初中数学教案《完全平方公式 》教案(2022年).pdf

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1、完全平方公式完全平方公式一、新课导入1.导入课题：一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.如图 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你发现了什么呢？2.学习目标：1能用符号和文字表述完全平方公式.2能运用完全平方公式解题.3体验归纳添、去括号法那么.3.学习重、难点：重点：完全平方公式及应用及添、去括号法那么.难点：完全平方公式的几何意义的理解.二、分层学习1.自学指导：1自学内容：探究完全平方公式.2自学时间：8 分钟.3自学方法：计算、比较分析、猜想结论.4探究提纲：计算以下多项式的积，观察它们的算式形式与运算结果有什么规律.a

2、.(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1;b.(m+2)2=m2+4m+4;c.(2a+1)2=4a2+4a+1;d.(2x-3)2=4x2-12x+9.猜想：根据你发现的规律，你能直接写出a+b2的计算的结果是 a2+2ab+b2，ab2的结果是 a2-2ab+b2.以下等式正确吗？假设不对，比照中发现的规律找出错在什么地方？(x3)2=x29(2m+1)2=4m2+1都不对，都漏掉完全平方公式的“中间项.试用以下列图 1，2 验证(ab)2的结果的正确性.请你根据图 1，图 2 说出a+b2和a-b2的计算结果的几何意义.试用文字表述中发现的规律.两个数的和或差的平方，等于它们

3、的平方和，加上或减去它们的积的 2 倍.2.自学：学生结合探究提纲进行自学.3.助学：1师助生：明了学情：了解学生的探究过程及归纳总结的规律是否正确，收集学习中存在的问题.差异指导：教师询问个别学生从探究中如何总结规律并表述规律及如何借助图 1、2 验证猜想.2生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：1总结交流：公式的特点.等号左边等号右边符号特征2先用公式计算以下各题，再用多项式乘法法那么验证.2x32；x+y2；m+2n2；2x42解：4x2-12x+9x2+2xy+y2m2+4mn+4n24x2-16x+161.自学指导：1自学内容：教材第 110 页例 3、例 4.2自学时间：8 分钟

4、.3自学方法：认真观察例题中如何运用公式，分清题目中相当于公式中 a、b 的数或式是什么.4自学参考提纲：式子4m+n2中，4m 看作公式中的 a,n 看作公式中的 b，所以4m+n2=4m+n)(4m+n)=16m2+8mn+n2.y2=y22y()+=y2-y+.因为 102=100+2，所以1022=(100+2)2=(100)2+21002+(2)2=10404.怎样计算 9982？说说你的想法.用完全平方公式，将 998 写成 1000-2，那么9982=(1000-22=10002-210002+22=996004.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：1师助生：明了学情

5、：了解学生是否从例题中学会正确运用公式的思考过程.差异指导：帮助学困生对照公式怎样确定“a、“b.2生助生：完成自学提纲，同组内互相检查、交流帮助纠错.4.强化：1应用公式时，先确定公式中的“a、“b是什么？2运用完全平方公式计算：xy2；2y21 13 31 12 21 12 21 14 41 14 4解:x2+2xy+y2;4y2-y+.3思考：a+b2与-ab2相等吗？a-b2与b-a2相等吗？为什么？相等.相等.因为互为相反数的数或式子平方相等.1.自学指导：1自学内容；教材第 111页例 5 上面的内容.2自学时间：5 分钟.3自学方法：认真看课本，并结合自学参考提纲进行学习，注意添

6、加括号时，括号前面是正号和负号时，括号内各项符号的变化.4自学参考提纲：整式中添加括号的依据是什么？添括号法那么是怎样的？如何验证你添括号的正确性？在等号右边的括号内填上适当的项.a+b-c=a+b-c;a+b-c=a-c-b;a-b+c=a-(b-c)a-b-c=a-b+c;a+b+c=a-b-c;a+2b-6c=a+2(b-3c).2.自学：学生可结合自学提纲进行自学.3.助学：1师助生：明了学情：了解学生对添括号法那么是否学会，会不会检验添括号的正确性.差异指导：对学生进行个别指导：括号前为负号时，添括号后注意什么.2生助生：学生之间相互指导.4.强化：4 43 31 19 9(1)添括

7、号法那么.2括到括号内的各项符号的变与不变与什么有关.(3)注意各项都变或都不变的意思.(4)判断以下运算是否正确，假设不正确，请改正过来.2a-b-=2a-b-m-3n+2a-b=m+3n+2a-b2x-3y+2=-2x+3y-2a-2b-4c+5=a-2b-4c+5解：不正确，应等于 2a-b+不正确，应等于 m-(3n-2a+b)不正确，应等于-2x+3y-2不正确，应等于a-2b-4c-51.自学指导：1自学内容；教材第 111页例 5 的内容.2自学方法：认真看教材，注意观察多项式相乘的特点，以便合理地添括号选用相应的公式.3自学参考提纲：计算x+2y-3 x-2y+3时，第一步将整

8、式变形为x+(2y-3)x-(2y-3)，目的是什么？此题计算过程中，先后运用了几个公式？此题对应用公式计算有何启示？计算(a+b+c)2时，例题是写成(a+b)+c2，把 a+b 当作完全平方式中的 a，把 c 当作完全平方式中的 b，还有没有其它的添括号的方法计算此题，试试吧！运用乘法公式计算1(a+2b-1)2;2 2x+y+z(2x-y-z).解：1原式=a+2b2-2a+2b+12=a2+4ab+4b2-2a-4b+1;2原式=2x+y+z2x-y+z=4x2-(y+z)2=4x2-y2-2yz-z2.c c2 2c c2 2c c2 22.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：

9、1师助生：明了学情：了解学生是否灵活运用添括号的法那么添加括号，并运用完全平方公式计算.差异指导：对学生学习过程中存在的问题予以分类指导.2生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：1总结交流：在乘法运算时，一定要观察多项式的特点，选用对应的公式进行运算.2添括号法那么是去括号法那么反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法那么验证所添括号是否正确.3练习：计算(a+b+1)(a+b-1);(2x-y-3)2.解：原式=a2+2ab+b2-1;原式=2x2-2xy+3+(y+3)2=4x2-2xy-6x+y2+6y+9三、评价1.学生的自我评价围

10、绕三维目标：学生代表交流自己的学习收获和学习体会.2.教师对学生的评价：1表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及缺乏进行点评.2纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价教学反思：本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.一、根底稳固第 1、2、3、4、5 题每题 8 分，第 6 题 20 分，共 60 分1.-3x-12=9x2+6x+1;-2x+52=4x2-20 x+25;2.x-y-12=x2+y2-x-xy+2y+1;(x-y)2=3.x+y2-4xy=x-y22=

11、(100-0.2)2=4.1假设x-52=x2+kx+25,那么 k=-10;2假设 4x2+mx+9 是完全平方式，那么 m=12.5.以下各式中，与x-12相等的是B21 12 21 14 43 34 42 23 39 924 4x-xy+y2.16169 9-12-2x+12-2x-126.利用乘法公式计算：1(ab+2c)2;2-2x-y2;3 x+y-z x-y+z;4(a+b+c)2(abc)2.解：1原式=a2+b2+4c2-2ab+4ac-4bc;2原式=4x2+4xy+y2;3原式=x2-(y-z)2=x2-y2+2yz-z2;4原式=(a+b+c+a-b-c)(a+b+c-

12、a+b+c)=2a2b+2c=4ab+4ac二、综合应用每题 10 分，共 20 分7.化简求值：2x2-x+y x-y -x-y y-x+2y2,其中 x=1，y=2.解：原式=2x2-x2+y2 x2-y2+2y2=(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4当 x=1,y=2 时，原式=1+8+16=25.8.a+b=-7，ab=12，求 a2+b2-ab 和(ab)2的值.解：a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(-7)2-312=13.a-b2=(a+b)2-4ab=(-7)2-412=1.三、拓展延伸每题 10 分，共 20 分9.a+b-c=5，a-b+c=-3，求 a2-b2+

13、2bc-c2的值.解：a2-b2+2bc-c2=a2-(b-c)2=a+b-c a-b+c=5-3=-15.10.x+=2,求 x2+解：(x+x2+x2+(x-1 1x x1 1x x1 11 1和 x-的值.2 2x xx x1 121 1)=x2+2 2+2=4x xx x1 1=2，2 2x x1 1-2=0，x x2 21 1)2=0，x xx-=0.第 4 课时教学内容教学内容两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P x，y，关于原点的对称点为 P-x，-y及其运用教学目标教学目标理解 P 与点 P点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握Px，y关于原点的对称点为 P

14、-x，-y的运用复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用重难点、关键重难点、关键1重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px，y关于原点的对称点 P-x，-y及其运用2难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题教具、学具准备教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程教学过程一、复习引入一、复习引入学生活动请同学们完成下面三题1点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A2如图，ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把ADC 顺时针旋转 60，画出旋转后的图形3如图ABO，绕点 O 旋转

15、180，画出旋转后的图形老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评 略二、探索新知二、探索新知学生活动如图，在直角坐标系中，A-3，1、B-4，0、C0，3、D2，2、E3，-3、F-2，-2，作出 A、B、C、D、E、F点关于原点 O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：这些坐标与点的坐标有什么关系？老师点评：画法：1连结 AO 并延长 AO2在射线 AO 上截取 OA=OA3过 A 作 ADx 轴于 D点，过 A作 ADx 轴于点 DADO 与ADO 全等AD=AD，OA=OAA3，-1同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标学生活动分组讨论每四人一组：讨论

16、的内容：关于原点作中心对称时，它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题老师点评：1从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等 2坐标符号相反，即设 Px，y关于原点 O 的对称点 P-x，-y 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，例例1 1如图，利用即点 Px，y关于原点 O 的对称点 P-x，-y 对称的点的坐关 于 原 点标的特点，作 出 与 线 段AB关于原点对称的图形分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、点 B 关于原点的对称点 A、B即可解：点

17、Px，y关于原点的对称点为 P-x，-y，因此，线段AB 的两个端点 A0，-1，B3，0关于原点的对称点分别为A1，0，B-3，0 连结 AB那么就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 AB学生活动例 2ABC，A1，2，B-1，3，C-2，4利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出ABC 关于原点对称的图形老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成ABC，要作出ABC关于原点 O 的对称三角形，只需作出ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的ABC三、稳固练习三、稳固练习教材练习四、应用拓展四、应用拓展例例 3 3如图，直线AB 与 x

18、 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，将直线AB 绕点 O 顺时针旋转90得到直线 A1B11在图中画出直线 A1B12求出线段 A1B1中点的反比例函数解析式3是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b我们发现互相平行的两条直线斜率 k 值相等它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由分析：1只需画出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90得到的点 A1、B1，连结 A1B12先求出 A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k代入求 kx3要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明这一条直线是存在的，因此 A1B1与

19、双曲线是相切的，只要我们通过 A1B1的线段作 A1、B1关于原点的对称点 A2、B2，连结 A2B2的直线就是我们所求的直线解：1分别作出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90得到的点 A11，0，B12，0，连结 A1B1，那么直线 A1B1就是所求的2A1B1的中点坐标是1，设所求的反比例函数为y=那么12kx1k1=，k=2121所求的反比例函数解析式为y=2x3存在设 A1B1：y=kx+b过点 A10，1，B12，0b11b1k 0 2k b21y=-x+12把线段 A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线根据点 Px，y关于原点的对称点 P-x，-y得：A10，1，

20、B12，0关于原点的对称点分别为A20，-1，B2-2，0A2B2：y=kx+b11bk 20 2kbb 11A2B2：y=-x-1211下面证明 y=-x-1 与双曲线 y=2相切2x1y x11211 -x-1=2x+2=-12xx2y xx2+2x+1=0，b2-4ac=4-411=011直线 y=-x-1 与 y=2相切2xA1B1与 A2B2的斜率 k 相等A2B2与 A1B1平行A2B2：y=-1x-1 为所求2五、归纳小结五、归纳小结学生总结，老师点评本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 Px，y，关于原点的对称点 P-x，-y，及其利用这些特点解决一些实

21、际问题六、布置作业六、布置作业 1教材复习稳固 3、4 2选用作业设计作业设计作业设计一、选择题一、选择题1以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是 Ay=1 By=2x+1 Cy=-2x+1 D以上三种都不可能x2如图，矩形 ABCD 周长为 56cm，O 是对称线交点，点 O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，那么矩形边长中较长的一边等于 A8cm B22cm C24cm D11cm二、填空题二、填空题1如果点 P-3，1，那么点 P-3，1关于原点的对称点 P的坐标是 P_2写出函数 y=-33与 y=具有的一个共同性质_用对称的观点写 xx三、综合提高题三、综合提高题1如图，在平面直

22、角坐标系中，A-3，1，B-2，3，C0，2，画出ABC关于 x 轴对称的ABC，再画出ABC关于 y 轴对称的ABC，那么ABC与ABC 有什么关系，请说明理由2如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，且 A0，3，B3，0，现将直线AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到直线 A1B11在图中画出直线A1B1；2求出过线段 A1B1中点的反比例函数解析式；3是否存在另一条与直线 A1B1平行的直线 y=kx+b我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由答案答案:一、1A 2B二、1 3，-1 2答案不唯一参考答案：关于原点的中心对称图形三、1画图略，ABC与ABC 的关系是关于原点对称2 1如右图所示，连结 A1B1；2A1B1中点 P1.5，-1.5，设反比例函数解析式为y=3A1B1：设 y=k1x+b1y=x+3与 A1B1直线平行且与 y=所求的直线是 y=x+3，4321-4-3-2-1-1k2.25，那么 y=-xxb1 3k110 3k13b1 32.25相切的直线是 A1B1旋转而得到的xyAB(A)3xO12下面证明 y=x+3 与 y=-2.25相切，xx2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-412.25=0，2.25y=x+3 与 y=-相切x