行：若直线I与平面a平行，则I与平面a内的任意一条直线都没有

46、公共点.A.0B.1C.2答 案B2.下列条件中，能判断两个平面平行的是A.一个平面内的一条直线平行于另个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.个平面内任何条直线都平行于另一 个 平面答 案D3.对于平面a和共面的直线m、n,下列命题中真命题是A.若 m _La,m _Ln,则 n aB.若1 1 1&,n/a,则 mnC.若 m u a,na,则 mnD.若m、n与a所成的角相等，则mn答 案C4.已知直线a,b,平面a,则以下三个命题：若 ab,b u a,则 a/a;若 a b,a a ,则 b a ;若 aa,ba U ab.其中真命

47、题的个数是A.0B.1C.2答 案A5.如图所示，在三棱柱ABC ABC,中，M,N分别是BC和A B的中点.求证：MN平面AAC.D.3()D.3证明 设A C中点为F,连接NF,FC,T N为A B中点，；.NFB C,且 N F=BC,2又由棱柱性质知B.C,BC,又M是BC的中点，ANF MC,JL二四迈形NFCM为平行四边形.；.MNC F,又 C F u平面 AAC,MNz平面 AAC,；.MN 平面 AAC.典例剖析例1如图所示，正方体ABCD A B C D中，侧面对角线AB”B J上分别有两点E,F,且B,E=C,F.求证:EF 平面ABCD.证明 方法一 分别过E,F作EM

48、 一AB于M,FN_LBC于N,连接M N.Y B B iL 平面 ABCD,ABB.IAB,BB,1BC,.EM/7BB,FNBB“，EMFN.XVB,E=C,F,；.EM=FN,故四边形MNFE是平行四边形，：.EFM N.又 M N u平面 ABCD,EFn/4 z答 案 I a a8.如图所示,A B C D A B C。是棱长为a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱A B,BC的中点，P 是上底面的棱A D 上的一点，A P=-,过 P,M,N 的平面交上3底面于PQ,Q 在 C D 上，则 PQ=.答 案 a3三、解答题9.如图所示，在正方体A B C D A B C R 中,0

49、为底面A B C D 的中心,P 是D D,的中点,设 Q 是 C C,上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D B Q平面PA O?解当Q 为 C G 的中点时，平面D-B Q平面PA O.；Q 为 C C,的中点,P 为 D D,的中点，；.QB PA.VPs 0 为 D 5、D B 的中点,，D B PO.又 POC PA=P,D,B nOB=B,D B 平面 PA O,QB 平面 PA O,平面D B Q平面PA O.1 0.正方形A B C D 与正方形A B E F所在平面相交于A B,在A E、B D I：各有一点P、0,且A P=D Q.求证：PQ平面B C E.证明 方法一

50、如图所示，作 PMA B 交 B E F M,作 QNA B 交 B C 于N,连接MN.正方形A B C D 和正方形A B E F有公共边A B,；.A E=B D.又.A P=D Q,；.PE=QB,又,.,PMA B QN,二也=丝,丝=丝，.也=史，.人此AB AE DC BD AB DC，四边形PMNQ为平行四边形，：.PQMN.又 MN u 平面B C E,P0(x平面B C E,，PQ 平面 B C E.方法二 如图所示，连接A Q,并延长交B C 于 K,连接E K,VA E=B D,A P=D Q,.,.PE=B Q,.=型 PE BQ又.A D B K,/.毁 二 丝 B