第十八章平行四边形教案.pdf

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1、第十八章平行四边形18.1.1平行四边形及其性质(一)一、教学目标：1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证.3.培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.二、重点、难点1.重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用.2.难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算三、课堂引入平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)表示：平行四边形用符号”来表示.

2、四边形ABCD是平行四边形如图，在四边形ABCD中，AB/DC,AD/BC,那么 平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD，读作ABCD1我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象?AB/DC AD/BC,四边形ABCD是平行四边形(判定)四边形ABCD是平行四边形AB/DC,AD/BC（性质）.注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角 是指有一条公共边的两个角.而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角.2.【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有 什

3、么特殊的性质呢？我们一起来探究一下.让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两 组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？(1)由定义知道，平行四边形的对边平行.根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为 补角.(2)猜想 平行四边形的对边相等、对角相等.下面证明这个结论的正确性.已知：如图ABCD,求证：AB=CD,CB=AD，/B=ZD,ZBAD=ZBCD.证明：连接AC,AB/CD,AD/BC,/1=Z3,Z2=Z4.1又AC=CA,ABC CDA（ASA）.AB=CD,CB=AD，/B=ZD.又/

4、1+Z4=/2+/3,/BAD=/BCD.由此得到：平行四边形性质1平行四边形性质2五、例习题分析例1（教材P93例1）例2（补充）如图，在平行四边形求证：AF=CE.平行四边形的对边相等.平行四边形的对角相等.ABCD中，AE=CF,18.1.1平行四边形的性质（二）、教学目标:1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.、重点、难点1.重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.2.难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.四、

5、课堂引入1.复习提问：（2）平行四边形的性质:具有一般四边形的性质（内角和是360）.角：平行四边形的对角相等，邻角互补.边：平行四边形的对边相等.2.【探究】：ABCD请学生在纸上画两个全等的和（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是:于点0.把这两个平行四边形落在一起，在点AC、BD和EG、HF，设它们分别交ABCD绕点0旋转180，观察它还0处钉一个图钉，将和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行2四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心;（2）平行四边形的对角线互相平分.

6、五、例习题分析3例1（补充）分别相交于点E、F.求证：0E=OF,AE=CF,BE=DF.证明：在ABCD中，AB/CD,已知：如图421,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点0与AB、CD/1=Z2./3=Z4.又OA=0C（平行四边形的对角线互相平分）,AOE COF（ASA）.OE=OF,AE=CF（全等三角形对应边相等）ABCD,AB=CD（平行四边形对边相等）ABAE=CDCF.即BE=FD.【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EFAD=8cm,AC丄BC，求BC、CD、AC、OA的长以及一ABCD的面积.向两方延长与平行四边形

7、的两对边的延长线分别相交、教学目标:（图c和图d）,例1的结论是否成立，说明你的理由.18.1.2（一）平行四边形的判定1.在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB=10cm,3.培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二、重点、难点3.重点：平行四边形的判定方法及应用.4.难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.四、课堂引入1.欣赏图片、提出问题.展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2.【探究

8、】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具一一硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思 考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？4(2)你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？(3)你能说出你的做法及其道理吗？(4)能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗?(5)你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形。平行四边形判定方法2对角线互相平分的四边形是平行四边形。五、例习题分析例1(

9、教材P96例3)已知：如图-ABCD的对角线AC、DBD交于点O,E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.分析：欲证四边形BFDE是平行四边形可以根据判定方法(证明过程参看教材)问；你还有其它的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简单.2来证明.例2（补充）已知：如图，A BBA,B C/CB,求证：/ABC=ZB,/CAB=ZA,/BCA=ZC;ABC的顶点分别是 BC各边的中点.证明：(1)/A BBA,C BBC,四边形ABCB是平行四边形.C A AC./ABC=ZB平行四边形的对角相等).同理/CAB=ZA,/BCA=ZC.(2)由(1)证得四边形ABC

10、B是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形.AB=BC,AB=A C平行四边形的对边相等).BZC=AC.BA=CA,AB=CB.A B的中点.拼成一个六边ABC的顶点A、B、C分别是B C的边B C C A同理例3(补充)小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时,形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由.解：有6个平行四边形，分别是ABOF,ABCO,BCDO,DEFO，-CDEO,一EFAO.理由是：因为正ABO也正AOF,所以AB=BO,OF=FA.根 别相是：等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形.其它五个同理.据“两组对边分18.1.2(二)、教学目标

11、：平行四边形的判定1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.52会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.3通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力.、重点、难点1重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法.2.难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用.四、课堂引入1平行四边形的性质；2平行四边形的判定方法；3.【探究】取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置,木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗?结论：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.五、例习题分析例1（补充）已知：如图，ABC

12、D中，E、F分别是AD、BC证：BE=DF分析：证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明 四边形BEDF是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单.再用两根的中点，求证明：四边形ABCD是平行四边形，AD/CB,AD=CD/E、F分别是AD、BC的中点，11DE/BF，且DE=AD,BF=BC22DE=BF四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）BE=DF此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次有三，且利用知识较多，因此应 使学生获得清晰的证明

13、思路.例2（补充）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上 丄AC于E,DF丄AC于F.求证：四边形BEDF是平行四边形.分析：因为BE丄AC于E,DF丄AC于F，所以BE/DF需BE=DF，这需要证明ABE与厶CDF全等，由角角边即可.证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，且AB/CD.两点，且BE再证明/BAE=/DCF.BE丄AC于E,DF丄AC于F,BE/DF，且/BEA=/DFC=90ABECDF(AAS).6BE=DF.四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）18.1.2（三）平行四边形的判定一一三角形的中位线一、教学目标：1.理解三角形中位线的

14、概念，掌握它的性质.2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.3经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.4能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思 想方法.二、重点、难点1重点：掌握和运用三角形中位线的性质.2难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）四、课堂引入1.平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？2.你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是

15、平行四边形，从而判定直线平行 等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题.）3.创设情境实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是 如何切割的？（答案如图）图中有几个平行四边形？你是如何判断的？五、例习题分析例1（教材P98例4）如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证:1DE/BC且DE=BC.2分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以 把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的 性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造 平行四边形.方法

16、1：如图（1）,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由厶ADE CFE,可得AD/FC,且AD=FC，因此有BD/FC,BD=FC，所以四边形BCFD是1平行四边形.所以DF/BC,DF=BC，因为DE=DF，所以DE/BC且2DE=BC.127（也可以过点C作CF/AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2:如图（2）,延长DE到F,使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是 平行四边形.所以AD/FC,且AD=FC.因为AD=BD，所以BD/FC,且BD=FC.所以四边形ADCF1是平行四边形所以DF/BC,且DF=BC，因为DE=DF，所以DE

17、/BC且DE=BC.122定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【思考】：（1）（2）想一想：一个三角形的中位线共有几条？三角形的中位线与中线有什么区别？三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同中位线 是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线.中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.）（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半.拓展利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由）G、H分别是例2

18、（补充）已知：如图（1）,在四边形ABCD中，E、F、AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以 角形中位线性质找到四边形此题便可得证.设法应用三形的对角线EFGH的边之间的关系.由于四边证明：连结AC（图（2）,DAG中,可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接造“三角形中位线”的基本图形后,/AH=HD,CG=GD,AC或BD，构1 HG/AC,HG=AC（三角形中位线性质）21同理EF/AC,EF=AC2HG/EF,且HG=EF.四边形EFGH是平行四边形.此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四

19、边形是平行四边形.18.2.1矩形（一）一、教学目标：1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.3.渗透运动联系、从量变到质变的观点.二、重点、难点81.重点：矩形的性质.2.难点：矩形的性质的灵活应用.四、课堂引入91展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等）用了平行四边形的什么性质？，想一想：这里面应2.它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，3再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是

20、什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形），拉动矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线）一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.随着/a的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？当/a是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有 什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1矩形的四个角都是直角.矩形性质2矩形的对角线相等.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相

21、交于点0,由性质2有12的一半.五、例习题分析12直角三角形斜边上的中线等于斜边A0=B0=C0=D0=AC=BD.因此可以得到直角三角形的一个性质：例1（教材P104例1）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点0,/A0B=60,AB=4cm，求矩形对角线的长.分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知，可得解：四边形ABCD是矩形,0AB是等边三角形，因此对角线的长度可求.ADAC与BD相等且互相平分.0A=0B.又/A0B=60,0AB是等边三角形.4=8(cm).矩形的对角线长AC=BD=20A=2例2（补充）已知：如图，

22、矩形ABCD,AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE1 0的长.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用1 1方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.略解：设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm,在RtABD中，由勾股定理：x2 82=(x 4)2，解得x=6.则AD=6cm.(2)本关系式：例3(补充)=EF.分析：CE、EF分别是BC,AE等线段上的一部分，若AF=BE，则问题解决，而证明AF=BE，只 要证明ABE直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角

23、边、斜边及斜边上的高的一 个基AEXDB=ACKAB，解得AE=4.8cm.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF丄AE于F,若AE=BC.求证：CE DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：四边形ABCD是矩形，/B=90，且AD/BC./仁/2.DF丄AE,/AFD=90./B=/AFD.又AD=AE,ABE DFA(AAS).AF=BE.EF=EC.此题还可以连接DE，证明DEF DEC，得到EF=EC.18.2.1矩形(二)一、教学目标：1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、

24、难点1.重点：矩形的判定.2.难点：矩形的判定及性质的综合应用.四、课堂引入1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2.矩形有哪些性质？3.矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4.事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法.矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.(指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了.因为由四边形内角和可知，这时 第四个角一定是直角.)五、例习题分

25、析例1(补充)下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？(1)(2)(3)(4)对角线相等的四边形是矩形；1 2有一个角是直角的四边形是矩形；有四个角是直角的四边形是矩形；四个角都相等的四边形是矩形；(“(K(“(K)（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（8）组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.（I）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明 或

26、举反例，才能下结论.例2（补充）已知二ABCD的对角线AC、BD相交于点这个平行四边形的面积.分析：首先根据厶解：四边形（X）（v）（X）（V（V指出：AB=4 cm，求AOB是等边三角形及平行四边形对角线互 再是平行四边形，相平分的性质值.判定出ABCD是矩形，利用勾股定理计算边长，从而得到面积ABCDA0=AC,B0=BD.1212AO=BO,AC=BD.二ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）在RtABC中，AB=4cm,AC=2AO=8cm,BC=-4=4、？3(cm).*BC=4X4/3=16/3(5).例3（补充）已知：如图（1）,口ABCD的四个内 分别相交于点E,F,G

27、,H求证：四边形EFGH是矩形.分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解如图（2）,因此，可选用 三个角是直角的四边形是矩形”证明：四边形ABCD是平行四边形，AD/BC.角的平分线出基本图形,来证明./DAB+ZABC=180.又AE平分/DAB,BG平分/ABC,1/EAB+ZABG=丄X180 =90.2/AFB=90.同理可证/AED=/BGC=ZCHD=90.四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）18.2.2、教学目的：菱形（一）1.掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系.1 32.会计算菱形的面积.理解并掌握菱形的定义及性质1、2;会用这些性质进行有关

28、的论证和计算，1 43通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力.4根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想.二、重点、难点1.教学重点：菱形的性质1、22.教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用.四、课堂引入1.（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么?2.形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一 组邻边相等，从而引（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形一一矩出菱形概念.菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【强调】菱形（1

29、）是平行四边形；（2）一组邻边相等.让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子.五、例习题分析例1（补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E.求证：/AFD=ZCBEB证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD CA平分/BCDD/BCE=/DCE又CE=CE1 5BCEACOB(SAS1 6/CBE玄CDE在菱形ABCD中,AB/CD/AFDK FDC/AFD=/CBE例2（教材P108例2）略18.2.2菱形（一、教学目的：1理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力

30、及逻辑思维能力.二、重点、难点1教学重点：菱形的两个判定方法.2教学难点：判定方法的证明方法及运用.四、课堂引入1复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2.【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3.【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的 十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：

31、菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形.五、例习题分析1 7例1（教材P109的例3）略-例2（补充）已知：如图 口ABCD勺对角线AC的垂直平分线与边AD BC分别交于E、F.1 8求证：四边形AFCE是菱形.证明：四边形ABCD是平行四边形，AE/FC./仁/2.又/AOE=/COF AO=COAOEACOFEO=FO 四边形AFCE是平行四边形.例3（选讲）已知：如图，ABC中,与D,EH丄AB于

32、H,CD交BE于F.又EF丄AC,/ACB=90,AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.求证：四边形CEHF为菱形.略证：易证CF/EH,CE=EH，在RtBCE中，/CBE+/CEB=90，在RtBDF中，/DBF+/DFB=90,BE平分/ABC,CD丄AB因为/CBE=/DBF，/CFE=/DFB，所以/CEB=/CFE，所以CE=CF.所以，CF=CE=EH,CF/EH，所以四边形CEHF为菱形.18.2.3正方形、教学目的1掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算.2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的

33、 联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力.二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.四、课堂引入1.做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的什么样的四边形是正方形？叫做正方形.正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意:关系.问题:（1）有一组邻边相等的平行四边形（2）有一个角是直角的平行四边形（菱形）（矩形）正方形1 9一个

34、角是直角的菱形.四个全等所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成 的等腰直角三角形.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC BD相交于点0（如图）求证：ABOBCOCDODAO是全等的等腰直角三角形.证明：四边形ABCD是正方形，AC=BD ACLBD=ABOBCOCDODAO都是等腰直角三角形,并且 ABOABC3ACD3ADAO例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为 上的一点，O,DG丄AE于G,DG交0A于F.求证：OE=OF.分析：要证明OE=OF，只需证明AEO DFO，由于正方

35、 垂直平分且相等，可以得到/AOE=/DOF=90,AO=DO，再由 的余角相等可以得到/EAO=/FDO，根据ASA可以得到这两个 故结论可得.证明：四边形ABCD是正方形，/AOE=/DOF=90,AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又DG丄AE,/EAO+/AEO=/EDG+/AEO=90/EAO=/FDO.AEO DFO.OE=OF.2.【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有T-*2 0是0BE例3（补充）已知：如图，四边形丄li于N,直线MB DN分别交l2于Q P点.ABCD是正方形，分别过点A、C两点作li/丨2,作BML l1于M DN求证：四边形PQMN1正方形.分析：由已知可以证出四边形PQMNI矩形，再证ABNADAN AM=DN用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论.证出证明：PNL11,QMLli,PN/QM/PNM=90.PQ/NM四边形PQMN!矩形.四边形ABCD是正方形/BADdADC=90,AB=AD=D（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）/1+Z2=90./3+/2=90,/仁/3.又ABIWADANAM=DN.同理AN=DP.AM+AN=DN+DP即MN=PN.四边形PQMN!正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.同底上的两角相等得出它为等腰梯形.2 1