高职高等数学教案.pdf

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1、湄洲湾职业技术学院高等数学理论教案系部：基础部任课教师：蔡高明教师职称：讲师授课对象：动漫 142课程学时：60学年学期：20142015 学年第一学期第1 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.9.25(第四周星期四)第一章 函数与极限1 函数理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法；2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。教学方法、手段：讲授法，师生互动，板书，课件展示教学重点、难点：重点、定义域的求解；函数的几种特性；难点、定义域的求解；奇偶性的判断。教学内容及过程设计补 充 内 容和时间分配5 分钟15

2、 分钟10 分钟10 分钟-1-一、一、新教程序言新教程序言为什么要重视数学学习1文化基础数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；2开发大脑数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑左脑有全面的作用；3知识技术数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；4智慧开发数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。二、讲授新课二、讲授新课先介绍变量、区间以及领域的概念，然后利用现实生活中的一个实例匀速运动，引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学

3、生们认真听课。顺利引出函数。1 1、函数的定义课件展示或板书、函数的定义课件展示或板书 说明：函数是变量间的一种对应关系单值对应，函数的表达式如下：y f(x),x D(1)定义域：自变量的取值集合D。(2)值域：函数值的集合，即y0 yxx f(x0)。02 2、函数的二要素板书、函数的二要素板书构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。熟记熟记注意：为了使定义域在数学上有意义，要求，分母不能为。如f(x)1时x偶次根号下非负。如f(x)x时对数的真数大于。如f(x)lnx正切符号下的式子不等于k2,k Z。余切符号下的式子不等

4、于k,k Z。反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。1例 1 求函数y 的定义域。2x 4例 2 确定函数f(x)3 2x x2ln(x2)的定义域。说明：根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。3 3、函数的表示方法、函数的表示方法通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。4 4、分段函数、分段函数分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值

5、的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。点评：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识5 5、函数常见的几种基本特性课件展示，板书辅助函数常见的几种基本特性课件展示，板书辅助函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。讲解思路：1给出奇偶函数的图形，比照性地进行讲解；2通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法3给出一些函数，提问学生函数是否有界。三、例题分析三、例题分析例 1y sin x的定义域为(,)，值域为1,1。例 2y 1 x的定义域为1,)，值域为0,)。1,x 0例 3设f(x)0,x 0，求f(2)，f(0)和f(2)。1,x 0解f(2)1，f(0)0，f(2)1

6、。注意：注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。四、课堂小结四、课堂小结1.函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则；10 分钟10 分钟10 分钟15 分钟5 分钟-2-2.函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性；师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。思考题、作业题、讨论题：思考题：1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？定义域、对应法则2、两个函数相同的条件有那些？定义域、对应法则都相同时两函数相同2、思考函数的几种特性的几何意义？奇偶性、单调性、周期性、有界性作业题：P10P10：习题：习题 1.11.13 3 4 4课后总结分析

7、：-3-第2 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打7(第四周星期六)第一章、函数与极限2 初等函数、数列的极限理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数；2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。教学方法、手段：以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。教学重点、难点：重点：复合函数；数列的极限；难点：复合函数的判断；数列极限的求解；教学内容及过程设计一、知识回忆板书一、知识回忆板书补 充 内 容和时间分配10 分钟采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。二、讲授新课二、讲授新课

8、15 分钟1.1.基本初等函数课件展示，板书辅助基本初等函数课件展示，板书辅助熟记：熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。板书：结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。15 分钟2.2.复合函数板书给出复合函数板书给出说说 明明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：y ln u，u x2就不能构成复合函数。(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集交集。(3)复合函数的分解从外到内从外到内进行；复合时，则直接代入直接代入消去中间变量即可。强调：强调：在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。复合

9、函数反映了事物联系的复杂性。(10 分钟)3.3.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。说说 明：明：1一般分段函数都不是初等函数，但y x 是初等函数；2初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算4.4.数列的概念数列的概念 课件展示课件展示10 分钟板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。5.5.数列的极限课件展示数列的极限课件展示根据下面的一个例子引出数列极限的概念。15 分钟半径r的圆内接正多边形面积Sn f(n)，n为正多边形的边数，当n越来越大时，Sn就-

10、4-面积为极限。通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极限的概念去解题。1例如：当n 时，ynn收敛于 0；21当n 时，yn1收敛于 1；n当n 时，yn n无极限，发散；1(1)n当n 时，yn时而取 0，时而取 1，震荡无极限，因而也是发散的。2注意：数列极限的收敛性。三、课堂演练三、课堂演练例 1、分解以下复合函数；10 分钟sinx1y x212y e例 2、求以下数列的极限并说明其收敛性；1 111,;1,1,(1)n1,;2 3nn1n11 4,2n,;2,4,6,2,;2 3nn11n(1)n1其通项分别为,(1),2n,。nn四、课堂小结四、

11、课堂小结1、初等函数的结构：由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成；2、数列极限：直观描述，精确定义，几何意义5 分钟3、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的越来越接近圆的面积，当n无限增大时，Sn就无限接近圆的面积。这时，我们说Sn以圆的思考题、作业题、讨论题：思考题：举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？作业题：P10P10：习题：习题 1.11.15 5 6 6课后总结分析：-5-第 3 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.9.29(第五周星期一)第一章 函数与极限3 数列的左右极限理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、

12、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限；2、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。教学方法、手段：讲授法，板书、课件展示。教学重点、难点：重点：函数的极限及函数极限的求法；难点：左极限与右极限。教学内容及过程设计一、复习基本知识数列极限一、复习基本知识数列极限1、数列的概念；2、数列极限的概念；二、讲授新课二、讲授新课引例：引例：函数f(x)1的图形。x补 充 内 容和时间分配10 分钟5 分钟20 分钟10 分钟-6-老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的认识，最后给出极限的定义。1 1、当、当x 时，函数时，函数f(x)的极限课件展

13、示的极限课件展示1函数f(x)当x趋向于无穷记为x 时的极限，记为x熟记熟记lim f(x)A或 当x 时，f(x)A。2函数f(x)当x趋向于正无穷记为x 时的极限，记为x熟记熟记lim f(x)A或 当x 时，f(x)A。3函数f(x)当x趋向于负无穷记为x 时的极限，记为x熟记熟记lim f(x)A或 当x 时，f(x)A。x结论结论lim f(x)A的充分必要条件是lim f(x)A且limf(x)A。xx注：注：x 0,x无限增大时，函数值f(x)1无限接近于0；x1无限接近于0。xx 0,x无限减小时，函数值f(x)2 2、当、当x x0时，函数时，函数f(x)的极限的极限函数f(

14、x)当x趋向于x0时的极限，记作xx0lim f(x)A或f(x)A(x x0)熟记熟记3 3、函数左右极限的概念、函数左右极限的概念函数f(x)当x x0时的左极限，记为limf(x)A；xx0函数f(x)当x x0时的右极限，记为limf(x)A；xx0注：注：左右极限统称为函数f(x)的单侧极限。函数f(x)的极限与左、右极限有以下关系：xx0lim f(x)A的充分必要条件是lim f(x)lim f(x)A。xx0 xx0注：注：我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情况。三、课堂演练三、课堂演练例 1：求以下函数的极限1123x221lim3；2lim(

15、3)；x2x2xx x5x 8x 4x23lim；4lim；2x4x0 x 3 11 1 xx 1,x 0;例 2：试求函数f(x)x2,0 x 1;在x 0和x1处的极限。1,x 1。四、课堂小结师生互动四、课堂小结师生互动1、函数的概念：趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于某一点的极限概念；2、函数的左右极限。3、极限是函数的一个局部性质。15 分钟20 分钟10 分钟-7-思考题、作业题、讨论题：思考题：1、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？作业题：P19P19：习题习题 1.21.21 1 2 2 3 3课后总结分析：-8-第 4 次课学时2

16、上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.10.9(第六周星期四)第一章 函数与极限4 极限的性质极限的运算理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论；2、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：会利用函数极限的运算法则求函数的极限；难点：函数的极限的运算法则。教学内容及过程设计一、复习基础知识函数的极限课件展示一、复习基础知识函数的极限课件展示1、函数在不同情况下的极限的概念；熟记熟记2、函数的左右极限。理解理解二、讲授新课二、讲授新课1

17、1、极限的性质、极限的性质在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：邻域和去心邻域。了解了解开区间x0,x0称为点x0的邻域；开区间x0,x0补 充 内 容和时间分配10 分钟20 分钟20 分钟5 分钟学生消-9-x0,x0称为点x0的去心邻域，其中0。极限的性质：了解了解1惟一性；2有界性；3局部保号性；局部保号性的推论；4夹逼准则。根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对函数的极限有更进一步的认识和理解。2 2、极限的运算、极限的运算熟记熟记1极限的可加减性；2极限的可乘性；3极限的可除性。老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。推论 1常数

18、可以提到极限号前，即limCf(x)Clim f(x)CA。推论 2假设m为正整数，则limf(x)lim f(x)m Am。m注意：注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。三、课堂演练三、课堂演练例 1：求以下函数的极限1limx2x24x 4x24(x h)2 x2；2lim；h0hx232x33x213lim；4lim3；x1x2x5x 3x22例 2：求以下函数的极限1lim(x 8x7)。x122limx23x 2x2 x 2x2。四、课堂小结

19、提问的方式四、课堂小结提问的方式1、极限的性质：惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则；2、极限的运算法则：可加减性，可乘性，可除性。思考题、作业题、讨论题：思考题：化 以 上 所讲的知识。25 分钟10 分钟在某个过程中，假设 f(x)有极限、g(x)无极限，那么 f(x)+g(x)是否有极限？为什么？f(x)-g(x)是否有极限？作业题补充：求以下各极限：1 x 12x3 x2541；lim1lim2；2lim；32xx 3x1x 2x2 x 4xx01 x3x33x22x14lim；5lim3。x1 x24x3xx x22课后总结分析：-10-第 5 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类

20、型请打.11(第六周星期六)第一章 函数与极限5 无穷小量与无穷大量理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；2、掌握无穷小量与无穷大量的关系。教学方法、手段：讲授法，板书。教学重点、难点：重点：无穷小量与无穷大量的概念及它们的关系；难点：无穷小量与无穷大量的关系。教学内容及过程设计一、复习基础知识极限的性质及运算一、复习基础知识极限的性质及运算1、极限的性质2、极限的运算二、新课引入二、新课引入给出一个函数f(x)1的图形，生动形象地讲解此函数的极限是趋向于 0 的，通过讲x补 充 内 容和时间分配10 分钟25 分钟15 分钟-11-解

21、引发学生们的思考，引出无穷小量。三、讲授新课三、讲授新课1 1、无穷小量、无穷小量xx0lim f(x)0为无穷小量；理解理解例如：例如：因为lim x2 0，lim sin x 0，所以x2，sin x均是当x 0时的无穷小。x0 x0因为lim(x 1)0,lim x21 0,所以x1,x21均为当x 1时的无穷小。x1x1因为lim1111均为当x 时的无穷小。0，lim0,所以,xx 1x x 1xx注意：注意：1确定f(x)是无穷小，需指出x的变化趋势；2绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身并不是零。3常数中只有零是无穷小，因为它的极限为零。1例如f(x)是当x

22、 是的无穷小；而当x趋于常数时，不再是无穷小。x12 2、无穷小量的性质、无穷小量的性质理解理解1无穷小的可加性；3有界函数与无穷小的可积性；4常数与无穷小的可积性。老师利用板书通过例题以上面的性质一一进行讲解。25 分钟3 3、无穷大量课件展示、无穷大量课件展示lim f(x)。无穷大量无穷大量xx011例如，例如，是当x 0时的无穷大，记作lim；xx0 x11是当x 1时的无穷大，记作lim；x1x1x 1ex是当x 时的无穷大，记作limex；xlnx是当x 0时的无穷大，记作limln x 。x0老师采用提问的方式对以上的例子进行了讲解，并得出以下注意项。注意：注意：1无穷大不是一个

23、很大的数，它是一个绝对值无限增大的变量。12确定函数f(x)是无穷大，需指出自变量x的变化趋势，例如函数f(x)x当x0时是无穷大；当x 时，是无穷小。5 分钟学生消3无穷大必为无界函数；反之无界函数不一定为无穷大。例如：当x 时，化 以 上 所讲f(x)xsin x是无界函数，但不是无穷大量。的知识。4无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极限的符号，但并不表示极限存在。10 分钟四、课堂小结师生互动四、课堂小结师生互动2无穷小的可积性；1、无穷小的概念；2、无穷小的性质；3、无穷大量的概念。思考题、作业题、讨论题：思考题：怎样利用无穷小进行等价替换？作业题：P23P23：习题：习题 1.3

24、1.33 3 任选任选 3 3 小题小题课后总结分析：-12-第 6 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.10.13(第七周星期一)第一章 函数与极限6 两个重要极限、常见未定式极限理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、了解无论穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量与无穷大量的比较方法；2、正确理解函数的两个重要极限，并会用两个重要极限求函数的极限。3、会利用无穷小大量、重要极限求未定式极限教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：无穷小量与无穷大量的比较方法，函数的两个重要极限，常见未定式极限。难点：无穷小量与无穷大量的比较方法，运用函数的两个重要极限

25、，常见未定式极限；教学内容及过程设计一、复习基本知识无穷小与无穷大课件展示一、复习基本知识无穷小与无穷大课件展示补 充 内 容和时间分配10 分钟1、无穷小量的概念；2、无穷小量的性质；3、无穷大量的概念。二、讲授新课二、讲授新课1 1、无穷小量与无穷大量的关系作图说明、无穷小量与无穷大量的关系作图说明15 分钟结论：结论：在自变量的同一变化过程中注意：在极限符号中省略了自变量的变化趋势，11设f(x)0，假设lim f(x)，则lim 0，反之，假设lim f(x)0，则lim。f(x)f(x)老师利用板书通过例题对上述结论做进一步的讲解，使学生对无穷小与无穷大的关系有进一步的理解。2 2、

26、无穷小量与无穷大量的比较、无穷小量与无穷大量的比较15 分钟结论：结论：1高阶无穷小；2低阶无穷小；3同阶无穷小；通过给出的例题对无穷小与无穷大的比较仔细讲解，使学生正确理解并会利用。(x)(x)定理：如果当x x0时，(x)(x)，(x)(x)，且lim存在，则limxx0(x)xx0(x)(x)(x)lim也存在，且lim。xx0(x)xx0(x)说明：说明：求两个无穷小之比时，分子、分母均可用等价无穷小替代。注意：注意：常见的等价无穷小，当x 0时，有15 分钟学生消1 x)x等。sinx x，tanx x，1cosx x2，ex1 x，ln(2化 以 上 所讲-13-强调：强调：等价无

27、穷小中的x，可用含有x的表达式代替。3 3、两个重要极限列表说明两个重要极限列表说明 熟记熟记sinx1lim1x0 x1 2lim 1 exxx4、未定式极限略三、课堂演练三、课堂演练例 1 求lim1。x1x1例 2利用等价无穷小代换定理求以下函数的极限：1limtan x sin xsin4x；2lim。x0tan2xx0 x2sin x1cosxsin7x。例 4计算lim。2x0 x0 xxx例 3计算lim4 x 1 例 5计算lim 1。例 6计算lim5xxxx 2(x2)。四、课堂小结提问答复四、课堂小结提问答复1、无穷小与无穷大的关系；2、无穷小与无穷大的比较；3、两个重要

28、极限。的知识。25 分钟15 分钟5 分钟思考题、作业题、讨论题：ln1 x21 cos xarcsin2xlimlim作业题 补充：1、求以下函数的极限。1lim；2；3。x0sin2xx0 x2 2xx0e2x1 sin x2、计算以下函数的极限。1lim1xxtan3xcotx；2lim1；3lim13tan x。2x0 x0 x04x课后总结分析：-14-第 7 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.10.16(第七周星期四)第一章 函数与极限7 函数的连续性理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、了解增量的概念，熟练掌握函数的连续性；2、正确理解函数的左右连续性，会

29、利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：函数的连续性以及它的左右连续性；难点：函数的连续性以及函数的左右连续性。教学内容及过程设计一、复习基础知识无穷小与无穷大的关系及比较一、复习基础知识无穷小与无穷大的关系及比较1、无穷小与无穷大的关系；2、无穷小量与无穷大量的比较；3、两个重要极限。二、导入新课二、导入新课通过对给出的两个函数的图象一个是间断的，一个是不间断的进行的讲解，引出函数增量的概念，从而也引出了函数的连续性。三、讲授新课三、讲授新课1 1、增量的概念课件展示、增量的概念课件展示注意：注意：增量u可正可负。当u 0时

30、，说明变量u从数值u1变到数值u2是增加的；当u 0时，说明变量u从数值u1变到数值u2是减少的。称y f(x0 x)f(x0)补 充 内 容和时间分配10 分钟5 分钟10 分钟15 分钟-15-为函数f(x)的增量。2 2、函数连续性的概念课件展示，板书辅助、函数连续性的概念课件展示，板书辅助定义1：假设lim y 0，则称函数y f(x)在点x0处连续，并且称点x0为函数y f(x)x0的连续点。定义 2：假设lim f(x)f(x0)，则称函数y f(x)在x0处连续。xx0根据定义 2 的内容，函数f(x)在点x0连续，需满足如下条件：重点且熟记重点且熟记f(x)在点x0及附近有定义

31、；lim f(x)存在；在xx0lim f(x)f(x0)。xx0续性，并且会利用函数连续性的定义求解函数的连续性。3 3、函数的左右连续性、函数的左右连续性lim f(x)f(x)f(x)f(x0)或假设假设lim，015 分钟xx0 xx0则称函数y f(x)在点x0处左连续或右连续。即limf(x)limf(x)f(x0)。xx0 xx0说明：说明：如果函数f(x)在某一区间上每一点都连续，则称f(x)在该区间上连续，或者说f(x)是该区间上的连续函数。注：注：连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。关于函数的连续性有下面三点结论：三点结论：5 分钟学生消1基本初等函数在它们的定义区间内

32、，都是连续的；化 以 上 所讲2连续函数的和、差、积、商分母不能为0在它的定义区间内，是连续函数；的知识。3由连续函数复合而成的函数，在它的定义区间内是连续函数。三、课堂演练三、课堂演练x 0 x 2例 1 讨论函数y 在x 0的连续性。20 分钟x 2x 0例 2 求lim(2x 1)；x1例 3 求limsin x；x02x2 x0例 4 求lim。xx0 x x0四、课堂小结师生互动四、课堂小结师生互动10 分钟1、函数增量的概念；利用板书给出例题，老师通过例题讲解函数的连续性，使学生们正确掌握函数的连2、函数连续性的概念；3、函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性函数在某一点是否连续

33、。思考题、作业题、讨论题：思考题：1、满足函数连续的条件？作业题：；习题 1.5 P37P37：1任选 2 小题 2课后总结分析：-16-第 8 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打0(第八周星期一)第一章 函数与极限8 闭区间上连续函数的性质及本章小结理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、掌握闭区间上连续函数的性质及应用2、带领学生复习本章所学的知识中，稳固学生对本章知识的理解和运用。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：闭区间上连续函数的性质及应用以及本章所学的知识点；难点：闭区间上连续函数的性质及应用以及会运用本章所学的知识点。教学内容及过程设计补 充

34、 内 容和时间分配25 分钟10 分钟15 分钟25 分钟-17-一、闭区间上连续函数的性质一、闭区间上连续函数的性质定理：定理：例题：课堂练习：P39P39：习题 1.61 2 3二、基本概念二、基本概念1、函数的定义；2、基本初等函数；3、复合函数；4、初等函数；5、数列的极限；6、函数的极限；7、函数的左右极限；8、函数的连续性；9、函数的左右连续性。三、基本性质和方法三、基本性质和方法1、函数的二要素：定义域，对应法则；判断两个函数的相等性2、函数的四种特性3、函数极限的性质；4、无穷小量与无穷大量的关系；5、无穷小的比较；6、函数极限的运算；7、两个重要极限。四、例题讲解四、例题讲解

35、例 1 求函数y 12x 4的定义域。例 2、将以下复合函数进行分解。1y sin2x；2y cosx2。x 1,x 0;例 3 试求函数f(x)x2,0 x 1;在x 0和x1处的极限。1,x 1。例 4求lim(x 8x7)。x12例 5求lim4x23x 16x 4x12x2。例 6计算limtan3x。x04x1xx例 7计算lim1。2x0五、课堂演练五、课堂演练例 1 确定函数f(x)3 2x x2ln(x2)的定义域。例 2 求函数y u与u 1 x2的复合函数。1,x 0例 3 设f(x)0,x 0，求f(2)，f(0)和f(2)。1,x 015 分钟例 4求以下各极限：1 x

36、3x33x22x12x3 x251lim；2lim3；3lim2。x1 x24x3xx x22xx 3x14lim x24 x2 41 x 11cosx1limlim；5。6。2x 2xx0 x0 x x 1 7limxx 2(x2)。思考题、作业题、讨论题：作业题：课后总结分析：-18-第 9 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.10.23(第八周星期四)第二章 导数与微分1 导数的概念1理论研讨课习题课复习课其他教学目的：1、正确理解导数、左右导数的概念；2、掌握通过左右导数的方法求函数的导数。教学方法、手段：讲授法，板书。教学重点、难点：重点：导数的概念；难点：会利用左

37、右导数求函数在某一点的导数。教学内容及过程设计补 充 内 容和时间分配一、引入新课一、引入新课15 分钟引入匀变速运动的例子课件展示。提问：路程s和时间t之间的函数关系，在数学中该如何描述。小结：实质上就是路程在某一时刻的变化率，即函数增量与自变量增量比值的极限，这种特殊的极限就是函数的导数。总结解决此例题的步骤如下：1求增量：2定比值：3取极限：强调：上述步骤是函数求导的基本方法，需要学生掌握。二、讲授新课二、讲授新课1 1、导数的概念、导数的概念通过以上对讲解，给出导数的概念。注意：20 分钟f(x0 x)f(x0)1导数的常见形式还有：f(x0)lim；x0 xf(x0 h)f(x0)f

38、(x0)lim；h0hf(x0)f(x0 h)f(x0)lim；h 即自变量的增量h0hx-19-2dyy反映的是曲线在x0,x上的平均变化率，而f(x)dxxxx0是在点x0的变化率，它反映了函数y f(x)随x x0而变化的快慢程度。3 这里dydxxx0与dfdxxx0中的dydf与是一个整体记号，而不能视为分子dy或dxdxdf与分母dx。4 假设极限lim特别地，如果函数f(x)在开区间D内的每一点x处都可导，就称函数f(x)在开区间D内可导，其导数一般是x的函数，这个函数称为原来函数y f(x)的导函数，简称导数，记为y、f(x)、f(x)f(x0)y即lim不存在，就称y f(x

39、)在x x0点不可导。x0 xxx0 x x0dydf(x)或。dxdx如果将上面式子中的x0换成x，即得到导函数的定义式为f(x)limf(x x)f(x)xx0或f(x)limh0f(x h)f(x)h说明：1上式中，虽然x可以取开区间D内的任何数值，但在求极限的过程中，x被当作常量，x或h是变量。2在没有特别说明的情况下，导数指的是导函数。如果给出了具体的点，导数指的是该点的导数值。显然，函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x x0处的函数值，即f(x0)f(x)xx。0以后，如果求函数f(x)在点x0处的导数，就用先求导函数f(x)，再将点x x0代入f(x)。

40、2 2、左右导数的概念单侧导数、左右导数的概念单侧导数从导数的定义中可知，函数f(x)在点x0处的导数f(x0)是一个极限。提问：函数的连续有左连续和右连续，那么函数的导数的左导数和右导数吗？结论：(x0)及把相应的左、右极限分别称为函数f(x)在点x0处的左导数和右导数，记做f(x0)，即f(x0)limfx0f(x0 x)f(x0)2-6xf(x0 x)f(x0)2-7x(x0)limfx0说明：函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是f(x)在点x0处的左导数和右导数都10 分钟20 分钟-20-存在且相等。这里需要强调的是函数的左右导数是用来判断函数在某一点是否可导的。三、课堂演练三

41、、课堂演练练习题：1、根据导数的定义，求常值函数f(x)CC是常数的导数f(x)。2、根据导数定义，求函数f(x)x2在x 2处的导数f(2)。x1xf(x)3、讨论函数在x 1处的可导性。x 1x 1四、课堂小结四、课堂小结本次课程的内容有：导数的定义；导数的几种不同的表达形式；左、右导数；15 分钟10 分钟思考题、作业题、讨论题：作业题：必做题：P50P503 3、4 4课后总结分析：-21-第 10 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打0.27(第九周星期一)第二章 导数与微分1 导数的概念22函数求导法则1理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、掌握通过导数的几何意义求函数

42、在某一点的切线法线方程；2、掌握导数的定义求导法则，熟练掌握导数的四则运算法则。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：导数的定义求导，导数的四则运算；难点：利用导数的几何意义求函数在某一点的切线法线方程。教学内容及过程设计补 充 内 容和时间分配一、课前复习一、课前复习10 分钟由于本次所讲的内容是上次课程内容的延伸，上次内容的掌握程度影响到本次课程的讲授，以提问的形式考察学生对于导数概念的理解以及导数定义公式的掌握。二、讲授新课二、讲授新课1 1、导数的几何意义、导数的几何意义20 分钟引入实例，切线问题的求解，侧面讲解导数的几何意义。课件展示由切线问题的讨论和导数的

43、定义知，函数y f(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线y f(x)在点M0(x0,y0)处的切线的斜率。过切点M0(x0,y0)且垂直于切线的直线叫做曲线y f(x)在点M0(x0,y0)处的法线。如果f(x0)存在，则曲线y f(x)在M0(x0,y0)处的切线方程为y f(x0)f(x0)(x x0)；曲线y f(x)在点M0(x0,y0)处的法线方程为1y f(x0)(x x0)，(f(x0)0)。f(x0)注意：当f(x0)=0 时，切线方程为平行于x轴的直线y f(x0)，法线方程为垂直于x轴的直线x x0；当f(x0)时，切线为垂直于x轴的直线x x0，法线为平行于x轴

44、的直线y f(x0)。2 2、按定义求导数、按定义求导数15 分钟在上节课我们学习了导数的概念，那么谁知道按照定义怎样求函数的导数呀？学生们相互讨论，老师启发学生们思考，最后给出正确的结论。求y f(x)的导数y的一般步骤如下：1求增量：y fx x fx；2算比值；-22-说明：按定义求导数是这节课的重点，需要学生们会运用“三步骤”。3 3、导数的四则运算法则、导数的四则运算法则15 分钟1 设u u(x)和v v(x)都在点x处可导，则u v也在x处可导，且(u v)uv。2 设u u(x)和v v(x)都在点x处可导，则uv也在x处可导，且(u v)uv uv。推论：(cu)cuc为常数

45、。注意：以上两个法则可推广到有限个函数的情形。u3设u u(x)和v v(x)都在点x处可导，v(x)0,则也在点x处可导，且vu uv uv。2vvvu u1注：2；uv uv,。vvvv三、课堂演练课堂演练20 分钟练习题：2(1,1)1、求抛物线y x在点处的切线方程和法线方程。2、求函数y logax(a 0且a 1)的导数。3、求y xn(n N)的导数。4、求以下函数的导数。12(1)y 2x ln2；(2)y sin x x；xxe1(3)y tan x；(4)y；(5)y。2ln x1 x点评：练习的目的是为了加深学生对于本次课程知识的理解，加强学生对于知识点的解题应用。四、课

46、堂小结四、课堂小结10 分钟本节课的内容有：导数的几何意义；按定义求导数；导数的四则运算法则。3取极限limy。x0 x思考题、作业题、讨论题：作业布置：P55:1任选 2 小题、2任选 2 小题课后总结分析：-23-第 11 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打0.30(第九周星期四)第二章 导数与微分2函数求导法则23 特殊函数求导法则及高阶导数1理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、掌握利用复合函数的求导法则求函数的导数；2、正确理解隐函数的定义，掌握隐函数的求导法则。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：复合函数的求导法则；难点：利用隐函数的求导法则

47、求函数的导数。教学内容及过程设计一、课前复习一、课前复习提问的形式复习复合函数的概念及复合函数的分解方法，以此考察学生对复合函数所学知识点的掌握程度。设计意图：看学生对复合函数的理解程度，加以总结分析，为复合函数的求导法则做铺垫。二、讲授新课二、讲授新课1 1、复合函数求导法则、复合函数求导法则复合函数的求导法则：设u(x)在x可导，函数y f(u)在相应的点u可导，则复合dydydu函数y f(x)在x处也可导，且f(x)f(u)(x)或。dxdudx补 充 内 容和时间分配10 分钟15 分钟20 分钟-24-说明：应用复合函数求导时，首先要分析由哪些函数复合而成，如果所给函数能分解成比较

48、简单的函数，而这些函数的导数易求，那么应用复合函数的求导法则就可以求出所给函数的导数。注意：区别复合函数的求导与函数乘积的求导。设计意图：通过讲练结合，让同学们有一个理解求导法则的过程。2 2、隐函数的定义、隐函数的定义课件展示：隐函数的定义。板书：给出几个函数，让学生们判断哪些函数是显函数哪些是隐函数。说明：有些隐函数可以变换为显函数，例如2x 2y 5 0，可化为y x数则很难化为显函数，如sin(x y)ey。说明：要想直接计算隐函数的导数，需要找出隐函数求导的方法。下面就讲解隐患函数的求导法则。5；但有些隐函23 3、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则通过以上学生们对显函数及隐函数定义

49、的学习，对它们的形式已经基本上掌握了，但是要想计算隐函数的导数，还是需要找出隐函数的求导法则。如下：求方程F(x,y)0确定的隐函数的导数y，只要将方程中的y看作是x的函数，利用复合函数的求导法则，在方程两边同时对x求导，就可得到一个关于y的方程，然后从中解出y即可。设计思路：讲解教材例题，加强同学们对隐函数求导法则的理解。三、课堂演练三、课堂演练练习题：1、设y lnsin x，求y。2、设y sin32x，求y。3、求由方程xy ln(x y)所确定的隐函数的导数y。4、求由方程y5 2y x 3x7 0所确定的隐函数在x 0处的导数y点评：练习题考察的是隐函数的求导法则，以及符合函数的求

50、导。四、课堂小结四、课堂小结本次课程的内容有：复合函数的求导法则；隐函数；隐函数求导法则。思考题、作业题、讨论题：作业题：P553任选 2 小题、4任选 2 小题P611任选 1 题课后总结分析：x0。20 分钟20 分钟5 分钟-25-第 12 次课学时2上课时间授课题目章，节授课类型请打2014.11.3(第十周星期一)第二章 导数与微分3 特殊函数求导法则及高阶导数2理论课研讨课习题课复习课其他教学目的：1、正确理解对数函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式；2、掌握函数的二阶导数以及简单函数的n 阶导数。教学方法、手段：讲练结合，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：基本初等函