高考数学重点难点复习：数列的通项与求和.pdf

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1、数列的通项与求和数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前项和公式都可以看作项数的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前项和S”可视为数列 S“的通项。通项及求和是数列中最基木也是最重要的问题之与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.难点磁场()设 “是正数组成的数列，其前项和为S”，并且对于所有的自然数，为与2的等差中项等于乂与2的等比中项.(1)写出数列 a,的前3项.(2)求数列 a“的通项公式(写出推证过程)(3)令(巴 坦 +求 l i

2、m(bl+b2+b3+-+bn).2 an an+x-案例探究 例1 已知数列”“是公差为d的等差数列，数列 g是公比为夕的06R且q l)的等比数列，若函数4 x)=(x 1)，且a 1刁(d 1),的 三 次d+1),bijq+l),by=f q),(1)求数列。“和/“的通项公式；(2)设数列 的前项和为S”对一切“G N*,都 有?+?+1=即+|成立，求入 b2 cn命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属级题目.知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前项和，

3、实质上是该数列前项和与数列 为 的关系，借助通项与前项和的关系求解是该条件转化的突破口.错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量外、八d、q,计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列 4,运用和与通项的关系求出或，丝丝入扣.解：(I)：。/l)=(d 2)a?g(d+l)=cf,:.。3 。二 一(-2尸=2,/d=2,，。二处+-1)乐=2(-1)；又加R(q+l)=g 2,出口(夕-1)=(夕 2),*=q?,由夕 R,且q Wl,得q=-2,b q/.bn=

4、b qn=4 (2)i 令?=dn,则4+4+=a +i ,(e N*),bn：.dn=an-an=2y =2,D P cn=2 bn=S (2)w l；.Sn=1(2)”.43.$2川 1一(一2/用 _(一?2 +2 任S2 n 1 -(-2)2，)(一！产 _&$2 3 例2设4为数列 斯 的前项和,A =-3“一1),数 列 也 的通项公式为6“=4+3;2(1)求数列。“的通项公式；(2)把 数 列 与0的公共项按从小到大的顺序排成个新的数列，证明：数列 4,的通项公式为j=3 2 向；(3)设数歹U d“)的第项是数列6“中的第r项，以为数列bn的前r项的和；。“为数列(或的前项和

5、,Tn=B-Dn,求lim-f 8(%)命题意图：本题考查数列的通项公式及前项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.知识依托：利用项与和的关系求。“是本题的先决；(2)问中探寻 斯 与 6,的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.错解分析：待证通项4=3 2用与%的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到厂与的关系，使T”中既含有，又含有厂，会使所求的极限模糊不清.技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4一1,再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出与厂的关系，正确表示8,问

6、题便可迎刃而解.3 3解：(1)由可知/，用=彳(。什1 1),2 2/.7+|7,=(7+1 -a),即巴坦=3,而。|=小=3 (。|1),得。尸3,所以数列是以 32 4 2为首项，公比为3的等比数列，数列 g的通项公式。”=3 .(2)V32,+I=3 32 n=3 (4-1)2 n=3 42 n+C 42-1(-l)+-+C _|4 (-1)+(-1)2=4/7+3,.3 2 +i e g”.而数3加=(4-1 产川列七；“.4 2 1.(一 开+c；：-i .4.(一1)+(一 产=(4 A+D，.行 任仍”,而数列。”=。皿|“%，/4=3 2叫o 2 r t+l 0(3)由3

7、2向=4 7+3,可 知=二 J,B产 7 +价 +3)一心厂+5)=3 2 -3 32向 +7=2 2 _.(_ 尹)=2(9 -1),2 4 2 1-9 892W+,+4.32W+,-2 1 2 7:,T Br-Dn=十 4 Z1-Z/(9W-1)8 8=9 3 4“_ 11 3 2,+3,(%)4=3 4”，8 8 4Tn 9A l i m I =o T8(an)8锦 囊妙计1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.2.数列 为 前项和S”与通项a,的关系式：【S -S T，N 2

8、3.求通项常用方法作新数列法.作等差数列与等比数列.累差叠加法.最基本形式是：一4“1+(。“|+0,且 a,村一 a =0,又知数列b,的通项为b“=2 T+1.(1)求 数 列)的通项为及它的前“项和S”；(2)求数列 勾 的前 项和T”；(3)猜想S“与7”的大小关系，并说明理由.4()数列。“中，“1=8,。4=2 且满足0n+2=2。“+1 a“,(GN ).(1)求数列 为 的通项公式；设Q=a I +I ”(GN*),是否存在最大的整数a,使得对n(12-a)任意6N*均有T“”成立？若存在，求出加的值；若不存在，说明理由.325.(*)设数列 4 的前项和为5，且S=O+1)一

9、优对任意正整数都成立，其中加为常数，且相 o o o o汜知数列也 是等差数列,6产1 力1+岳+仇0=1 4 5.(1)求数列 儿 的通项儿;(2)设数列 “的通项为=l o g“(1+2)(其中。0且a#1),记S,是数列 为 的前项和，试b”比较S”与g l o g“瓦用的大小，并证明你的结论.7.(*W 设数列 “的首项。户1,前”项和S“满足关系式：3 麻一+3 况一产3 0,=2,3,4 ).(1)求证：数列仅“是等比数列；设数列 为 的公比为&),作数列/“,=1 ,bn=f )(M=2,3,4-)求数列 b”的hn-通项心；(3)求和：6 1 b 2 电岳+仇儿-+6 方-/2

10、 -L a+i.参考答案难点磁场解析：(1)由题意，当 =1 时，有 受 2 =2 百，S il，；2 =2 y，解得a 1=2.当 =2时，有收；2 =,S?二田+做，将。产2代入，整理得(一2 y 二 1 6,由口 2 0，解得牝=6.当 =3 时 ，有-=12 s3,5 3=0 1+0 2+0 3,将a i=2,。2=6 代入,整理得(。3-2 尸 二 6 4,由。3 0,解得。3=1。.故该数列的前3 项为2,6,1 0.(2)解法一：由(1)猜想数列 斯.有通项公式册二4-2.下面用数学归纳法证明 册 的通项公式是为二 4-2,(N*).当=1 时，因为4 义1-2=2,又在(1)中

11、已求出。尸2,所以上述结论成立.假设当身时，结论成立，即有4=必一2,由题意，有 产=必 7,将为一一2.代入上式，解得2b得义=2 后 由 题 意，有%+2=,2S*T,S 尸S*+a 价”将&二 2 好代入得(2)2=2(0*+2 必),整理得。*+/-4 o*+i+4 1 6 后=0,由a*+i 0,解得。4+|=2+4 4，所以公+尸2+4 代4(%+1)2,即当=1 时，上述结论成立.根据，上述结论对所有的自然数 GN”成立.解 法 二：由 题 意 知 色 色=必?，(e N*).整 理 得，S=-(即+2 产，由此得2 8S+1=：(。”+1+2)2,，4”+i=S“+i S,尸!

12、(。“+|+2 尸一(。“+2)2 .整理得(。”+斯)(。“+a“-4)=0,O O由题意知a+i+a H 0,。向一念二4,即数列。为等差数列，其中。=2,公差去4.,.4 =4 +(l)d=2+4(-1),即通项公式为a=4”一2.解法三：由 已 知 得 出|工=师,(6 1),所 以 有 锂 丑=阿 二 ，由式得S+=阿，整理得5 后一2 加 疯:+2 S“=0,解得反=6 土 后，由于数列 斯 为正项数列，而 何=V I.师+向71，因 而 瓦 =忘+向，即 s,是 以 两=行 为 首 项，以 后 为 公 差 的 等 差 数 歹 I J.所以后=V 2 +(n-1)V 2 =V 2

13、n,Sn=2 rT,故斯=,2,5 =1)s 一 ST=4 2,(2 2)即 an=4n 2(N*).令f T 则号曾+念-2)=-1 r(,-2-/7-+-1-1)+(-.-2-w-1-1)=-1 -1-,2 2-1 2 n +l 2 n-l 2/7 +1A 4-h2+6 一 =5 +c2+“1、，1 I、，=（|-）+（T-）+-+（11In-1 2 n+1）T 一 七*-l i m (A +%+b-)=l i m (1 一“Too歼灭难点训练一、1.解析:设%=1 z+l-z 1=1 (一严-(一)1=+T81 7 2(汐1-乙_ _ _2-722 1 2 +V 2 ,V 2答案：i+Z

14、22.解析：山题意所有正三角形的边长构成等比数列 为,可得。”=券，正三角形的内切圆构成等比数歹皿，可 得*c*产ia,，这些圆的周长之和c=l i m 2 （厂+尸2+尸 ）=3 戈aM-0O 2面积之和5=l i m4（/+尸2?+/）=Jn f g 9答案：周 长 之 和 辿 *a,面积之和工/29n二、3.解：（1）可解得生豆%+1，从而有S=/+,（2）rw=2M+w-i.（3）T-SA=2 -/-L 验证可知，=1 时，7 S i，=2 时72 V s 2;=3 时，73 V s 3；=4时，r 4 V s 4；=5 时，T5S5；=6 时 S 6.猜想当2 5 时 ，Tnsn,即

15、 2 2+可用数学归纳法证明（略）.4.解：（1）由 4+2=2%+4=。+2-。+1=。+1一。可知 成等差数列，d=2,/.an=1 0-2 n.4-1（2）由07=1 0可得W5,当时，S=2+9，当 月 5 时，S产二一9+40,故SfJ=一 2 +9nrr-9/7+401 /;5 6 二)九(12%)(2 +2)2 n n 4-1%=仄+&+4=：(1-：)+(；-；)+J -1 /=*八；要使7”得2 2 2 3 n/7 4-1 2(+1)32总成立，需2 7 尸(成立，即，8 且机G Z,故适合条件的机的最大值为7.5.解：(1)由已知S+1=(?+1)加。+，S=(7W+1)加

16、。，由一，得 4 +二 加 斯 一?4 +1,即(加+1)。+产 加。对任意正整数都成立.:7 为常数，且 mV 1.也=/一,即 2 为等比数列.%加+1 许+1(2)当)?二】时，a=m+ma,Q O w o o +2 7 W +1 W+1而 limBS%+4 4 +4_瓦)=lim3(2?：+-)=1“TOO 3 4 4 5 H+1 n+2由题意知lg二一=1,.-.=10,.-.m=m+1 m+9b=16.解：设数列 勾 的公差为d,由题意得：10(10-1)解得6=1,在3,106)+-d =14 5bn=3n2.(2)由 6“=3-2,知 S“=log“(1+l)+loga(l+J

17、 )+log(l+-)43-2=log“(l+l)(l+-)(l+-),log/+i=logV3/7+l.4 3 -2 3因此要比较S“与Llog“b“+i的大小，可先比较(1)(1+工)(1+一)与 跖 工 T 的大3 4 3 -2小，取=1时，有(1+1)/3+1取=2 时，有(1+1)(1+，)：3.2+1 4由此推测(1+1)(1+工)(1+一)，3 +1 4 3M-2若式成立，则由对数函数性质可判定：当。1 时，5 l o ga6+1.当 0。1 时，S”；k g/“+l,下面用数学归纳法证明式.(1)当=1 时，已验证式成立.(i i)假 设 当 时 6 21),式成立，即:(1

18、+1)(1 +-)-(1 +)。3 1 +1 .那么当 n=k+时，4 3k 2。+1)。+%小七)。+京3)用a+含户号(弘+2).宵(弘+2)I E 3(3 左+2/一(3%+4)(3 左+1-(3.+1 产。书 3=7 7因 而(依，(+)含)所方这就是说式当n=k+时也成立.由(i )(i i )可知式对任何正整数都成立.由此证得：当时，S|l o gA+i：当 0。1 时，S|l o gA+i7.解：由$=。1=1,$2=1+。2，得 3/(1+。2)一(2/+3)=3/.。2 二2 r +3 a23t q2 7+33/又 3/S 一(2 1+3)S -=3 1,3tSn-1(2/+

19、3 )SW-2=3/一得 3 s 一(2/+3)a”-i=0.&=丝 吧,g2,3,4，所以他“是一个首项为1 公比为生它的等比数列;4 T 3t 3t由&)=彳?/+上 3 =彳2 +士1 得勾二八1二 卜2+3一 3t 3 t b,3可见 0 是一个首项为1,公差为:2的等差数列.于是8=1 +|(-1)=2；;33(3)由2+1，可知使力门 和 必 是首项分 别 为1和5;，公差均 为14的等差数 列，于是岳=4 +13:bib2 b2b3+b3b4 b4b5+b2n-lb2n-b2nb2n+T=62(61 63)+64(63 65)+62(岳 -b2n+1)4 4 1 5 4/7+1 4=-T (岳+久+62)=1 7 7(彳 +I)=-(2+3)3 3 2 3 3 9