高等数学课后习题详解.pdf

《高等数学课后习题详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课后习题详解.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、习题三1.填空(1)设“X)=(X _ 尤o)e(x)，o(x)在点X。连续 f(x0)=.答案：以”。)(2)设“x)=x-l x l,则/(0)=答案：0(3)设了(%)在点a 可 导,则 乜%+x)-/()=.答案：2广3xy=-(4)曲线 1 +x在点(2 2)处 的 切 线 方 程 为,法线方程为答案：x-3y +4 =0 3x +y -8 =0(5)设/(幻=。-1)。一2“。一)，则/(0)=答 案:(T)!(6)曲 线 产=6 y -y 3在点(_ 2,2)处切线的斜率4=2答案：3仇 仇 _(7)设Z =Q x +y),则 次=/安=(2 x +y)J n(2 x +y)+2

2、 x(2 x +y)*T合茉：GX =x(2x+y)x OXd(8)设名=z(x,y)由方程e：x y z =0所确定，则 疝=,-&-bz答案：d x e-x y女(9)设z =#(x y，e),贝|应=.及 _小.答案:合=媚+优 月 黑 出 X +Vz =arctg-(1 0)设 x -y ,贝ij 1%=.,y,x,废=一 一-dx+-dy答案：x +y -+y 2讲认 讲 _ -(1 1)设=,则a2 a2答案:dU 2 2 x v z-=yzze1exyzdx2=x2z2exyzxyz1.选择题（1）下列各极限均存在,则（）式成立.a.l i m Ax。)-/(X。+A x)&TO

3、 AX=/Uo)l i m(X o)-(X o-四bA x-0 AX=/(x0)l i m /Go-入)-/(x o)Ar-0 A%=/(X0)=/(/)c-A x答案：bf(x=!x e x0 设 旨x 4 ,则 x)在了=0处()a连续c可微答案：a,db可导d连续,不可导(3)设x)=si nx,则/(x)=()a si n si n xb cossi nxc si ncosx d coscosx答 案b（4）设/（x）=|尤-1|,则函数/（x）在=1处（）a 连续 b 不可导c可导 d 不连续答案：a,b（5）设/（*）=l i m/(2 A x)/(2)e*,则o A x)I _

4、_ _ _ 1 _a 1 6a b 1 6&3 _3 _c 1 6a d 1 6&答案：c(6)设/“)可导，且 y =/“)，则办=()a dy=f、(ex)dx b dy=f(ex)dexc_dy=f(ex),-dex d dy=f ex)exdx答案：b,d(7)设 f (x,y)在 点(a,b)处偏导数存在，则有.f(a+x,b)-f(a-x,b)l i m-T X =()a.0 b 1；Q a,b）c f；.（a,b）d 2 f；（a,b）答案：d（8）函数z=/a，y）在点“。，）0）处有偏导数是它在该点存在全微分的（）a.必要条件 b.充分条件c.充分不必要条件 d.既非充分条件

5、又非必要条件答案：a（9）设/a，y）在区域D内具有二阶偏导数，则下述结论正确的是（）dxdy dS x.b./（x，y）在 D内连续c./a，y）在D内可微答案：dd.a,b,c,结论都不对（1 0）设 z=z（x,y）是由方程所确定.则a.-Z答案：bb.Zd.X及 龙X +y 今 功)（i i）函数 x，y）=盯（/+V 1）的极值点是（）2 i _ 1a.（1,0）b.（0,1），（2 2 ）d （2,2 ）答案：a.b3.设/（X）在X。可导，求l i m 8 一 2）/*。）（1 ）20 hl i m x +一俄）（2）f h（_ 2）i i m-Q 2%）一二婚解：（1）原式=-

6、2h（2）/（%）。（+0 /“。+叫 一 小。一例）（2）原式=2 （。+尸）/?=（二 +夕）/（玉）4 .求曲线y =在点（4 2）处的切线方程和法线方程.v|_ 1 _ 1 1y 广 解：4 2 Vx 4 ,所以在点（4,2）处切线斜率为4 ,法线斜率为4。y =x +1 y=-4 +1 8所求切线方程和法线方程分别为-4y=-x35.求 出 曲 线.3 上与直线x -4 y =5平行的切线方程.y x解：直线x-4 y =5的斜率为4 ,曲线 3上过（x，y）点的切线斜率由y 4得片弓，所以直线方程为3/加=。.1 nx-sm ,x。0f（X）=+=(si n x)c=3 d I n

7、x+x?y =6 xl n x+5 x jw=6 1 nx+l l -x y =2e?x y =4 e?x.y=2 /八，I I /=-yg=？!(n2)(4)y=l nx+l，x ,/z(f)=Vot-gt21 3.以初速度v。上抛的物体,其上升高度力与时间，之间的关系为 2求：(1)上抛物体的速度仅)；(2)上抛物体的加速度。；(3)经过多长时间，它的速度为零.解:(1)v(t)=hXt)=v0-gt(2)a=h(t)=g%(3)v Q)=%_ g f =0/=g1 4.一个深为8米,上顶的直径为8n的圆锥容器,以每分钟4加3的速度将水注入，问当水深为5 m时,其表面上升的速度是多少？r

8、4 1 70 2.h 4t.4解：设f分钟后水深为h,则 8,根据题意，3 ,把/=8/1代入得r=等,v -(7)1 625 21 5.某人身高2米，以3米/秒的速度向一高7米的街灯走去，问此人身影长度的变化率是多少？解：设开始此人与灯街距离为$身影长度为力，4时间后身影长度为“，2 _ h2 h 7=7 5V h-h 2则7-+S,3 ，身影长度的变化率-2 一 3s=9 s i n +2?1 6 .已知质点作直线运动,方程为 3 ,试求在第一秒末的加速度.(S以米为单位，f以秒为单位).5w=-2s i n 5f f(l)=-解：加速度为 3 ,所以第一秒末的加速度为 21 7.求下列函

9、数对自变量的偏导数 z=a r c s i n(yV x)Z=l ns i n(x-2y)(3)z=ln(x+lny)z=yfx-sin(4)%z=e(cosy+xsiny)(6)u=arctg(x-y)zy&=2 6=y&l-x y2 2-V xl-xy2-=-2ctg(x-2y)Sydz _ 1 dx x+nydz _ 1dy y(x+ln y)生=(一2)4-c o s2 +：sin2 世dx x-x 2Vx x dy Jx=e*(sin y+cos y+x-sin y)(-sin y+x cos y)dx(6)8u=z(x-y)z-dx l+(x-y产8u=-z(x-y)zdy l+(

10、x-y)2xdu _(x-y)。ln(x-y)dzl+(x-y)2z18.设 z=x+y _ jY +)J次，求我。，霜A =1 解：为 J/y1/+y2x2+K,4色=1 2/(3,4)=z所以 5G(3,4)=y Ez=ln(x+)19.设 2x,求法adz解：dx 2x3+x y,分 2x2+），,所以 比(1,0)=1&dy(to)=2及=2/y 曳=120.求卜列函数的二阶偏导数 z=廿-4 x2y2+y4及解：(1)&=4x3 8xy(2)z=l n(x2+x y+y2)dzdy=8/y +4y 3yz=arctg-(3)x察M Y 一 旷a2zdxdy-=-16xydydxb N

11、 o 2 Q=12y-8ySy2dz _ 2x+y-2 o(2)dx x+xy+y,dz _ 2y+xdy x+xy+yd2z _ y2-2x2-2xy&2 (x2+xy+y2)2d2z _ d2z _(x2+4xy+y2)dxdy dydx(x2+xy+y2)2d2z _ x2-2y2 2xydy2(x2+xy+y2)2d2z _ 2xy d2z _ d2z _ y2-x2 dx2(x2+y2)2 dxdy dydx(x2+y2)252z _ 2xydy2(x2+y2)次 次 1/I x F y=一2 1.证 明 函 数z=皿A/X+)满 足a 21 1戊 _ 14x dz _ 2了 次 戊

12、 1解：dx Jx+J y,分,x+J y,所以 拉.422 2 .证明2=(小+2)满足拉普拉斯方程2 2 42.次=2x 次=2y 四=2y2 _解：过一万2+2,-x2+y2；/(/+2)2,丝 2d 一 为分2 （2+2）2 所以看2+4 2一23.求下列函数的微分“儿 y=eX siM x(2)y 二,.XIn sin 2(3)y=fan2(l+x2)(4)y=ln(l-x)2(5)y 2+”=x4arctan =In x2+y2(6)x解.(i)y=A(sin2 x+sin2x)dy=(sin2 x+sin2x)dx,1 x.1%,y=cot ay=cotax2 2)2 2(3)/

13、=4x-Zg(l+x2)sec2(l+x2)dy=4xfg(l+x2)sec2(l+x2)dx,21n(l-x).21n(l-x).y=-ay=-ax(4)x I x 12 ，+X =4x3y，=华 d)，=dx(5)两边同时对X求导得 y 2y+1 2y+1,x+y,x+y,y=-dy=-dx(6)两边同时对了求导得 x一 一24.下列函数的全微分_+工(1)，x)x(2)Z =arcsin(xy)(3)z=ef-co srco sy (4)“=x，z次 1 次 1 1 1解：(1)今=JO 一 一犷f)，左冲 x=+x，所以 dz=y(l 一一x Y)dx+(x+-x)dy./)包 /%加

14、=dx+x=dy(2)dx.=J l-x2y-,4=yl-x2y x2y2 jl-x2y2dz次&=ex+y sin y(cos x-sin x),dy=ex+y cos x(cos y-sin y)dz=e+v sin y(cos x-sin x)dx+cos x(cos y-sin y)dy_d_u _ ”_ _d_u_(4)dx y yz z-x-iny Qz yxyz-Inxdu=yzxyzldx+z,xy:-In ydy+yxyz-In xdz2 5.利用微分求近似值1(1)M 7g l.02(2)V 9 9.9(3)吆 4 6 (4)e1 01解：利 用 近 似 公 式=/(X。)

15、+/(/)(x 一 小)得L0 2尸皿1 +占1-0.0 2;(2)焉二忌+Q)1i 川)=0/0 0 0 5(3)t a n 4 6 =t a n 4 5 0 +t a n 4 5(x-x)=0 3 4 9 ,(4)e L i=e +e(x-X o)=2.7 4 5 5T=2乎2 6 .已知单摆的运动周期 V g,若摆长由2 0 c m增加到2 0.1 c m,问此时周期大约变化多少？7 TA T =F(/)A/=-y=A/=0.0 0 2 2解：J g，2 7.设有一凸透镜,镜面是半径为R的球面（如图3-9）,镜血的口径为2 6,若/?比H小的多，试证明透镜的厚度 2R.图1 3-9D=R

16、-J-2力2=-2,_解：H +/，因为比R小的多，所以，斤_ /?,2 8.利用全微分求下列近似值.(1)s in 2 9 4 6(1 0-D2 0 3z=sin Xtgy,dz=-1 d x +解：设&I*)l(3O,45),z z(3 0 ,4 5 )+J z 0.5 0 2 3 4dZ=I dx+玄 I 设z=x，&品 办L。办，z*z(10,2)+Jz 108.90829.有一圆柱体,它的底半径由2cm增加到2.05cm,其高H由10c?减少至lj 9.80九，试求体积变化的近似值.解：AV dV=27irhdr+m-hdh=1.2 ncnr,30.有用水泥砌成的无盖长方体水池，它的

17、外形长5米，宽4米，高3米,又它的四壁及底的厚度均为20 cm,试求所需水泥的近似值.翻 dV=2(5x3+3x4)+4x5x0.2=14.8 广/U I:31.求下列复合函数的偏导数.,龙=u2v-uv2,u=xcosy,v=xsiny 求 次 办戊 戊(2)设z=ecosv,u=xy,v=ln(x y),求adi di 设z=/(-/,*),求 今4 ,(4)设z=(2x+y)2?求 戊 (5)/(X)、戊 戊Z =xW(_，一)-设)，X ,求 次4(1)根据链式法则得=3x2 sin y cos y(coy-sin y)=-2x3 sin ycoy(sin y+cos y)+x3(si

18、n3 y+cos3 y)(2)根据链式法则得&=*xyc3os i皿nex v#)y cosi ln/(x-y、)-孙-s-i-n-l-n-(-x-)idx x-y=e x-叫 xcos ln(x-y)+“即二仁)、dy x-y(3)根据链式法则得*=2端 +y/2 焉=-2切+yef2(4)两边取对数 l n z =(2 x+y)l n(2 x+y)y-=2(2 x+y)2 x+v l n(2 x+y)+1 =(2 x+y 严 斗 l n(2 x+y)+1(5)根据链式法则得dz r/x y.x2,=v(77)-T/l +#23 2.设zs in x+F(s in y-s in x)A 炭

19、c os y+c os x=c os x c os y，证明a”抄解:3 z二=c osx+Fr (-c os x),=F c os y,今 效且 c os y+包 c os x=c os x.c os y所以今 办_ 2 _卜 f(D)x -xy 3 3.设 3 x、，其中/可 微，证明 合 分dz.解：为y,dz 2y-T +f-y =3厂 dy 3XX2所以立 肛互+y 2=odx dydu u 32u 13 4,设N=l n r,r =JV+,2+名2 ,证 明a2 时 及2 户d2u _ y2+z2-%2解:(x2+y2+z2)2du _ x2+z2-y24 2 (%2+y2+Z2)

20、2亚,x1+y2-z2 62M du du 1R(x2 +y2+z 2)2 ,所以时 戊2 r23 5.设=x(P(x+y)+y ,(x+y),其中。，沙二阶偏导数连续,证明6 2 从 o-2-1-T-解：空=2”+#+)，仁 富=河 +2+)”夕加 日2“巾2”-2 H-0S x.d=(p+x(p +y i/+i1/所 以a2 df3 6.下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数=l n(x y)生(1)设y，求公.dy(2)设e =/c os(x+y),求7dy(3)设s i+e、-盯2 =o，求 公I n -J x2+y2=arctg (4)设 x,求 d x及 龙(5)设+2 +1 2/反

21、=0,求 今，.x .z a Ei n ,(6)设z 求 合.仇及 设x +y +z =e，+，+z,求 今 为.y -y x _ y +盯 、封 一/2 -y 一 解：(1)两边同时对x求 导y 孙 得 孙+x，a2 s i n(x+y)两边同时对x求导e y =-a2 s i n(x +y)(l+y )ey+a2s i n(x+y)dy _ y2-ex(3)两边同时对x求导c o s y y +e-y?-2孙)；=0得 dx c o s x-2 x yy x-yx _ Ff+yl+ii 也 二 山(4)两边同时对尤求导 X2 得 公 X ydz _ y z-7 7 dz _ xz-2 y/

22、(5)两边同时对xy求偏导小 历-x y /历-孙dz _ z dz _ 贮 两边同时对x 求 偏 导 小 x+z +z)dz.dz.-=_ 1 -=-1(7)两边同忖对xy求偏导 小 dy之I 之I3,3,3,X/(1,2-1)9-(1,2-1)37.设x +y +z +x y z =6,确定隐函数Z =z(x,y),求今|沙3 1 3 3 X解：对 +y +z +%户=6两边同时对.求导，得3X2+3Z2ZX+yz+xyz.x=0,zx=_ 3/3 z2+xy_-3 y2-xz dz._ J _同理 3z +x y ,所 以&5dz,11诙 二 广 一 二38.设2 s i n(x +2

23、y-3z)=x +2 y-3z,证明金解：对2 s i n(x +2 y -3z)=x +2 y _ 3z两边同时对x求导，i f,1 1 1 L 1Z 1-,z 2-得“3 _ 2 c o s(x +2 y-3z)J 3 2 c o s(x +2 y-3z)_次 S z+=1代入得法 身次、d z._z-F y*=x39.设x +Z =y./(/-其中/可 微，证 明 今 办 .yf-2 x dz f 戊 dz解：dx l+f-2 yz t dy 1 +2 幽f,所以 戊 办*40.求函数Z =/+产在点(1,2)处沿从点(12)到点(2,2 +6)的方向的方向导数.解：1+2出*41.求 函 数 =型 在 点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数._ 98解：13*42.设/(尤，笫2)=尤 2 +2*+3Z2+孙+3一2 一6工 求“如0,0,0)及gradf(1,1,1)解：grad/(0,0,0)=3,-2,-6)grad=6,3,0