高考试题数学理(湖北卷).pdf

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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第1i卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1至 2 页，第 n 卷 3至 4 页，共 4 页。全卷共150分。考试用时120分钟。第 卷（选择 题 共5 0分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3.考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共

2、50分散。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=（G,l）,人是不平行于x 轴的单位向量，电 a b=6,则方=（B）A.（职）B.（黑）C.耳）D.（Q ）2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+38+c=1（）,则a=（D）A.4 B.2 C.-2 D.-423.若 AABC 的内角 A 满足 sin 2 A=,则 sin A+cos A=3(A)2+r r 24.设 _/(x)=lg，则/(；)+/(一)的定义域为2-x 2 xA.(-4,0)(0,4)B.(-4,-1)(1,4)C.(-2,-1)(1,2)D.(-4,-2)

3、(2,4)5.在（x-a产 的展开式中，x 的幕的指数是整数的项共有(B)(C)A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项6 .关于直线“2,与平面a,有以下四个命题:若z a,尸且a夕，则/”“；若m J _ a,_ 1 _ /?且 a J./?,则m _ L ；若根J _ a,夕且a 0，则加_ L；若根a,”_ L/?且a J _/?,则加；其中真命题的序号是(D)A.B.C.D.7 .设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,8两点，点Q与点尸关于轴对称，。为坐标原点，若8尸=2 2 4且O Q A 6 =l,则点尸的轨迹方程是(D)3 3A.3 x2+-/=

4、l(x 0,y 0)B.3 x2=l(x O,y 0)3 3C.-x2-3/=l(x 0,y 0)D.-%2+3/=l(x 0,y 0)8.有限集合S中元素的个数记做c a r d(S),设A,8都为有限集合，给出下列命题：A 8 =0的充要条件是 c a r d(A B)=card(A)+card(B)；A a 8的充要条件是card(A)card(B)：A(J B的充要条件是card(A)c a r d ；A =3的充要条件是card(A)=c a r d ；其中真命题的序号是(B)A.B.C.D.9.已知平面区域D由以4(1,3),8(5,2),。(3,1)为顶点的三角形内部&边界组成。

5、若在区域D上有无穷多个点(/y)可使目标函数z =x|m y取得最小值，则 机=(C)A.-2 B.-1 C.1 D.41 0.关于x的方程(/一1)2-卜2-1|+左=0,给出下列四个命题：(A)存在实数A ,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是A.0B.1C.2 D.3第1 1卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）注意事项：第I I卷用0.5毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二 填 空 题：本 大 题 共5小 题，每 小 题5分

6、，共2 5分，把答案填在答题卡相应位 置 上。1 1 .设 为 实 数，且一+匚=,则x+y=4 o1-z l-2 z l-3 z -1 2 .接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 0.94。（精确到o.0 1）1 3 .己知直线5 x 1 2 y +a=O与圆x 2 2 x+y 2=o相切，则a的 值 为 一7 8或8。1 4 .某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是2 0 。（用数字作答）1 5

7、.将杨辉三角中的每一个数C；都 换 成 一1一，就得到一个如右图所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 一?-一=一，其中x =（+i）q 5+i）c；/C Lr+1 o -a=-+=+-,则 l i m a”=。-3 1 2 3 0 60%（-D C：_ 2 _三 解 答 题：本 大 题 共6小 题，共7 5分，解 答 应 写 出 文 字 说 明，证明过程或 演 算 步 骤。1 6.（本小题满分1 2分）设 函 数/（x）=a（b，其 中 向 量 a=（s i n r-；c o c,Z?=（s i n 工,一 3 c o s x）,c =(-c o s x,s i n

8、x),x e R o(I )、求函数/(x)的最大值和最小正周期;(I I)、将函数/(无)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：(I)由题意得，f(x)-a-(b+c)=(sinx,cosx)-(sinx-cosx,sinx 3cosx)=sin2x-2sinxcosx3cox=2cos2x-sin2x=2+后 sin(2x+-).4所以，f(x)的最大值为2+J 5,最小正周期是女=万.237r 37r k TT 37r(I I )由 si

9、(2 x-)=0 得 2 xH.-k,乃，B|J x-Z,4 4 2 8丁 口 ,krr 3兀、,k7t 3万、2 ，,于是 d=(-,-2),d=J(-y+4 J Z.2 8 1 1 V 2 8因为女为整数，要使同最小，则只有k=l,此时d=(-p-2)即为所求.1 7.(本小题满分1 3分)已知二次函数y =/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)=6 x2,数列%的前n项和为S“，点(,S“)(G N*)均在函数y =/(%)的图像上。(I)、求数列 4的通项公式;3m(I I)、设a7；是数列依 的前n项和，求使得7；一 对 所 有 e N*都4 4+1 2 0成立的最小正整数m

10、；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：(I )设这二次函数九幻=奴2+云,则 广=2 ax+6,由 于 幻=6 x 2,得a=3,b=2,所以 f(x)3X2 2x.又因为点(,S )(w N*)均在函数丁=/(x)的图像上，所以S“=3”2 2 .当 n22 时,%=S 一Sn j C3n-2n)一(3(n 1)j 2(1)=6n 5.当=/时，a/=Si=3xJ2 2=6x1 5,所以，a=6n 5(n e N*)3 3 1 1 1(H)由(I )得知a=-=-F-n=-)，anan+(6 n-5)6(-l)-5

11、 1 2 6 n-5 6 +lM b 1“1、/1、z 1 1 、1 1 八 1 、t r 2 L 7 7 1 3 6-5 6 n +l J 2 6 +1i I/Ji 1 m因此，要使一(1-)w N*)成立的弱必须且仅须满足上W一，即2 6n+l 2 0 2 2 0机与1 0,所以满足要求的最小正整数，为10.1 8.(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABC。-4 4 G 中，P是侧棱C 上的一点，C P =m.(I)、试确定 机，使直线4 P与平面所成角的正切值为3亚；(I I)、在线段4 G上是否存在一个定点Q,使得对任意的加，D,Q在平面AP 上的射影垂直于A P,并证明你的

12、结论。点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。解 法1：(I)连A C,设A C与B D相交于点O,AP与 平 面 相 交 于 点，连结O G,因为PC平面B DD片，平面B D R B n平面APC=OG,ABI m故 OGP C,所以，O G=-P C=.2 2X AO BD,A OBB1,所以 AO_L平面,故NAGO是 A P与平面B DDB 所成的角.V20A -i在 RtZkAOG 中，tan AGO=上=3 4 2,Bp m=-.G O m 33所以，当 01=:时，直线A P与平面8 0。4 所

13、成的角的正切值为3&.（II）可以推测，点 Q 应当是AiG的中点Oi，因为D Q jA iG,且 D,O|A|A,所以 D Q|J_平面 ACGAi，又 A P u 平面 ACGA”故 DQ|_LAP.那么根据三垂线定理知，D Q i在平面APD,的射影与AP垂直。1 9.（本小题满分10分）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（7 0/0 0）。己知成绩在90分 以 上（含 90 分）的学生有12名。（I）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（II）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前5 0 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分?可共查阅的（部分）标准正态分布表中（与）

14、=P（x x0）01234567891.20.88490.88690.8880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97

15、930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力。解：（I）设 参 赛 学 生 的 分 数 为 因 为 4 N（70,100）,由条件知,9 0-7 0P（J?9 0）=l P（J0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4 为它的右准线。（I）、求椭圆的方程;（II）、设 P 为右准线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP,8 尸分别与椭

16、圆相交于异于A,B 的点M、N ,证明点B 在 以 为 直 径 的 圆 内。（此题不要求在答题卡上画图）点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（I）依题意得a=2c,=4,解得a=2,c=l,从而b=J 5.c故椭圆的方程为 二+二=1.4 3(II)解法 1 ：由(I)得 A(2,0),B(2,0).设 M(%).3；M 点在椭圆上，(4-x02).4又点M异于顶点A、B,J 2 4O0,A B M B P Q,则 N M B P 为锐角，从而Z M B N 为钝角,故点B在以MN为直径的圆内。解法 2：由（I

17、 ）得 A（-2,0）,B（2,0）.设 M 但，y,）,N （x2,y2）,则一2 4/2,2X2 2,又MN的中点Q的坐标为（*+0,3|+5 2-）,2 2依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差|B0|2-1|M N|2=（-2）2+2-:收一起尸+但一”尸=(%1 2)(x22)+yiyi又直线A P的方程为y=（x+2）,直线B P的方程为y=上 一（X 2）,玉 +2 x-y 2而点两直线A P与B P的交点P在准线x=4上，.&=&,即=3（-2）%M +2 x2-2 尤1+2/a又点M在椭圆上，则一 F =1,即y j=(4%12)4 3 4,1,5于是将、代 入 ，化简后可

18、得怛Q|=；(2一项)(-2)0.从而，点B在以MN为直径的圆内。2 1.(本小题满分1 4分)设x =3是函数y(x)=(x2+ax+b)e3x e R)的一个极值点。(1)、求。与b的关系式(用。表示b),并求/(x)的单调区间；25(I I)、设。()，g(x)=(/+若存在q,5 e 0,4使 得 火 灯 g)|l成立，求a的取值范围。点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：(I )f(x)J C2+(a2)x+Z?a eJ x,由/(3)=0,得 一 32+(a2)3+6 a/=0,即得 b=-32a,则 f(x)=x2+(a-2)

19、x-3-2a a e3x=x2+(a2)x3 3a(x 3)(x+a+l)e 3r.令/=0,得 =3或 检=a1,由于x=3是极值点，所以 x+a+I WO,那么 a#4.当 a 3=Xi，则在 区 间(一8,3)上，f(x)0,/为增函数；在区间+8)上，f(x)0,了为减函数。当 4 时，X23=X,贝！在 区 间(一8,6 7 1)上，f(x)0,/为增函数；在 区 间(3,+8)上，f(x)0时，在 区 间(0,3)上的单调递增，在 区 间(3,4)上单调递减，那么/在区间 0,4上的值域是0)，/,而 了 =一(2+3)e3 0,f(3)=a+6,那 么 在 区 间 0,4上的值域是-(2a+3)J,a+6 .25又ga）=（/+7），在区间上是增函数,且它在区间 0,4上 的 值 域 是+交49 S,(a2+)?,4由 于（J+竺4)(a+6)=a2 a+=4（。一士）22o,所以只须仅须225(J+)(。+6)43 0,解得 0 一.2故 的取值范围是（0,I）。