初二升初三暑假班课件.pdf

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1、第一讲辅助线的基本模型人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。一.添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90。；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可

2、循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线

3、得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。

4、当儿何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：相似三角形 有 平 行 线 型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线 上 时（中 点 可 看 成 比 为 1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（8）特殊角直角三角形当 出 现 30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角 形，利 用 45角直角三角 形 三 边 比 为 1：1：“2；30度角直角三角

5、形三边 比 为 1：2：也 进行证明二.基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方 法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。方 法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。方法4：结论是一条线段与另-条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一

6、条线段，而另一部分等于第二条线段。2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

7、.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。(9)作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一-的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。三角形中作

8、辅助线的常用方法举例-、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或儿个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1：已知如图1-1：D、E为AABC内两点，求证:AB+AOBD+DE+CE.证明：(法 一)将DE两边延长分别交AB、A C于M、N,在4AMN 中，AM+AN MD+DE+NE;(1)在4BDM 中，MB+MDBD；(2)在4CEN 中，CN+NECE；(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.*.AB+AOBD+DE+EC(法二：)如 图1-2,

9、延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在AABF和AGFC和GDE中有:AB+AF BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）G F+FO G E+CE（同上）DG+GEDE（同上）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAAB+AOBD+DE+ECo二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为AABC内的任一点，求证：ZBDOZBACo函：因为NBDC与NB

10、AC不在同一个三角形中，没有直 入接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使NBDC 夕/：处于在外角的位置，NBAC处于在内角的位置；证法一：延长BD交 AC于点E,这时NBDC是AEDC的 外B r,f/.Z B D O Z D E C,同理NDEONBAC,/.Z B D O Z B A C证法二：连接A D,并延长交BC于 FZBDF是4ABD的外角/.Z B D F Z B A D,同理，ZCDFZCAD/.ZBDF+ZCDF ZBAD+ZCAD即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不

11、等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如 图3-1：已知AD为AABC的中线，且N1=N2,N 3=N 4,求证：BE+CFEFo分析：要 证BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明，须 把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知Z1=Z2,Z3=Z 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN,FN,EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取DN=D B,连 接NE,N F,则DN=DC,在aDBE和ADNE中：D N =辅助线的作法）Zl=N2（已知）ED=&）（公共边）/.DBEADNE（SAS）/.BE=NE

12、（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在AEFN中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）/.BE+CFEFo注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图4-1：AD为AABC的中线，且N 1=N 2,N 3=N 4,求证：BE+CFEF证明：延长ED至M,使 DM=DE,连接CM,MFo 在BDE 和ACDM 中，8。=CD（中点的定义）V Zl=/COM（对顶角相等）ED=朋。（辅助线的作法）/.BDEACDM（SAS）又.N1=N2,

13、N3=N4（已知）Z l+Z 2+Z 3+Z4=180（平角的定义）.*.Z3+Z2=90o,即：ZEDF=90；.NFDM=NEDF=90在AEDF和AMDF中ED=MD（辅助线的作法）,*NEDF=/阳”（已证）DF=。尸（公共边）/.EDFAMDF（SAS）.EF=MF（全等三角形对应边相等）在ACMF中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）/.BE+CFEF注：上题也可加倍F D,证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1：AD为AABC的中线

14、，求证：AB+AC2ADo分析：要 证 AB+A O 2 A D,由图想到：AB+BDAD,AC+C D A D,所以W AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,左边比要证结论多B D+C D,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2A D,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E,使 DE=AD,连接BE,则 AE=2AD.AD为aABC的中线（已知），BD=CD（中线定义）在AACD和4EBD中BD=CZ）（已证）-Z ADC=/瓦石（对顶角相等）图 5-1=（辅助线的作法）.,.ACDAEBD（SAS），BE=CA（全等三角形对应边相等）.在AABE中有：

15、AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）/.AB+AC2ADo（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC,AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2,求证EF=2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在AABC中，ABAC,N1=N2,P 为 AD上任一点。求证：A B-A O P B-P C,架分析：要证：A B-A O P B-P C,想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB AC,B 图6-1故可在AB上截取AN等于A C,得 ABAC=B N,再连接P N,

16、则 PC=PN,又在APNB 中，P B-P N B N,即：A B-A O PB-PC o证明：（截长法）在 AB上截取AN=AC连接P N,在AAPN和AAPC中ZN=/C（辅助线的作法）,Zl=N2（已知）/P=/P（公共边）/.APNAAPC（SAS），PC=PN（全等三角形对应边相等）.在ABPN中，有 PB PNVBN（三角形两边之差小于第三边）/.BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）A A B-A O PB-PC o七、延长已知边构造三角形：例如：如 图7-1：已知AC=BD,BC_LBD于B,求证：AD=BC分析：欲 证AD=BC,先证分别含有AD,BC的三角形全等

17、，有儿种方案：AADC与ABCD,AAOD与ABOC,AABD与ABAC,但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E点,VAD1AC BC1BD（已知）NCAE=NDBE=90（垂直的定义）在ADBE与4CAE中ZE=NE（公共角）,*ADBE=（已证）BD=4C（已知）.,.DBEACAE(AAS)，ED=EC EB=EA(全等三角形对应边相等).*.ED-EA=EC-EB即：AD=BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为

18、三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD,AD/7BC,求证：AB=CDO分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连 接AC（或BD）.ABCD ADBC（已知）/.Z 1 =Z2,N3=N4在AABC与ZkCDA中Z1=/2（已证）二 AC=C4（公共边）Z3=/4（已证）（两直线平行,内错角相等）/.ABCACDA（ASA）.AB=CD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtAABC 中，AB=AC,ZBAC=90,N1=N2,CEBD的延长于E,求证：BD=2CE,.ZBEF=ZBEC

19、=90（垂直的定义）在ABEF与ABEC中,Z1=/2（已知）B E=BE（公共边）N B E F=Z8EC（已证）AABEFABEC（ASA）.*.CE=FE=-CF（全等三角形对应边相等）2Z BAC=90 BE1CF（已知），ZBAC=ZCAF=90 Z 1 +ZBDA=9O0Z1+NBFC=90，NBDA=NBFC在aABD与aACF中=（已证）ABDA=NMC（已证）N 8=/C（已知）.,.ABDAACF（AAS）/.BD=CF（全等三角形对应边相等）/.BD=2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如 图10-1;AC、BD相交于。点，且AB=DC,A C=BD,求证:

20、NA=ND。分析：要证N A=N D,可证它们所在的三角形AABO和）全等，而只有AB=D C 和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB=DC,AC=B D,若连接B C,则AABC和4DCB全等，所以，证得N A=N D。证明：连接B C,在AABC和4DCB中AB=OC（已知）A C =己知）B C=C8（公共边）图 10-1/.ABCADCB（SSS）/.Z A=Z D （全等三角形对应边相等）十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：AB=DC,NA=ND 求证：ZABC=ZDCBO分析：由AB=DC,Z A=Z D,想到如取AD的中点N

21、,连接NB,N C,再由SAS 公理有AABN D C N,故 BN=CN,NABN=NDCN。下面只需证NNBC=N N C B,再取BC的中点M,连接M N,则由SSS公理有 NBMgZNCM,所以NNBC=ZNCBo问题得证。证明：WAD,BC的中点N、M,连接NB,NM,NCo 则 AN=DN,BM=CM,在 AABN 和 DCN 中：A N =（辅助线的作法）AC,AD为NBAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC4.已知：D是AABC的NBAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DCo 求证：BD+CDAB+ACo（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分

22、线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1.如 图 2-1,已知 ABAD,Z BAC=ZFAC,CD=BCo求证：ZADC+ZB=180分析:可由C向NBAD的两边作垂线。近而证NADC与N B之和为平角。例2.如图 2-2,在AABC 中，ZA=90,AB=AC,ZABD=ZCBDo求证：BC=AB+AD分析：过D作DEJ_BC于E,贝lj AD=DE=CE,贝U构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3.已知如图2-3,AABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：ZBAC的平分线也经过点Po分析：连接A

23、 P,证 AP平分NBAC即可，也就是证P 到AB、AC的距离相等。B练习:1.如图 2-4NAOP=NBOP=15,PC/OA,PD10A,如果PC=4,贝 I PD=()A 4 B 3 C 2 D 12.已知在AABC 中，ZC=90,AD 平分NCAB,CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3.已知：如图 2-5,NBAC=NCAD,ABAD,CEAB,AE=2(AB+AD).求证：ZD+ZB=180。4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E 为 C D 的中点，F 为 B C 上的点,ZFAE=ZDAEo 求iiE：AF=AD+CF。5.已知：如 图2-7,在RQABC中，ZACB

24、=90,C D 1A B,垂足为D,AE平分NCAB交CD于F,过F作FH/AB交BC于H。求 证CF=BH。图2-7（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例L 已知：如图 3-1,ZBAD=ZDAC,ABAC,CD1AD 于 D,H 是 BC中点。求证：DH=1（AB-AC）分析：延 长CD交AB于 点E,则可得全等三角形。问题可证。例2.已知：如

25、图 3-2,AB=AC,NBAC=90,AD 为NABC的平分线，CELBE.求证：BD=2CEo分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3.已知：如图3-3在4ABC中，AD、AE分别NBAC的内、外角平分线,过顶点B 作 BFAD,交 AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于Mo求证：AM=MEo分析：由 AD、A E是NBAC内外角平分线，可得E A A F,从而有BF A E,所以想到利用比例线段证相等。例4.已知：如图 3-4,在aABC 中，AD 平分NBAC,AD=AB,CMAD交 AD延长线于M。求证：AM=；

26、(AB+AC)分析:题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作AABD关于A D 的对称AA E D,然后只需证DM=；E C,另外由求证的结果AM=-(AB+AC),即2AM=AB+AC,2也可尝试作aACM关于CM的对称aFCM,然后只需证 DF=CF即可。练习：1.已知：在AABC 中，AB=5,AC=3,D 是 BC 中点，AE 是NBAC 的平分线，且 CEJ_AE于E,连接D E,求 DE。2.已知BE、BF分别是AABC的NABC的内角与外角的平分线，AFBF于 F,AE_LBE于 E,连接EF分别交AB、AC于 M、N,求证MN=3BC(四)、以角分线上一点做角

27、的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如 图4-1和 图4-2所示。图4-1图4-2例 1 如图，ABAC,N 1=N 2,求证：AB-ACBD-CDo例 2 如图，BOBA,BD 平分N A B C,且 AD=CD,求证：ZA+ZC=180o例 3 如图,ABCD,AE、DE 分别平分ZBAD各 ZADE,求证:AD=AB+CD。练习：1.已知，如图，ZC=2ZA,AC=2BCo求证：ZkABC是直角三角形。2.已知：如图，AB=2AC,Z1=Z2,DA=D

28、B,求证：DCAC3.已知CE、AD是aABC的角平分线，ZB=60,求证：AC=AE+CD4.已知：如图在AABC中，ZA=90,AB=AC,BD是NABC的平分线,求证：BC=AB+ADCB三由线段利差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办

29、法放在一个三角形中证明。一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如:例1、已知如图1-1：D、E为AABC内两点，求证:AB+AOBD+DE+CE.证明：(法一)将DE两边延长分别交AB、AC于M、N,在AAMN 中，AM+ANMD+DE+NE;(1)在中，MB+MDBD；(2)在ACEN 中，CN+NECE；(3)由(1)+(2)+(3)得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE.,.AB+AOBD+DE+EC(法二：图 1-2)延长BD交AC于

30、F,廷 长CE交BF于G,在ZkABFIIAGFC 和AGDE 中有：AB+AFBD+DG+GF(三角形两边之和大于第三边）GF+FOGE+CE（同上）（2）DG+GEDE（同上）（3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE：AB+ACBD+DE+EC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如:如图2-1：已知D为A A B C内的任一点,求证:ZB D OZB A C o分析：因为NB

31、DC与NBAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使NBDC处于在外角的位置，NBAC处于在内角的位置；证法一：延 长BD交AC于点E,这时NBDC是aE D C的外角，/.Z B D O Z D E C,同理NDEONBAC,/.ZBDOZBAC证法二：连 接A D,并廷长交BC于F,这时NBDF是4A B D的外角，NBDFNBAD,同理，ZCDFZCAD,A ZBDF+Z CDFZ BAD+Z CAD,即：ZBDOZBACo注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有

32、角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形,如：例如:如图3-1：已知A D为A A B C的中线,且Nl =/2,N3=/4,求证:BE+CF EFo画：要 证BE+CFEF,可利用三角形三边关系定理证明，须 把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知N1=N2,N 3=N 4,可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中。证明：在DN上截取DN=DB,连 接NE,N F,贝U DN=DC,在aD B E和4N D E中：DN=DB（辅助线作法）Z1=Z2（已知）ED=ED（公共边）/.DBEANDE（SAS），BE=NE（全等三

33、角形对应边相等）同理可得：CF=NF在4E FN 中EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）/.BE+CFEFo注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、截长补短法作辅助线。例如：已知如图6-1：在AABC中，ABAC,Z1=Z2,P 为AD上任一点求证:AB-ACPB-PCo碰：要证：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB上截取AN等于A C,得 AB-AC=BN,再连接P N,则 PC=PN,又在PNB 中，P

34、B-PNPB-PCo证明：（截长法）在 AB上截取AN=AC连接PN,在aA PN 和aA PC 中rAN=AC（辅助线作法）1Z1=Z2（已知）AP=AP（公共边）/.APNAAPC（SAS）,.PC=PN（全等三角形对应边相等）.在BPN中，有 PB-PNBN（三角形两边之差小于第三边）.,.BP-PCPM-PC（三角形两边之差小于第三边）AAB-AOPB-PCo例 1.如图,AC 平分 N BAD,CE _L AB,且 NB+ND=180。,求证:AE=AD+BE。例2如图，在四边形ABCD中,AC平分NBAD,CE J_ AB于E,AD+AB=2AE，求证：ZADC+ZB=180例 3

35、 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,A=108,BD平分/A B C。求证：BC-AB+DCo例 4 如图，已知RtZABC中，NACB=90。，AD是NCAB的平分线，DM_LAB 于 M,且 AM=MB。求证：CD=5DB。1.如图，ABCD,AE、DE 分别平分NBAD 各NADE,求证：AD=AB+CD。2.如图，AABC中，ZBAC=90,AB=AC,AE是 过A的一条直线，且B,C在AE的异侧，BD_LAE 于 D,CELAE 于 E。求证：BD=DE+C四由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三

36、角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即 如 图1,AD是AABC的中线，则SAABD=SAACD=2SAABC（因 为AABD与 ACD是等底同高的）。例1 .如 图2,AABC中，AD是中线，延 长AD到E,使DE=AD,DF是ADCE的中线。已知AABC的面积为2,求：ACDF的面积。解：因为AD是AABC的中线，所以SAACD=|SAABC=：、2=1,又因CD是AACE的中线，故 SACDE=SAACD=1

37、，因 DF 是 ACDE 的中线，所以 SACDF=1 SACDE=：X1=：。.CDF的面积为:。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例 2.如图3,在四边形ABCD中，AB=CD,E、F 分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H o 求证：NBGE=NCHE。证明：连结B D,并取BD的中点为M,连结ME、MF,ME是ABCD的中位线，/.ME;CD,/.ZMEF=ZCHE,MF是 AABD的中位线，MF 2AB,.ZMFE=ZBGE,2VAB=CD,.ME=MF,A ZMEF=ZMFE,从而 NBGE=NCHE。（三）、由中线应想到延长中线例 3.图4,已知A

38、ABC中，AB=5,AC=3,连 BC上的中线AD=2,求 BC的长。解：延长 AD 到 E,使 DE=AD,则 AE=2AD=2x2=4。在 AACD和 AEBD中，VAD=ED,ZADC=ZEDB,CD=BD,/.AACDAEBD,/.AC=BE,从而 BE=AC=3o在 AABE 中，因 AE?+BE2=42+32=25=A B2,故 NE=90。，:.BD=J 2+Q&2$2 +22=|5 I，故 BC=2BD=2|7H|。例 4.如图5,已知AABC中，AD是NBAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：AABC是等腰三角形。证明：延长AD到E,使 DE=AD。A仿例3 可证：/f

39、 ABED ACAD,；I故 EB=AC,ZE=Z2,又N1=N2,图 与/.Z1=ZE,，AB=EB,从而AB=AC,即AABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例 5.如 图 6,已知梯形ABCD中，AB/DC,ACBC,A D B D,求证:AC=BDo证明：取 AB的中点E,连结DE、C E,则DE、CE分别为RtAABD,RtAABC斜边AB上的中线，故 DE=CE=!|jAB,因此NCDE=NDCE。VAB/DC,/X 7/.ZCDE=Z1,ZDCE=Z2,/?N iN 1=N2，留 6在 AADE和 ABCE中，VDE=CE,Z1=Z2,AE=BE,.ADE义ABCE

40、,，AD=BC,从而梯形ABCD是等腰梯形，因 止 匕 AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例 6.如图7,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90。，BD平分NABC交AC于点D,CE垂直于B D,交 BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。证明：延长BA,CE交于点F,在 ABEF和 ABEC中，B.VZ1=Z2,BE=BE,ZBEF=ZBEC=90,K用7AABEFABEC,，EF=EC,从而 CF=2CE。又Nl+NF=N3+NF=90。，故N1=N3。在 AABD 和 AACF 中，VZ1=Z3,AB=AC,/BAD=NCAF=90,AAABDAACF,A

41、 BD=CF,，BD=2CE。注：止匕例中BE是等腰ABCF的底边CF的中线。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一:如图 4-1：AD 为4ABC 的中线，且N1=N2,N3=N4,求证:BE+CFEF。证明：廷长ED至M,使 DM=DE,连接CM,MFo 在4BDE 和 ACDM 中，r BD=CD（中点定义）1 Z1=Z5（对顶角相等）ED=MD（辅助线作法）/.BDEACDM（SAS）又Z3=Z4（已知）Nl+N2+N3+N4=180。（平角的定义）:.Z3+Z2=90即：NEDF=90

42、:.ZFDM=ZEDF=90EAEDF 和aNIDF 中ED=MD（辅助线作法）NEDF=NFDM（已证）DF=DF（公共边）/.EDFAMDF（SAS）.*.EF=MF（全等三角形对应边相等）,在aC M F中，CF+CMMF（三角形两边之和大于第三边）.BE+CFEF上题也可加倍F D,证法同上。逅：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。例二：如图5-1：AD为AABC的中线，求证：AB+AC2ADo分析：要 证 AB+AO2AD,由图想至lj：AB+BDAD,AC+CDAD,所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,左边比要

43、证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2A D,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明：延长AD至 E,使 DE=AD,连接BE,CE;A D 为AABC的中线（已知）/.BD=CD（中线定义）/I在4ACD 和AEBD 中 /B /BD=CD（已证）Z1=Z2（对顶角相等）、AD=ED（辅助线作法）图5-/.ACDAEBD（SAS）/.BE=CA（全等三角形对应边相等）.在4A B E中有：AB+BEAE（三角形两边之和大于第三边）.*.AB+AC2ADo练习：1 如图，AB=6,AC=8,D 为B C 的中点，求 AD的取值范围。2 如图，AB=CD,E

44、 为 BC 的中点，ZBAC=ZBCA,求证：AD=2AE。BECD3 如图，AB=AC,AD=AE,M 为 BE 中点，ZBAC=ZDAE=90o 求证:AMDCo4,已知aABC,AD是 BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2,求证EF=2AD。FB D C图5-2D C第三讲相似的基本定义及相关模型第四讲相似的经典题型及解题技巧第五讲动点问题及相似的辅助线20.如图，在直角坐标系中，A 点坐标为（8,0）,B点坐标为（0,6）,动点P 以每秒2 个单位长度的速度从点B 出发，沿 BA向点A 移动，同时动点Q 以每秒1 个单位的速度从点A 出发，沿

45、AO 向点O 移动，设 P、Q 移动t 秒（0t 5）.（1 ）求 AB的长；（2）若四边形BPQO的面积与aAPQ的面积之比为17：3,求t 的值（3）在 PQ两点移动的过程中，能否使aAPQ与AOB相似？若能，求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由.1如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与aABC相似的是（）CBA B C D2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标(8,0),8点的坐标(0,6),点C是线段Z 8的中点。请问在x轴上是否存在一点尸，使得以尸、4 C为顶点的三角形与M OB相似，若存在写出P点的坐标(写出计算的过程);若不存在，说明理由.3如图，等腰直角

46、A48c腰长为a,现分别按图1、图2方式在A 48c内接一个正方 形 庄:和 正 方 形 设 正 方 形ZOEE的面积为S,正方形PMN0的面积为 S 2,则 B：S2=.4如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标(8,0),B点的坐标(0,6),点C是线段Z 8的中点。请问在x轴上是否存在一点P,使得以尸、4 C为顶点的三角形与A4Q8相似，若存在写出。点的坐标(写出计算的过程);若不存在，说明理由.5如图，梯形ABCD中，ABCD,点尸在6 c上，连。尸与48的延长线交与点G.(1)求证：CDF BGF,(2)当F是8 C的中点时，过尸作EFCD交4 D 于点 E,AB=6 c m,EF=4

47、c m,求 CD 的EDBG长.6在平面直角坐标系中有一个正方形0 Z C 8,点4坐标为(4,0),“、N分别是0 4 Z C 上的两个动点，当M点在0 4 上运动时，一直保持8/和MN垂直.(1)证明：R tB O M R tkM A N ；(2)设0M=x,梯形8 0/N 的面积为y,求歹与x 之间的函数关系式；(3)当 点/点 运 动 到 什 么 位 置 时 求 x 的值，并求出此时点N的坐标.在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例 1

48、.如图，A 4 8 c 的 AB边和AC边 上 各 取 点 D 和 E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF BDCFCEB证明：过点C 作 CG/FD交 A B于 G小结：本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。例 2.如图，ABC中，ABC(I)DC 2又R tM EC s Rt/BAC 又:EC=1：.A C2=CE BC=BC(2)由(1)(2)得，AC=-A C4：.A C =22小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC中 点 M,构造AAM C与AO 8C相似是解题关键综合练习题I、在

49、AABC中，D 为 AC上的一点，E为 CB延长线上的一点，BE=AD,DE交 AB于 F。求证：EFXBC=ACXDF2、中，Z A C B =9 0,AC=BC,P是 AB上一点，Q 是 PC上 一 点（不是中点），MN 过 Q 且 M N LC P,交 AC、BC 于 M、N,求证：P A:P B =C M :C N。3、.如 图，A 4 8 c中，A B =AC,B D 1A C,那么8 c?=2 0 .CD吗？试 说 明 理 由？（用三种解法）A1、证明:过 D作 DGBC 交 AB于 G,则4DFG 和 AEFB 相似,二 空=变 VBE=AD,：.-=BE由DG BC可得4ADG

50、和AACB相 似,.也=任BC ACEF.DG BC 而 一 就AD EF由得,rp=AEFX BC=AC X DFEF AC2、证明:过 P 作 PEJ_AC 于 E,PFLCB 于 F,则 CEPF 为矩形，PF,EC：4 =NB=45RtAEP s RtkPFB：.AP:PB=PE:PF：EC=PFPA PE PE 八、一-(1)在PB PF EC C P和 ACW 中：CPLMN 于 Q，N0CN+NQNC=9O 又：pp prZQCN+NQCM=90 NMCQ=ZCNQ：.RtAPEC s RtAMCN：.6=布即空=生由得丝=生EC CNPB CN3、方法一：如 图（1）,设BC中