高考数学高考试题数学(福建卷)(理).pdf

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1、高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工农医类)选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数./Xx)=sin x cos x最小值是1 1A.-1 B.-C.-D.12 21.【答案】：B 解析：/(X)=(s in 2x/(x)min=.故选 B2.已知全集U=R,集合A=x|f -2 x 0 ,则a A等于A.x I 0 x2 B x|0 x2C.x|x2 D x I x0 x22.【答案】:A 解析 计算可得A=xx 2 CuA=x|0 x/()的是A./(%)=-XB./(x)=(x-l)2 C

2、 J(x)=e*D/(x)=ln(x+l)5.【答案】：A 解析 依题意可得函数应在X e(0,+oo)上单调递减，故由选项可得A正确。6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A.2 B.4 C.8 D.166.【答案】：C 解析 由算法程序图可知，在n=4前均执行 否 命令，故n=2X4=8.故选C7.设m,n是平面a内的两条不同直线，人是平面夕内的两条相交直线，则。夕的一个充分而不必要条件是A.m p且1 a B.m I 且门 lC.m 夕 且n 4 D.m p且n 127.【答案】：B 解 析 若 根/根.u a,4 4 u0则 可 得all p.若all f t则 存

3、在4 c 4,加/2，/8.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指 定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A.0.35 B0.25 C0.20 D0.158.【答案】:B24 2 解析 由 随

4、 机 数 可 估 算 出 每 次 投 篮 命 中 的 概 率p-=-则三次投篮命中两次为60 5C/x P2x(l-P)0.25 故选 B9.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线,a le|a|=|c|,则|bc|的值一定等于A.以 a,b 为两边的三角形面积 B以 b,c 为两边的三角形面积C.以 a,b为邻边的平行四边形的面积 D 以 b,c 为邻边的平行四边形的面积9.【答案】：C 解析 依题意可得,d=W-|c|-cos（b,c）|=W.|t z|.|s i n（a,c）|=S 故选 C.b1 0 .函数/（幻=如+。工0）的图象关于直线1=-对称

5、。据此可推测，对任意的2 a非零实数a,b,c,m,n,p,关于x 的方程廿（切？+叭 x）+=0的解集都不可能是A.1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,1 6,6 4）1 0 .【答案】：D 解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程加（元）2 +nfx+P =0中%分别赋值求出/（幻 代入/（x）=0求出检验即得.第二卷（非选择题共1 0 0 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题4分，共 2 0 分。把答案填在答题卡的相应位置。21 1 .若=a+hi（i为虚数单位，a,b w R）则+方=_ _ _ _ _ _ _1 /1 1 .【答案】：2解析：由 二-=a+：n-2（

6、1 +，）_,=+所以。=1。=1 故。+力=2。1-z （l-i）（l +z）1 2 .某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为9 1,复核员在复核时;发现有一个数字（茎叶图中的X）无法看清。若记分员计算失误，则数字X应该是|_ 伊 晶4.一丁9 2 3 4 2 1 4：,1 2 .【答案】：1解析：观察茎叶图，士c,88+89 +89 +9 2 +9 3 +9 0 +X+9 2 +9 1 +9 4 ,可知有9 1 =-n x =1。91 3 .过抛物线y 2=2 pjv（p 0）的焦点F作倾斜角

7、为45 的直线交抛物线于A、B两点，若线段 A B 的长为8,则p=1 3 .【答案】：2解 析：由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 y =x-K,联 立 有2 Pp nx2_3p x+f=0,又|A8|=J(l +1 2)J(3 )2 _ 4 x f=8 n p =2。y =X 21 4.若曲线/(x)=ax3+I n X存在垂直于y轴的切线，则实数取值范围是.1 4.【答 案 工(-o o,0)解析：由题意可知f(幻=2 依 2+_ 1,又因为存在垂直于y轴的切线，x所以 2 ax H 0 c i -(x 0)c i G(o o,0)(x 2 x31 5.五位同学围成一

8、圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第1 0 0 个数时，甲同学拍手的总次数为1 5.【答案】：5解析：由题意可设第次报数，第+1 次报数，第+2次报数分别为4,。,山，区,+2,所以有4+。用=4+2,又4=1,。2=1，由此可得在报到第1 0。个数时，甲同学拍手5 次。三解答题1 6.(1 3 分)从集合 1,2,3,4,5 的所有非空干集中，等可能地取出一个。(1)记性质r：集合中的所有元素之和为1 0,

9、求所取出的非空子集满足性质r的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为自，求 J的分布列和数学期望1 6、解：(1)记所取出的非空子集满足性质r”为事件A基本事件总数 n=C；+C；+C；+C；=3 1事件A包含的基本事件是 1,4,5、2,3,5、1,2,3,4)事件A包含的基本事件数m=3所以p(A)=m =93n 3 1(I I)依题意，J的所有可能取值为1,2,3,4,5又 e=i)=%C=1 25_,C=2)=C24=10 ，c=3)C=3%=103 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1C4 5 C5 1照=4)=京=于放=5)=木=石故J的分布列为:r12345p53 11

10、 03 11 03 153 113 1从而 E*1XW+2XW+3XW+4X+5XL =刈3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 11 7(1 3 分)如图，四边形A B C D 是边长为1的正方形，平面A 8C D,N B _ L 平面4BCD,且 M D=N B=1,E 为 B C 的中点(1)求异面直线N E 与 AM所成角的余弦值(2)在线段A N上是否存在点S,使得E S,平面AMN?若存在，求线段A S的长；若不存在，请说明理由1 7.解析：(1)在如图，以 D为坐标原点，建立空间直角坐标。-肛 Z依题意，得 0(0,0,0)4(1,0,0)M(0,0,l),C(0,l,0),

11、N(l,1,1),(-,1,0)2.-.=(4,0,-1),AM.(-1,0,1)c o s=N E A MVioNExAM 1 0所以异面直线NE与A M所 成 角 的 余 弦 值 为 雪.A(2)假设在线段AN上存在点S,使得平面A A W.A N =(0,1,1),可设 A S =4 A N =(0,4/1),又 E 4 =(工,一1,0),，E S =E 4 +4 S =(工,/I 1,X).2 2(f 1ES AM=0,-+2 =0,由E S I平面AMN,得 即2ES AN=0,(A-l)+A=0.故4 =,此时AS=(O,L,L)ASI=X.2 2 2 2J o经检验，当A S

12、=J时，平面A M N.2故线段AN上存在点S,使得E S J平面AMN,此时A S也218、(本小题满分13分)如图，某市拟在长为8km的道路0 P的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段O S M,该曲线段为函数y=Asin6)x(A0,0 0)xw 0,4的图象,且图象的最高点为5(3,2 7 3)；赛道的后一部分为折线段M N P,为保证参赛运动员的安全，限定/M NP=120(I)求A,0的值和M,P两点间的距离；(I I)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能

13、力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一(I)依题意，有A=2 6,-=3,又7=生4co当 x=4是，y=2/3 s i n=3:.co=a y=2/3 sin x66.M(4,3)又(8,3),-.MP=V42+32=5(II)在MNP 中 NMNP=120,MP=5,设N P M N=6,则 0 9 +c o s (9)3 3 3 2 3=-y s i n(61+60()0 060,.当。=30时，折线段赛道MNP 最长亦即，将/P MN设计为30时，折线段道MNP 最长解法二：(I)同解法一(I I )在M N P 中，Z M N P=120 ,M P=5,由余弦定理得 M +N

14、P2-2 M N NP c o s Z M N P=M P2即 M N2+N P2+M N NP=2 5故(MN+NP)2-2 5=M N NP0)与 x 轴a的左、右两个交点，直线/过点B,且与X 轴垂直，S 为/上异于点B的一点，连结AS 交曲线C于点T.若曲线C为半圆，点 T为 圆 弧 的三等分点，试求出点S的坐标；(II)如图，点 M是以S B 为直径的圆与线段T B 的交点，试问：是否存在4,使得O,M,S 三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。19.【解析】解法一：(I)当曲线C为半圆时，。=1,如图，由点T为圆弧A 8 的三等分点得N B O T=60或 120

15、.当N B O T=60 时，Z S AE=30.又 AB=2,故在4S AE 中，有 S B =AB-t an 30=2 叵,3当。时，同理可求得点s的坐标为q2 a,综 上,s a竽或s(*)(II)假设存在a(a 0),使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上，故BT_LOS.显然，直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为y=%(x+”).人 2 _ 由 0,a0,:.a=五经检验，当a=V 2时,O,M,S三点共线.故存在a=3，使得O,M,S三点共线.解法二：(I)同解法一.(II)假设存在a,使得0 M S 三点共线.由于点M在以S。为直径的圆上，故S M L

16、87.显然，直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为y=Z(x+a)V i2由,a?+)一 得(1+。2/)2 +2“2k2+/k 2 -“2 =。y=k(x+a)4 2 _ 2设点7 ,为)，则有巧(-。)=:.l+ak-故/温，从而为 人(小加/亦即叫溪.扁).B(a,0),:.k，B T =J7,故=a2kx.r-a a k由卜一“得S(a,2ak),所直线SM的方程为y-2ak=a2k(x-a)y=k(x+a)O,S,M三点共线当且仅当0在直线SM上，即2ak=a2k(-a).aO,KO,:.a=/2故存在a=夜，使得O,M,S 三点共线.20、(本小题满分14分)1 ,己知函

17、数/(X)=/+以 2+法,且/(-1)=o(1)试用含a 的代数式表示b,并求/(x)的单调区间；(2)令。=一1,设 函 数/(X)在 X,%2(X *2)处 取 得 极 值，记 点 M (占，/(%)，N(X2,/(X2),),X|机 l 时，当 x 变化时，f(x)与/(x)的变化情况如下表：X(o o,1 2。)(-l,+o o)fM+f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数/(x)的单调增区间为(o o,l 2 a)和(一1,+8),单调减区间为(1 一2 名一1)。当a=l 时，1 一 加=1 此 时 有/(x)0 恒成立，且仅在x =-l 处/(x)=0,故函数/(x)的单

18、调增区间为R当“1 同理可得，函数/(幻的单调增区间为(8,1)和(1 一 加+8),单调减区间为(-1,1-2。)综上：当a 1 时，函数/(%)的单调增区间为(T,1 2 a)和(1,+8),单调减区间为(1 2 a,1)；当a=l 时，函数/(x)的单调增区间为R；当a 0.(2)=-(?/-2)2 03(-1)2+6 -(m2-4 m+4)03 m2-6m-(/n2-4/n +4)0tn 1-l m 2 或m 一 1,解得2 m 1又因为-1加43,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.21、本 题(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答

19、，满 分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，(1)(本小题满分7分)选 修4-4：矩阵与变换(2-3A已知矩阵J所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A 713,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标(2)(本小题满分7分)选 修4-4：坐标系与参数方程已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:x=l+2cos8(6为 参 数)试判断他们的公共点个数y=2+2sin 0(3)(本小题满分7分)选 修4-5：不等式选讲解不等式|2x-l|x|+121.(1)解:依题意得lllM=P ；),得阿|=1,故j),从而由就用得二:；MOM，32,、故 卜2,即A(2,一为为所求.卜=-3,解:圆的方程可化为(x+1)2+(y _ 2)2=4.其圆心为C(-l,2),半径为2.解:当x0时，原不等式可化为-2x+l 0又x O,;.x不存在；当时，原不等式可化为一2x+l 02又 0 x ,/.0 x ;2 22 2综上，原不等式的解集为3 0 X v 2|.