抽象代数电子教案.pdf

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1、(完整 word)抽象代数电子教案抽象代数课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集.集合的交、并、积概念；掌握映射的定义及应注意的几点问题，象，原象的定义；理解映射的相同的定义；掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算的特点;理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌握满射,单射，一一映射及逆映射的定义.理解满射，单射,一一映射及逆映射的定义;掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义；掌握等价关系的定义，理解模 n 的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用,

2、对代数运算的理解;代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态映射的定义;同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模 n 的剩余类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义,应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别；结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射，单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果;模 n 的剩余类。教学措施：黑板板书与口授教学法。教学时数：12 学时。教学过程：1 集合定义：定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合集合（简称集）.集合中的每

3、个事物叫做这个集合的元素元素（简称元）。定义定义:一个没有元素的集合叫做空集空集,记为，且是任一集合的子集.1(完整 word)抽象代数电子教案（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母A，B,C表示集合，习惯上用小写拉丁字母a,b，c表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为a A,否则记为a A。表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A=1,2，3，4,B=1,2，3，100。2、描述法:A x p(x),p(x)元素x具有的性质.例:A aaZ且1 a 4。显然例 6 中的A就是例 5 的A.3、绘图法：用文氏图(Venn Diagra

4、m)可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。(3）集合的蕴含(包含）定义定义：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集子集，记为B A,否则说B是A的子集，记为B A。定义定义：设B A，且存在a A但a B，那么称B是A的真子集真子集，否则称B不是A的真子集。定义定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B.结论结论：显然，A B A B且B A。（4）集合的运算集合的并：A B x x A或xB集合的交：A B x x A且xB集合的差：A B x x A且xB集合在全集内的补：A x xE且x A集合的布尔和(对称差）：2(完整 word)抽象代数电子教案A

5、B x x A或xB但 x A B(A B)(B A)(A B)(A B)集合的卡氏积：AB(a,b)a A且bB注：注：A B中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。卡氏积的推广：令A1,A2,Am是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为：Ai1mi A1 A2 Am(a1,a2,am)ai Ai,i 1,2,m对上述集合运算，可以得到一批基本公式：(1)A B B A;A B B A.(2)A(BC)(A B)C;A(B C)(A B)C(3)A(B C)(A B)(AC);A(B C)(A B)(AC)(4)A A;A E A;A A E;A A.(5)A E E;A;A A A;A

6、 A A(6)吸收律：A(A B)A;A(A B)A例题:例1A=1。2。3 B=2。5。6 那么 AB=2A=1。2.3 B=4。5。6 那么 AB=空集合。例2A=1。2.3 B=2.4.6 那么 AB=1.2.3。4。6 A=1。2。3 B=4。5。6 那么 AB=1。2。3。4.5。62 映射定义定义:设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个A1 A2 An的元(a1a2an)(ai Ai),都能够得到一个唯一的 D 的元 d，那么这个法则叫做集合A1 A2 An到集合 D 的一个映射.其中，元 d 是(a1a2an)在映射的象象，a是b在下的逆象逆象.3(完整 word)抽象代数电

7、子教案例 1:A1=A2=。.。=An=D=所有实数作成的集合.：(a1，a2,，an)a12+a22+an2=(a1，a2,，an)是一个A1A2AN到 D 的映射.例 2：A1=东，西,A2=南，D=高，低1:（西，南）高=1(西，南)不是一个 A1A2到 D 的映射。2：(西,南）高，（东，南）低,则2是一个 A1A2到 D 的映射。例 3:A1=D=所有实数所成的集合。：aa若 a 1 1b这里 b2=1不是一个 A1到 D 的映射。例 4：A1=D=所有实数所成的集合.：aa1 不是一个 A1到 D 的映射.定义：我们说，A1 A2 An到集合 D 的两个映射1与2是相同的，假如对任

8、何一个元(a1a2an)来说，1(a1a2an)=2(a1a2an).例 5：A=D=所有正整数的集合。1：a1=1（a）2：aa0=2（a）则1与2是相同的。4(完整 word)抽象代数电子教案3 代数运算设给定A1 A2 Am到D的映射f:A1 A2 Am D，如果n=2 时,f就叫做代数运算.一般地有定义：定义：任一个A B到D的映射都叫做A B到D的一个代数运算代数运算。例 1：A=所有整数,B=所有不等于零的整数。D=所有有理数 0:（a.b）a=ab 是一个 AB 到 D 的代数运算，即普通的除法。b例 2：令 V 是数域 F 上一个向量空间，那么 F 的数与 V 的向量空间的乘法

9、是一个 FV 到 V 的代数运算。例 3：A=1,B=2，D=奇，偶 0：(1.2）奇=12是一个 AB 到 D 的代数运算.例 4 A=1。2，B=1。2，D=奇，偶 0：（1.1）奇（2。2)奇(1。2）奇（2。1）偶是一个 AB 到 D 的代数运算.代数运算表代数运算表：当A,B都是有限集时,那么A B到D的每一个代数运算都可以用运算表表示。设A a1,a2,an,B b1,b2,bm，则运算表为：b1b2bm5(完整 word)抽象代数电子教案a1a2a1b1a1b2a1bma2b1a2b2a2bman anb1anb2anbm注：对于代数运算B A D的运算表，要求A与B中元素在上表

10、中的位置互换.在实际工作中,更多的是A B D的情形,这时，有如下定义:定义：定义：若是A A到A的代数运算，则可称是A的代数运算代数运算或二元运算二元运算。4 结合律例题：A=所有整数，代数运算是普通减法那么(a-b）ca（b-c)除非 c=0。定义定义:设是集合A的一个代数运算，如果a,b,c A都有(ab)c a(bc),则称满足结合律结合律。定义定义:设A中的代数运算为,任取n(n 2)个元素a1,a2,an,如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的,那么这个结果就用a1a2an来表示。定理定理：如果A的代数运算满足结合律，那么对于A的任意n(n 2)个元素a1,a2,an来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的,因此，这一唯一的结果就可用a1a2an来表示。论证思路论证思路 因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。任取一种加括号的步骤(a1a2an),往证：(a1 a2 an)a1(a2 an)对n用数学归纳法。(a1 a2 an)b1b2b1和b2分别是i和ni个元素经加括号而运算的结果。6