高考试题——数学文（天津卷）.pdf

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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文史类)本试卷分第I卷(选择题)和第I I 卷(非选择题)两部分，共 15 0 分，考试用时120 分钟。第 I 卷 1 至 3页。第 U卷 4至 11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1.答 1 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。3 .本卷共10 小题，每小题5分，共 5 0 分。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 棱柱

2、的体积公式丫=5 氏P(A u 8)=P(A)+P(B)其中S表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(D i 是虚数单位，复 数 出=1-1(A)l+2i (B)2+4 i (C)-l-2i (D)2-i%+y 3,(2)设变量x,y 满足约束条件，x-y N-l,则目标函数z=4 x+2y 的最大值为.”1,(A)12(B)10 (C)8 (D)2(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为(A)-l (B)0 (C)l (D)3(4)函数f (x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是(A)(-2,-1)(B)(-1,

3、0)(C)(0,1)(D)(1,2)(5)下列命题中，真命题是(A)m m e R,使函数f (x)=x +m x (xeR)是偶函数(B)m m e R，使函数f (x)=x +m x (xeR)是奇函数(C)X/m e R,使函数f (x)=x2+m x (xeR)都是偶函数(D)V m e R,使函数f (x)=x2+m x (x e R)都是奇函数(6)设a =l o g s 4,b =(l o g53)2,c =l o g45,则(A)acb(B)bca(C)abc(D)bac设集合 A =x l l x-a l v 1 ,x w R ,3 =x 11 x 5,x /?卜若A cB

4、=0,则实数 a 的取值范围是(A)a I O a 6 (B)aa 4(C)aa 6 (D)t z I 2 t z 4 TT 5 7r(8)右图是函数y =A s i n(3 x+)(x e R)在 区 间-，二 上 的 图 象，为了得到这个函数的图象，只要将y =s i n x (x e R)的图象上所有的点(A)向左平移生个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来3n(B)向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来3的2倍，纵坐标不变(0向左平移生个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来-】一6的,倍，纵坐标不变2TF(D)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2

5、倍，纵坐标不变6(9)如图，在A A BC中，A D A.A B,前 =6 而，而|=1,则 恁 丽=(A)27 3 (B)(C)(D)V3(10)设 函 数 (x)=x2-2(xe R),Rv.X _ r g(x)+x+4,x g(x).则/(x)的值域是9 19r 9(A),0 u(l,+8)(B)0,4-o o)(C),4-o o)(D),0 U(2,+8)2010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(文 史 类)第n卷注意事项:i.答卷前将密封线内的项目填写清楚。2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。3.本卷共12小题，共 100分。题号二三总分得分(17)(18)(19)(20

6、)(21)(22)二、填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共 24分。把答案填在题中的横线上。(11)如图，四边形A BC D 是圆。的内接四边形，延长A B 和 D C 相交于点P。若 PB=1,PD=3,则好的值为_ _ _ _ _ _ _ _o _AD(12)个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 2(13)已知双曲线二一二=1(4 O,b 0)的一条渐近线a方程是y=6 x,它的一个焦点与抛物线F=I 6 x 的焦点相同。则双曲线的方程为。(14)已知圆C的圆心是直线x-y+l=O 与 x 轴的交点，且圆C 与 直 线 x+y+3

7、=0相 切。则 圆 C 的 方 程为。(15)设 a。是等比数列,公比4 =痣，Sn 为 的 前 n项和o记 7；=“e N*.设7；为数列 7；的最川大项，则传二 O(16)设函数f(x)=x-L,对任意x el,+8),f(m x)+m f(x)0.(I)若a=l,求曲线y=f(x)在 点(2,f(2)处的切线方程；(II)若 在 区 间-L,上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.2 2(2 1)(本小题满分1 4 分)已知椭圆=+与=1 (a b 0)的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为a2 b2 24.(I)求椭圆的方程；(I I)设直线I 与椭圆相交于不同的两点A、B,

8、已知点A的坐标为(-a,0).4、万(i)若|A B|=q 上,求直线I 的倾斜角；(ii)若点Q(0,y 0)在线段A B 的垂直平分线上，且0 =4.求y 0 的值.(2 2)(本小题满分1 4 分)在数列 a,中，a,=0,且对任意k eN”,a2 j,a2 k，a2 k+i成等差数列，其公差为2 k.(I )证明a4，a5，a6 成等比数列；(I I)求数列 6,的通项公式;(I H)记7；=+，证明 2 n Tn W 2(n2 2).a,a,22010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)参考答案一.选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5 分，满分5 0 分.(

9、1)A (2)B (3)B (4)C (5)A(6)D(7)C (8)A (9)D(1 0)D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分2 4 分.x2 y2(1 1)-(3 (1 3)-一上=13 4 1 2(1 4)(x+l)2+y2=2 (1 5)4 (1 6)(-8,-1)三.解答题(1 7)本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分1 2 分.(I )证 明：在 ABC中，由 正 弦 定 理 及 已 知 得 吧 g=上 唬.于是s in C cos Cs inB cos C-cos B s in

10、C=0,即 s in(B-C)=0.因为 V 8 -C V 4，从而 B-C=0.所以B=C._ _ O B又 0 2 B%，于是 s in2 B=A3,4,4 4,4,A4,A$,4,4 共 有15 种.(i i)解：“从一等品零件中，随机抽取的2 个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：4 4 ,4,4 ,4 4，儿,A,A3,/12，A 4M5-共有6 种.所以p=9=2.15 5(19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.(I)解：因为四边形AD EF是正方形，所以FA/ED.故 N C E。为

11、异面直线C E与 AF所成的角.因为 FA_ L 平面 ABC D,所以 FA_ L C D.故 ED _ L C D./2,J 2在 R t Z X C D E 中，C D=1,ED=2 2,C E=JCD2+E D2=3,c os Z.CED-=-C E 3所以异面直线C E和 AF所成角的余弦值为.3(I I)证明：过点 B 作 BG/C D,交 AD 于点 G,则 N 8 G A =Z C D A=4 5.由 Z B A D=4 5 ,可得 BG 1 AB,从而 C D 1 AB,又 C D _ L FA,FA C AB=A,所以 C D _ L 平面 ABF.(i n)解：由(H)及

12、已知，可得AG=J L 即G为A D的中点.取E F的中点N,连接G N,则G N 1EF,因为BC/AD,所以BC EF.过点N 作 N M 1EF,交 BC 于M,则N G N M为二面角B-EF-A的平面角。连 接 G M,可 得 AD J.平 面 G N M,故 AD J.G M.从 而 BC G M.由已知，可 得 G M=.由2N G/FA,FA G M,得 N G J _ G M.在 R t AN G M 中，t a n N G N M -9M=NG 4所以二面角B-EF-A的正切值为工.4(20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，

13、考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.3(I )解：当 a=l 时，f (x)=x3-x2 4-1,f (2)=3；f (x)=3x2-3 x,f (2)=6.2所以曲线y=f (x)在 点(2,f (2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即 y=6x-9.(I I)解：f (x)=3。/-3x=3x(x-l).令 f (x)=0,解得 x=0 或 x=L.a以 F 分两种情况讨论：(1)若0 aW2,则当x 变化时，f (x),f (x)的变化情况如下表：a 2解不等式组得-5 a 5.因此0 a W 2.解 不 等 式 组 得 二。5 或a二.因此2 a 5.2 2综 合(1)和

14、(2),可知a的取值范围为0 a 5.(21)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14 分.(I )解：由 e=且，得3a 之=念 2.再由0 2=/一/,解 得 a=2b.a 2由题意可知，x2x2/?=4 ,即 a b=2.2解方程组4 a 2b,得 2,b=Lah=2,X C所以椭圆的方程为一+y2=i.4(II)(i)解：由(I)可知点A的坐标是 2,0).设点B的坐标为(弓,%)，直 线1的斜率为k.则直线1的方程为y=k(x+2).y=k

15、(x+2),于是A、B两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 消 去y并整理，得+/=1.（1 +2）/+1 6&+（16攵2-4）=0.由-2xj=16k2 4l+4k2，得%=上 空.从而弘=W y.1+4/力 1+4/所以IA8I=J-2+K 1 +4 日4k1 +4公j _ 4 4+/-1 +4/由*=迪，得名L逑5 l+4k2 5整理得3244一纵2_23=0,即(二一 1)(32女2+23)=0,解得k=l.TT 37r所以直线1的倾斜角为生或二.4 4(Q 1 2 ZA 1(i i)解：设线段AB的中点为M,由(i)得到M的 坐 标 为-7,(1+4/1+4/以下分两种情况：(1

16、)当k=0时，点B的坐标是(2,0),线段AB的垂直平分线为y轴，于是5=(-2,_%),丽=(2,%).由 汝 丽=4,得y 0=2 0。2k 1(2)当 HO时，线段AB的垂直平分线方程为y-J=一 上x+J-1+4/1 +4令X =0，解 得 儿=+以2。由 0A=(2,一%)，。8=(不，必一九)，QA=-2玉 一%（%-%）=_2（2 _ 8/匕6 4（火l+4k2+l+4k2l+4k26k）+l+4 p j4(1 6/+1 5/1)=o =4,(1 +的2整理得7 A2=2。故 女=半。所 以%=邛 。综上，y 二 2夜 或 =(2 2)本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、

17、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满 分1 4分。(I)证明：由题设可知，=+2 =2 ,4=。2 +2 =4,%=%+4=8 ,%=%+4=1 2,。6=+6=1 8 o从而”=女=3,所以%,a5,4成等比数列。%2(I I)解：由题设可得42八1一。2 -1 =必,女e N*所以 42*+1 =(0 2*+1 -a2k-)+(a2 i-l -a2k-3)+(a3-ai )=4 女+4(左一1)+4x 1=2k(k+l),k&N*.由q=0,得。2*+1 =2 k(k +l),从而%=%+i-2女=2女，.所以数列

18、%的通项公式为an=2 12,为奇数2土，为偶数2或写为可+丁nw N*0(I I I)证明：由(I I)可知。2人|=2%(女+1),a2k=2k2,以下分两种情况进行讨论：(1)当n为偶数时，设n=2 m(m cN*)k2若加=1,贝ij 2 一 =2k=2 ak若m N 2,则2 2q k?_ (2k)-q(2A+l)-_弋 4k2 守 父+4。+1Z a j M a2k+t t a2k+i-4 2/十七 2A(A+1)”一!2m+k=4k?+4Z 12Mz+1)+2Z(A +1)=2m+Zk=l?4=2m+2(m-l)+g(1m2二2 nJik1 3 1 3 工 无2所以2 一 一 二 一 +，从而一 2 一 一 2,=4,6,8,.g%2 2 k=2 ak(2)当n为奇数时，设 =2m+1(m N*)。能 君 2(2m+1)2,3 1 (2/n+l)2 =+-=4m-+-Ik=2 ak 2,+1 2 2m 2机(机+1)41 1 c 3 1=4？H-=2/2-2 2(m-l)2 +1 3 1 3 3 k2所以2 一 一 二 一+，从而二2 一 一2/=3,5,7,.欠=2 2 +1 2 k=2 W3综 合(1)和(2)可知，对任意2 2,cN*,有 2-7；2.