常数项级数的审敛法教案.pdf

《常数项级数的审敛法教案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常数项级数的审敛法教案.pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、时间-月-日课星期-题12-212-2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法教学目的教学重点教学难点课型教法选择掌握数项级数收敛性的判别方法.正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，级数的莱布尼兹判别法，绝对收敛与条件收敛的概念.任意项级数收敛性的判别方法.专业基础课讲 授教学过程教 法 运 用 及板书要点一般情况下，利用定义或级数的性质来判别级数的敛散性是很困难的，可否有更简单易行的判别方法呢？由于级数的敛散性可较好地归结为正项级数的敛散性问题，因而正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法定义定义 1 1若级数un1n中的每一项都是非负的(即un 0

2、,n 1,2,)，则称级数un1n为正项级数正项级数.对于正项级数，由于错误错误!未找到引用源。未找到引用源。，因而错误错误!未找到引用源。未找到引用源。，所以正项级数un1n错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的部分和数列错误错误!未找到引用源。未找到引用源。必为单调增加数列，即如果部分和数列错误错误!未找到引用源。未找到引用源。有界，则由数列极限存在准则知道，单调有界数列必有极限，所以错误错误!未找到引用源。未找到引用源。存在，此时正项级数收敛；反之，若正项级数收敛，即错误错误!未找到引用源。未找到引用源。，则数列错误错误!未找到引用源。未找到引用源。必有界，由此得到如下定理：定理定理

3、1 1 正项级数un1n收敛的充分必要条件是：它的前n项部分和数列sn有界.此表 2 学时填写一份，“教学过程”不足时可续页1借助于正项级数收敛的充分必要条件，我们可建立一系列具有较强实用性的正项级数审敛法.1 1、（比较审敛法）（比较审敛法）设un1n和vn1n都是正项级数，且un vn(n 1,2,)则：1)如vn1n收敛，则un1n亦收敛；2)如un1n发散，则vn1n亦发散.证证(1)设vn1n收敛于，且un vn，则un1n的部分和sn满足sn u1u2un v1 v2 vn即单调增加的部分和数列sn有上界.由定理 1 可得un1n收敛.(2)设un1n发散，则它的前n项部分和sn

4、u1u2un(n )因un vn，则级数vn1n的前n项部分和n v1 v2 vn u1u2un sn所以当n 时n，即vn1n发散.由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉级数的有限项不改变级数的敛散性，因而比较审敛法又可表述如下：推论推论 1 1 设C为正数，N为正整数，un1n和vn1n都是正项级数，且un Cvn(n N,N 1,)，则：1)如vn1n收敛，则un1n亦收敛；2)如un1n发散，则vn1n亦发散.例例 判定调和级数错误错误!未找到引用源。未找到引用源。1的敛散性n1n2解解vn1n=错误错误!未找到引用源。未找到引用源。错误错误!未找到引用源。未找到引用源。错误错误

5、!未找到引用源。未找到引用源。+(12n1111错误!未找到引用源。+(nn222n11)n21n)2错误错误!未找到引用源。未找到引用源。=un1n而级数un1n是发散的，故有比较判别法知，调和级数发散。例例 2 2 讨论p级数11111pppp23nn1n的敛散性，其中p 0.111解解（1）若0 p 1，则n n，可得p；又因调和级数发nnn1np散，由定理 2 知1发散.pnn1（2）若p 1，有1111ppp23n1n=1(1np(2 1)1111111)()(2p3p4p5p6p7p8p1)np(2 1)1)15p1(2)n1p2481ppp248=12n1n1p(2)12(p11

6、2)2(p112)3p1(12p1)n131(s2n1112n)p11p11112p1(p 1,12p11)2即s2n1有上界，又对任意n 有n 2n1，所以sn s2n1，故sn有界，级数1（pnn1）是收敛的。综上讨论，当当0 p 1时，时，p级数级数1是发散的；是发散的；当当p 1时，时，p级级pn1n数数1是收敛的是收敛的.p级数是一个很重要的级数，在解题中往往会充当比较审pnn1敛法的比较对象，其它的比较对象主要有几何级数、调和级数等.例例 3 3 判定级数的敛散性。1111n23122232n1n2解：因为11(n 1,2,),故收敛。n2n2n1(a 0)的敛散性.nn11 a例

7、例 4 4 讨论级数1111解解（1）当a 1时，级数的通项，而是一nnnn1 aa1 aan1n11111个公比为的等比级数，且1（n 1)n!n!n!n!n!所以,|un|练习：练习：n20,从而,un0.即原级数发散.11n22n 11）(1)n(1)2）(1)n1nn22n1n13）(1)n1n11n 2 1n 4）sinn 1nn1n解:（1）因为所以（2）|un|limnn|un|=lim11(1)n=e/21,n2n0,n,因此原级数发散.0,n,从而un|un1|2(n 1)2nlim=lim=1/21,n1nn|u|22n 1n|un|收敛,从而原级数绝对收敛.1n 2 11

8、(3)因为,而级数发散,所以n 1nnnn1|un|=n1n 2 1n 2 1发散.由于lim=0,且nn 1n 1nnn1un=(11111)(1=un+1,)n 2n 1n 1n所以此交错级数满足收敛条件,从而原级数为条件收敛.|un1|n|sin|n14）由于lim=lim=|sin|n|u|nn 1|sin|nn所以当|sin|1,即 2k/2 时,级数绝对收敛;当 sin=1,即=2k+/2 时,级数发散;当 sin=-1,即=2k-/2 时,级数收敛.13作业：1、（1），（3）；3、（1），（3）4(1),(3).教学后记教学后记:1三个重要的级数：(1)p级数：1p1（发散）p1（收敛）pn 1n(2)几何级数：aqn 1n 1q1（发散）q1（收敛）(3)(1)n 1n 11收敛n2正项级数的审敛法是：比较法，比较法的极限形式，比值法3交错级数的判定法及绝对收敛，条件收敛思考题思考题:设正项级数un收敛,能否推得un收敛?反之是否成立?2n 1n 1u由正项级数un收敛，可以推得un收敛：limnlimun0 由nnun 1n 1n22比较审敛法知un 12n收敛.反之不成立.14