高考试题数学理(山东卷).pdf

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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理)第I卷(共60分)参考公式：球的表面积公式：5=4 凡 其中R是球的半径.如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：P(k)=C pk(l-p)nk(k=0,1,2,，n).如果事件A、B互斥，那么P(-4+8)=P(A)+P(B).如果事件48相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)满足M 知4,4 且M c M，%=6,4 的集合M的个数是(A)1 回 2(C)3(D)4解析：

2、本题考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有at,a2则M=。,出 或 知=4,4,4 Z(2)设z的共轨复数是Z,或z+z=4,zz=8,则一等于Z(A)1(B)-i(C)l 回 i解析：本题考查共甄复数的概念、复数的运算。2z I2(2 2/)2可设5=2+初，由 z-5 =8得4+/=8/=2.=-L =i.z 8 8(3)函数=加 0 5%(-5%1)的图象是解析：本题考查复合函数的图象。(冗 T T Ay=lncosx 一巴X 乙 是偶函数，可排除B,D；由cosx的值域可以确定。1 2 2(4)设函数/(x)=k+l|+|x4的图象关于直线x=l对称，则a的值为 3 (B)2(

3、C)l(D)-l解析：本题考查分段函数的图象。C,D可排除，对于A,B可验证。7T 4 L(5)已知c o s(a )+s i nt z =V 3 ,则s i n(a +)的值是6 5 6、2/3(A)-5竿4(D)y解析：本题考查三角函数变换与求值。1 6.4c o s a +s i n =2 2 5俯视田正(主)视网倒 蛇 海 图s i n(z +)=-s i n(z +)=-s i n +c o s 12,Zo=(-1)9 3 =-=-胃笄=-2 2 0.3 x 2 x 1(10)设椭圆C l 的离心率为a ,焦点在X 轴上且长轴长为2 6.若曲线C 2 上的点到椭圆Q的两13个焦点的距

4、离的差的绝对值等于8,则曲线C 2 的标准方程为2 2(/A、)打X 一 JV-42 322 2x y(B).-132 52=12 2x y-0,(12)设二元一次不等式组(x y +8N0,所表示的平面区域为M,使函数y=o x(a 0,2 x+y-1 4 1,只需要研究过(1,9)、(3,8)两种情形。以 K9且/28即24“0.8,因此输出=4.(14)/(x)=ax1+c(a*0)J fxdx=/(x0),O Wx o Wl,则刖的值为7.解析：本题考查微积分定理的应用J o f M d x=J：(以2 +c)=-axc x3a 2 N3b=+C =a x0+c,x0=(15)已知。，

5、b,c 为A B C 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=(J5,-l ),n=(c o s 4,s i n 4).若 m nf 且 o c o s B+bc o s A 二 c s i n C,则角 B=.6解析：本题考查解三角形V3 c o s A-s i n A =0,A =,s i n A c o s B+s i n B c o s A =s i n C s i n C,3s i n A c o s B +s i n B c o s A=s i n(A +B)=s i n C =s i n2 C,C =y.(16)若不等式I 3 x-b I 4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则

6、b的取值范围为(5,7).解析：本题考查绝对值不等式b-4 b+4-x-八 一4 .0 -13,，解得5 8 734三、解答题：本大题共6小题，共 7 4 分.(1 7)(本小题满分12分)已知函数/(x)=Jsin(x+夕)一cos(5+夕)(0 平兀，a)0)为偶函数，且函数y=f(x)TT图象的两相邻对称轴间的距离为一.2(I)美洲/(上)的 值；8(I I)将 函 数y=/(x)的图象向右平移三个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长6到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：(I)/(x)=V 5 s in(以+0)-c o s(m+e)

7、J V 3 .、1 /、,=2-S n(cax+(p)-cos(cox-(p),7T、=2sin(0,且 xR,所以 cos(p-)=0.6 6又因为 0 V 0 V 冗，故。土 =上.所以 f(x)=2sin(cox+-)=2cosa)x.6 2 2由题意得务2多所以3=2.故/(x)=2cos2x.=2c=5/2.TT TT(H)将/(x)的图象向右平移个2个单位后，得到/(x-3)的图象，再将所得图象横坐标6 6IT TT伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到/(-)的图象.4 6所以g(x)=*_ a =2co 2 g _?)=2cos吗-y).当71 7t2k W-W 2 k+n(/cS

8、Z),2 3即4k%+W WxW4k n+3 3(kZ)时,g(x)单调递减.27r x 冗因此g(x)的单调递减区间为 4%乃+AU +(1 8)(本小题满分12分)甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分,2答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为一，乙 队 中3人答对的概率分别为32 ,2 ,上1且各人正确与否相互之间没有影响.用e表示甲队的总得分.3 3 2(I)求随机变量e分布列和数学期望；(II)用A表 示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用8表 示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(A8).(I)解法一：由题意知，的可能取值为0,

9、1,2,3,且P(=0)=C3X(1-1)3=-,P(=1)=C,3X|X(1-1)2=|,3 27 3 3 9尸(=2)=C23 X(1)2 x(l-1)3=,P(e=3)=C33 X(1)3=A.所 以e的分布列为0123P1272949827 的数学期望为1 2 4 XEe=0 x +lx-+2 x-+3x =2.27 9 9 272解法二：根据题设可知-8(3,)因此e的分布列为p(=k)=c3*x(|)*x(l-|)2-*=C3 x|,z =0,l,2,3.?9因 为 一 5(3,3,所 以七=3 X女=23 3(I I)解法一：用C表 示“甲得2分乙得1分”这一事件，用。表 示“甲

10、得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CUD,且C、。互斥，又P(C)=C23 X(j2)2x(l-2)x2 1 1 1 2 12 11X X 1-X X 1 X X 3 3 2 3 3 2 3 3 21 0由互斥事件的概率公式得1 0 4 3 4 3 4P(A B)=P(O+P。)守/布解法二：用Ak表示“甲队得k分这一事件，用以表示“己队得k分”这一事件，k=0,l,2,3由于事件A380/2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3BO U A2B1)=P(A3BO)+P(A2B1).守坐A。/哈制xC呜)3 4-2 4 3-(19乂本小题满分12分)将 数 列 an中的所有项按每一行比上一

11、行多一项的规则排成如下数表:aia2 a384 85 3687 8s 89 3io记表中的第一列数ai.a2.a4.a?,构成的数列为 6 ,b1=O1=l.5为数列 瓦的前n项和，且 满 足=-2b“1=(n 2).b,S N-S(I)证明数列 -成等差数列，并求数列(bn的通项公式；S n(I I)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公4比为同一个正数.当%=-一 时，求上表中第k(AN3)行所有项和的和.(I)证明：由己知，22=12-s：又 S n=b、+Z?2 +b.所以-三=1即2(S -S“p_ i S,i S“所 以 工-S”I2所 以数列发g是

12、首项为1,公差为3的等差数列=b、=1.由 上 可 知 工=1+!（-1）=上口s.2 2即所以当 心2时，2=一九=,吃2nn+1).+1n=lc 2 2.bn =2J 几（+1）（H）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且 q 0.因为 1 +2 +1 2 =7 8,2所以表中第1 行至第1 2 行共含有数列an）的前7 8 项,故。8 2 在表中第1 3 行第三列，4因此为2 =瓦3 q -.所 以q=2.记表中第k（A 2 3）行所有项的和为5,则 5 =%(1-力q2(1-2*)k(k+)1-22 _女(女+1)(1-2A)(心3).(20乂本小题满分12分)如图，已知四棱锥P

13、-ABCD,底面ABCD为 菱 形，%_ L平面ABCD,Z A B C=60,E,F 分别是 BC.PC 的中点.(I)证明：AELPD-,(II)若H为P D上的动点，E H与平面P A D所成最大角的正切值为直，2求二面角EAFC的余弦值.(I)证明：由四边形A8CD为菱形，ZABC=60 ,可得 ABC为正三角形.因为 E为8 c的中点，所以AE_LBC.又 BC/AD,因 止 匕 AE_LAD.因为PA_L平面ABCD,A E U平面A B C D,所以PAJ_AE.而 RAU 平面以D,AD U 平面外。且 R4AAD=A,所以 AE_L平面外D,又P D U平面PAD.所 以AE

14、1PD.(II)解：设AB=2,H为P D上任意一点，连接AH,EH.由(I)知 AE_L平面PAD,则为E H与平面PAD所成的角.在 RtA&AH 中，AE=#),所以 当A”最短时，N E H A最大,即 当AH_LPD时，N E H A最大.“a A E 6显止 匕 时 tan-.=-,A H A H 2因此 4=夜.又AD=2,所以NADH=45,所以 PA=2.解法一：因为 R4JL平面ABC。，R 4 U平面RAC,所以 平面以C_L平面A8CD.过E作EO_LAC于。，则EO_L平面以C,过。作OS_LAF于5,连接E S,则NES。为二面角E-AF-C的平面角,3在 R t

15、O E 中，EO=AE sin300=,AO=AE cos30=-22又 F 是 PC 的中点，在 RtA/4SO 中，SO=AO-sin45=372T又 SE=JEO?+SO2=H =字,A LSO在 5。中，cos Z ESO=SE30扃一 54即所求二面角的余弦值为半.解法二：由（I）知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A(0,0,0),B(百，-1,0),C(C,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(6，0,0),(石 1 1)2 2所以 A E =(月,0,0),A

16、 F =(曰,g,l).设平面AEF的一法向量为2 =（X ，M，zJ,则m AE=0,m A F=0,Gx=o,因此惇制小=0.取 Z 1 =-1,则机=(0,2,-1),因为 BDYAC,BDPA,PAHAC=A,所以 BD_L平面AFC,故 8。为平面AFC的一法向量.又 BD=(-7 3,3,0 ),八八、m B D 2 x 3 V 1 5所以 cos Vm,B D =-=j=-,=-.mBD V 5 x V 1 2 5因为 二面角 A F-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为半.(2 1)(本小题满分1 2 分)己知函数己 x)=(：y+a l n(x 1),其中n G N*,a 为

17、常数.(I )当 =2 时，求函数/(x)的极值；(I I)当时，证明：对任意的正整数，当 x 2时，有/(x)W x-l.(I )解：由已知得函数f(x)的定义域为 x|x l ,当 n=2 时，,(x)=(1 尸+-皿口),所以/(x)=2q()(1-x )(1)当。0 时，由/(x)=0 得q =1 +J 1,x2=1 J-V I,V a v a此 时f(x)=R一 土 =2).(1-x)3当 X (1,X 1)时，f(x)V O,/(x)单调递减；当、(x i+8)时，f(x)O J(x)单调递增.(2)当 a W O 时，f(x)VO恒成立，所以/(x)无极值.综上所述，”二 2时，

18、当 a0时，/(x)在X=1 +J 2处取得极小值，极小值为/(1 +J 2)=g(i+I n 2).V a a 2 a当QWO时，/(x)无极值.(I I )证法一：因为 a=l,所以 x)=(“+l n(x l).当 n为偶数时，令 g Q)=x 一 1 一,-l n(x -1),n则 g(x)=1+-(1严x-2 n-1-7x-1 (x-l)H+l 0 (x 2 2).1X 1所以当X C 2,+8 时，g(x)单调递增,又 g(2)=o因此 g(尤)=x-1-ln(x -1)2 g(2)=0 恒成立,(x-l)所以/(x)Wxl 成立.当 n 为奇数时，要证/(x)W x-l,由 于

19、不、7 V 0,所以只需证In(x-l)Wx-1,令/)(x)=x-l-ln(x-l),则/?(x)=1-=0 (x 2 2),X 1 X 1所以 当 x2,+8 j时,/z(x)=x-l-ln(x 1)单调递增,X h(2)=l0,所以当x 2 2 时，恒有6(x)0,即 In(x-1)Vx-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当。=1 时，/(%)=+ln(x-l).(1-x f当x W 2,时，对任意的正整数力 恒有一!WL(1)故只需证明l+ln(x1)Wxl.令 h(x)=x-1-(1+ln(x-l)=x-2-ln(x-1),XG 2,40),M为直线y=-2p上任意一点，过 M

20、 引抛物线的切线，切点分别为A，B.(I)求证：A,M,B 三点的横坐标成等差数列；(II)已知当M 点的坐标为(2,-2 p)时,a 邳=4而，求此时抛物线的方程；(III)是否存在点M,使得点C 关于直线XAB的对称点。在抛物线/=2 p y（p0）上，其中，点C满足OC=QA+OB（。为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.2 2（I ）证明:由题意设4%工）,8（巧，3），/V x 2，M（%-2p）.2 2pyy-由 得 y=,则 y，=一,2P p所以“/号因此直线MA的方程为y+2p=五（九一4）,P直线M B的方程为y+2=受（x-x。）.P所

21、以V-+2p=(玉一尤0),2P P+2 p=-(x2 x0).2P P由、得 =玉+/一玉）,X+%2因此 Xo=-1.2,即2 x0=玉+九 2.所以4M.8三点的横坐标成等差数列.（I I ）解：由（I ）知，当X o=2 时，将其代入、并整理得：X：4玉-4 p2=0,Xj 4-4p 0,所 以 X I、刈是方程工2-4%一4 2=0 的两根,因 止 匕 为 +马=4,xxx2=-4 p2,2 2x2 X 7 n _ 2 2 _ X,+X2 _ X。乂 KAH 一Z 2P p所以原B=2-p由弦长公式得I AS|=J l+攵2+尤2)2 -4 3%2=又|A S|=4 x/i5,所以p

22、=l或p=2,因此所求抛物线方程为Y=2 y或/=4y.(III)解：设 D(x3,y3),由题意得 C(xi+x2,yi+yi),则C D的中点坐标为0(.+.+乜,乂+、+与,设直线A B的方程为y y =2(工一玉)，P由点Q在直线A B上，并注意到点(三立,1 2 1)也在直线A B上，2 2代入得%=%无3.P若D(X3/3)在抛物线上，则X；=2%=2玉)%3，因此 X3=0 或 X3=2xo.即。(0,0)或。(2%,区).P(1)当Xo=O时，则%+工2 =2%=0 ,此时，点M O2p)适合题意.X；+2 2 2(2)当天H 0,对于D(0,0),此时C(2,.+当),与=一2 二五上32p 2x0 4px0又=,ABl.CD,P所以AB七 口2 7x0%+XP 4px(,2 24 P2即=4 p 2,矛盾对于0（2%,生），因为C（2 x 0,三 三）,此时直线CD平行于y 轴,P 2P又勺谊=血力0，P所以 直线A B 与直线C D 不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M 点.综上所述，仅存在一点M（0,-2 p）适合题意.