二次根式 全章教案.pdf

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1、数学学科 八 年级第 23 章 二次根式主备人：审核人：备课时间学习目标授课时间1.理解二次根式的概念，并利用(a0)的意义解答具体题目2。提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题3.经历小组合作的学习过程，体验探究的乐趣,树立良好的学习意识和价值观。形如(a0)的式子叫做二次根式的概念；利用“（a0）解决具体问题复习引入复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题 1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_问题 2：如图,在直角三角形 ABC 中,AC=3，BC=1，C=90，那么 AB 边的长是_问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下

2、：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S，那么 S=_2重点难点预习导引学生：疑惑的问题透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力实现三维目标问题导学典探索新知探索新知很明显、，都是一些正数的算术平方根像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式因此，一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，“称为二次根号教师：课堂教学的方法、手段学生：理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生：理解提升题训练（学生活动)议一议:1-1 有算术平方根吗?实现三维目标 20 的算术平方根是多少?3

3、当 a0,有意义吗？例例 1 1下列式子，哪些是二次根式,哪些不是二次根式：、（x0）、（x0,y0)分析分析:二次根式应满足两个条件：第一,有二次根号“；第二，被开方数是正数或0例例 2 2当 x 是多少时，在实数范围内有意义？分析分析:由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以 3x10，才能有意义解：由 3x10,得：x当 x时，在实数范围内有意义三、巩固练习三、巩固练习例例 3 3当 x 是多少时，+在实数范围内有意义？分析分析：要使+在实数范围内有意义,必须同时满足中的 0和中的 x+10例例 4 4（1）已知 y=+5，求的值（答案：2）20042004(2)若+=0，

4、求 a+b的值（答案:）五、归纳小结五、归纳小结(学生活动,老师点评）本节课要掌握：1 形如(a0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号 2要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数课后习题作 业教 学师 生反 小思 结数学学科 八 年级第 23 章二次根式（2）主备人：审核人:备课时间学习目标授课时间21。理解（a0)是一个非负数和（）=a（a0)，并利用它们进行计算和化简2。通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出(a0)是一个非负数,用具体数据结 3.合算2术平方根的意义导出（)=a(a0）；最后运用结论严谨解题4。经历小组合作的学习过程，体验探究的乐趣，树立良好的学习

5、意识和价值观。(a0）是一个非负数；（）=a（a0）及其运用关键：用分类思想的方法导出（a0）是一个非负数;用探究的方法导出(）=a(a0）一、复习引入一、复习引入22重点难点预学生:疑惑的问题习导引 1什么叫二次根式？2当 a0 时,叫什么？当 a0;（2）a 0;2（3)a+2a+1=(a+1)0;2222（4）4x-12x+9=（2x）22x3+3=(2x3）02所以上面的 4 题都可以运用（)=a（a0）的重要结论解题例例 3 3 在实数范围内分解下列因式:242 (1）x 3（2）x 4（3)2x 3分析分析：（略）五、归纳小结五、归纳小结本节课应掌握：1 1（a a0 0）是一个非

6、负数；）是一个非负数；2 22 2 2 2（）（）=a=a（a a0 0）;反之反之:a=(:a=(）（a a0 0）课后习题教师：课堂教学的方法、手段学生：理解与感受教师:引导点拨学生：理解提升实现三维目标作 业教 学师 生反 小思 结数学学科 八 年级第 23 章 二次根式(3)主备人：审核人：备课时间学习目标授课时间1.理解=a（a0）并利用它进行计算和化简2。通过具体数据的解答，探究=a(a0），并利用这个结论解决具体问题3。经历小组合作的学习过程，体验探究的乐趣，树立良好的学习意识和价值观。a（a0)探究结论复习引入复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1形如(a0)的式子叫做二

7、次根式;2(a0）是一个非负数；2 3（）a（a0）那么，我们猜想当 a0 时，=a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题重点难点预习导引学生:疑惑的问题透思探究教学法:利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现,在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力问题导学典二、探究新知二、探究新知填空:=_；=_;=_；=_；=_；=_ (老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到:教师：课堂教学的方法、手段学生：理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生:理解提升题训练=2；=0。01；=;=;=0;=实现三维目标因此，一般地：=a(a=a(a0 0）例例 1

8、1化简 (1）(2)（3)(4）2222分析分析:因为（1）9=3，（2）(-4）=4，(3）25=5，22(4)(-3）=3,所以都可运用=a（a0）去化简解：（1)=3（2）=4（3)=5（4）=3三、巩固练习三、巩固练习例例 2 2填空:当 a0 时,=_;当 aa，则 a 可以是什么数?解:(1)因为=a，所以 a0；（2）因为=a，所以 a0;（3）因为当a0 时=a，要使a，即使aa 所以 a 不存在;当 a0 时,=-a,要使a,即使-aa，a0 综上,a0）和=（a0,b0)及利用它们进行运算2.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式

9、及利用它们进行计算和化简3。经历小组合作的学习过程,体验探究的乐趣，树立良好的学习意识和价值观。理解=(a0，b0）,=（a0，b0）及利用它们进行计算和化简发现规律，归纳出二次根式的除法规定复习引入复习引入 1写出二次根式的乘法规定及逆向等式 2填空（1）=_，=_；(2)=_，=_；（3）=_,=_；（4）=_,=_重点难点预习导引学生：疑惑的问题透思探究教学法:利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力问题导学典探索新知探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答,我们可以得

10、到：一般地,对二次根式的除法规定:=（a a0,b00,b0）,教师：课堂教学的方法、手段学生:理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生：理解提升题训练反过来，=（a a0 0，b b0 0）实现三维目标下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目例例 1 1计算:（1)（2)(3）（4）解:（1)=2（2)=2（3)=2（4）=2例例 2 2化简：(1）（2)（3）（4）分析:直接利用=（a0，b0)就可以达到化简之目的三、巩固练习三、巩固练习例例 3 3已知，且 x 为偶数，求（1+x)的值五、归纳小结五、归纳小结本节课要掌握=（a0,b0)和=（a0，b0）及其运用作 业教 学师 生反 小思

11、 结课后习题数学学科 八 年级第 23 章 二次根式的乘除（3)主备人:审核人：备课时间学习目标授课时间1。理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式2。通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念,并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求3。经历小组合作的学习过程，体验探究的乐趣，树立良好的学习意识和价值观.最简二次根式的运用会判断这个二次根式是否是最简二次根式复习引入复习引入重点难点预学生：疑惑的问题习导引（学生活动）请同学们完成下列各题 1计算（1)，(2)，（3)老师点评:=，=，=2现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1

12、km,h2km,那么它们的传播半径的比是_它们的比是透思探究教学法:利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现,在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力问题导学典题训练探索新知探索新知观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式学生分组讨论，推荐34 个人到黑板上板书=。例例 1 1(1）；(2)；（3）例例 2 2如图，在RtABC 中，C=90，AC

13、=2.5cm，BC=6cm,求 AB 的长222解:因为 AB=AC+BC AB=6.5（cm）因此 AB 的长为 6。5cm教师：课堂教学的方法、手段学生:理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生:理解提升三、巩固练习三、巩固练习教材 P14练习 2、3四、应用拓展四、应用拓展例例 3 3观察下列各式,通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，=，同理可得：=，从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算 (+）（+1）的值分析分析:由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式=（1+-+-+）(+1)=（1）（+1)=2002

14、-1=2001五、归纳小结五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用实现三维目标作 业教 学师 生反 小思 结数学学科 八 年级第 23 章二次根式的加减(1)主备人:审核人：备课时间学习目标授课时间1.理解和掌握二次根式加减的方法2。先提出问题,分析问题,在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解再总结经验,用它来指导根式的计算和化简 3.经历小组合作的学习过程，体验探究的乐趣,树立良好的学习意识和价值观。二次根式化简为最简根式会判定是否是最简二次根式复习引入复习引入重点难点预学生：疑惑的问题习导引学生活动:计算下列各式222（1)2x+3x；（2)2x 3x+5x;（3）x

15、+2x+3y；(4）2233a 2a+a教师点评：上面题目的结果,实际上是我们以前所学的同类项合并同类项合并就是字母不变,系数相加减二、探索新知二、探索新知学生活动：计算下列各式（1）2+3（2）23+5（3）+2+3（4）32+二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的（板书）3+=3+2=5 3+=3+3=6所以,二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并再将被开方数相同的二次根式进行合并例例 1 1计算 (1）+（2）+解：(1）+=2+3=（2+3）

16、=5 (2）+=4+8=（4+8）=12例例 2 2计算(1）39+3 (2）(+）+（-)解:(1)39+3=12-3+6=（123+6）=15（2）(+)+（-）=+=4+2+2=6+三、巩固练习三、巩固练习2222例例 3 3已知 4x+y-4x6y+10=0,求（+y）（x 5x）的值22解:4x+y-4x6y+10=0224x 4x+1+y 6y+9=022（2x1）+(y3）=0 x=，y=322原式=+y-x+5x透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力教师：课堂教学的方法、手段学生：

17、理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生:理解提升问题导学典题训练 =2x+x+5 =x+6当 x=,y=3 时，原式=+6=+3五、归纳小结五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的,应化成最简二次根式;（2)相同的最简二次根式进行合并实现三维目标作 业教 学师 生反 小思 结数学学科 八 年级第 23 章二次根式的加减（2)主备人：审核人:备课时间学习目标重点难点预授课时间1.运用二次根式、化简解应用题2.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题3.经历小组合作的学习过程,体验探究的乐趣，树立良好的学习意识和价值观.讲清如何解答应用题讲清如何解答应用题

18、复习引入复习引入学生：疑惑的问题习导引上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题,我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固探索新知探索新知例例 1 1如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时,点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问:几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米?（结果用最简二次根式表示）解:设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米则有 PB=x,BQ=2x依题意，

19、得:x2x=352 x=35 x=所以秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ=5答:秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 厘米例例 2 2要焊接如图所示的钢架,大约需要多少米钢材(精确到 0。1m）?解:由勾股定理，得 AB=2 BC=所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 32。24+713.7(m）答:要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13。7m 的钢材三、巩固练习三、巩固练习例例 3 3若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b 的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）解：首先把根式化为最简二次根式:=b由题意得a=1，b=1五、归

20、纳小结五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现,在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力教师：课堂教学的方法、手段学生：理解与感受实现三维目标教师：引导点拨学生：理解提升实现三维目标问题导学典题训练作 业教 学师 生反 小思 结数学学科 八 年级第 23 章二次根式的加减（3）主备人：审核人：备课时间学习目标重点难点预习导引授课时间1。含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用2.复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算3.经历

21、小组合作的学习过程，体验探究的乐趣，树立良好的学习意识和价值观。二次根式的乘除、乘方等运算规律;由整式运算知识迁移到含二次根式的运算复习引入复习引入学生活动：请同学们完成下列各题：1计算（1)（2x+y）zx（2）(2x y+3xy)xy 2计算（1)（2x+3y)（2x3y）(2）（2x+1）+（2x1）2222学生:疑惑的问题透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现,在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现它主要有（1）单项式单项式；（2)单项式多项式；（3）多项式单项式；(4）完全平方公式

22、；（5）平方差公式的运用问题导学典教师：课堂教学的方法、手段学生：理解与感受如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算实现三维目标教师：引导点拨规律是否仍成立呢?仍成立学生:理解提升探索新知探索新知题训练整式运算中的 x、y、z 是一种字母,它的意义十分广泛，实现三维目标可以代表所有一切,当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式例例 1 1计算:(1）（+）(2）（43）2解:(1）(+）=+=+=3+2解：（4-3）2=4232 =2-例例 2 2计算（1）（+6）（3)(2）（+)（）2解：（1)(+6）（3)=3-(）+18-6 =13322(2)(+）（）=（)（）=107=3三、巩固练习三、巩固练习例例 3 3已知=2，其中 a、b 是实数，且 a+b0，化简+，并求值分析分析:由于（+)（）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化,再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x的值，代入化简得结果即可解:原式=+=+=（x+1）+x2+x+2=4x+2=2b（xb）=2ab-a（xa)2222bxb=2abax+a(a+b)x=a+2ab+b2(a+b）x=（a+b）a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b)+2五、归纳小结五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算作 业教 学师 生反 小思 结课后习题