高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 抛物线教案(含解析)-高三全册数学教案.pdf

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1、第八节第八节 抛物线抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质y22px标准方程(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向焦半径(其中|PF|x02O(0,0)y0 x0pF，02pF，02e1pF0，2pF0，2px2px2py2py2x0，yR向右x0，yR向左|PF|y0，xR向上y0，xR向下pP(x0，y0)x02p|PF|y02p|PF|y02p小题体验1(2

2、018杭州七校联考)抛物线C：yax的准线方程为y21，则其焦点坐标为_，实数a的值为_41解析：由题意得焦点坐标为0，抛物线4C的方程可化为x2111y，由题意得，解得a1.a4a41答案：0，412焦点在直线2xy20 上的抛物线的标准方程为_答案：y4x或x8y3(教材习题改编)抛物线y4x的焦点坐标为_；准线方程为_11解析：抛物线的标准方程为xy，所以焦点坐标为0，16422221准线方程为y.161答案：0，161y161抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0 才能证明其几何

3、意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义3抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定小题纠偏1 平面内到点(1,1)与到直线x2y30 的距离相等的点的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线答案：D2抛物线 8xy0 的焦点坐标为_1解析：由 8xy0，得xy.8222 D一条直线1112p，p，焦点为0，.328161答案：0，32考点一抛物线定义及应用重点保分型考点师生共研典例引领121(2019温州十校联考)设抛物线C：yx的焦点为F，直4线l交抛物线C于A，B两点，|AF|3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为 4，则|BF|()7A.B52C4

4、 D32解析：选 B抛物线C的方程可化为x4y，由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为 4，可得|AF|BF|8，又|AF|3，所以|BF|5.2已知M是抛物线x4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)(y5)1 上，则|MA|MF|的最小值是()A4C6 B5 D72222解析：选 B依题意，由点M向抛物线x4y的准线l：y1 引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|MF|MA|MM1|，结合图形可知|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于 615，因此|MA|MF|的最小值是 5，故选 B.由题悟法应用抛物线定义的 2 个关键点(1)由抛物线定

5、义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|.22即时应用1如图，设抛物线y4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()|BF|1A.|AF|1|BF|1 B.2|AF|122pp|BF|1C.|AF|1|BF|1 D.2|AF|12解析：选 A由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与|BC|ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知其|AC|焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，

6、B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|BC|BM|BF|1|AF|1.在CAN中，BMAN，.|AC|AN|AF|12已知直线l1：4x3y60 和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()3 5A.B2511C.5 D32解析：选 B由题可知l2：x1 是抛物线y4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：|406|4x3y60 的距离，所以最小值是2.

7、5考点二抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点多角探明锁定考向抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现常见的命题角度有：(1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性题点全练角度一：求抛物线方程1(2019台州重点校联考)已知直线l过抛物线y2px(p0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是 8，AB的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线的方程是()Ay12xBy8xCy6x2222 Dy4x2解析：选 B过A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线定义知|AF|AA1|，|BF|BB1|，则|AA1|p|BB1|228，解得p4，所以此抛物线

8、的方程是2y28x.角度二：抛物线的对称性x2y22已知双曲线221(a0，b0)的两条渐近线与抛物线aby22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为 3，则p()A1C23 B.2 D3b解析：选 B双曲线的渐近线方程为yx，a因为双曲线的离心率为 2，所以y 3x，b2b122，3.由2aay2px，x0，解得y0或2 3py3.2px，3由曲线的对称性及AOB的面积得，12 3p2p2 3，233393解得p，即pp 舍去.2422通法在握求抛物线方程的 3 个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(

9、2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题演练冲关1(2019宁波质检)已知点M是抛物线C：y2px(p0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为()A1C3 B2 D422解析：选 D抛物线C：y2px(p0)的焦点为pF，0，设2y2py211M，y1，由中点坐标公式可知 22，y1022，解得22p2pp4.2(2019丽水高三质检)过抛物线C：y4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q 两点，与抛物线准线交于M，且FM3FP，则|FP|()3A.24C.32 B.33

10、 D.42解析：选 C设直线l的倾斜角为，如图所示，过点P作PN垂直准线于点N，由抛物线定义知|PN|PF|.FM3FP，|FM|3|FP|，即|PM|2|PN|.11在 RtMNP中，cosMPN，PNx轴，cos，由抛物2244线焦半径的性质可得|PF|，即|FP|.1cos13312考点三直线与抛物线的位置关系重点保分型考点师生共研p2典例引领(2018长兴中学模拟)已知抛物线C1：y2px(p0)的焦点为F，P为C1上一点，|PF|4，点P到y轴的距离等于 3.(1)求抛物线C1的标准方程；(2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点2D在直线yx上，P(0,2)为定点

11、，求PAB面积的最大值解：(1)由题意，34，p2，2所以抛物线C1的标准方程为y4x.(2)设直线AB：xtyb，A(x1，y1)，B(x2，y2)xtyb，联立方程2y4x22p消元化简得y4ty4b0，16t216b0.且y1y24t，x1x2t(y1y2)2b4t2b，所以D(2tb,2t)，2tb2t.由0 得 0t2.|2tb|2t4t|所以点P到直线AB的距离d22，1t1t2222所以|AB|1t216t16b4 1t1t2222tt，2|2t4t|2tt21t2211所 以SABP|AB|d4222 2tt|2t4t|.令m 2tt，则m(0,1，且SABP4m.3222由函

12、数单调性可知，(SABP)max4.由题悟法解决直线与抛物线位置关系问题的 2 种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式即时应用如图所示，已知抛物线C：y4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点(1)若线段AB的中点在直线y2 上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线l的方程解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)因为线段AB的中点在直线y2 上，2所以直线l

13、的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，2y14x1，y0)，由2y24x2，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以 2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得xmy1，2y4x，2消去x，得y4my40，22所以y1y24m，y1y24，16(m1)0.|AB|m1|y1y2|m1m14(m1)所以 4(m1)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019湖州质检)已知抛物线y2px(p0)，点C(4,0)，过抛物线的焦

14、点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若CAB的面积为 24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()Ay4xBy4x2222222y1y24m224y1y244Cy8x2 Dy8x2解析：选 DABx轴，且AB过点F，AB是焦点弦，|AB|p12p，SCAB 2p424，解得p4 或p12(舍去)，22直线AB的方程为x2，以直线AB为准线的抛物线的标准方程是y8x，故选 D.2(2018江山质检)在抛物线y2px(p0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为 5，则p的值为()1A.2C2 B1 D322解析：选 C由抛物线的定义可知，4 5，解得p2.23(2018珠海模拟)已知抛物

15、线y4x的焦点为F，准线为2pl，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PAl，垂足为A，|PF|4，则直线AF的倾斜角等于()7A.123C.422 B.35 D.6解析：选 B由抛物线y4x知焦点F(1,0)，准线l的方程为x1，由抛物线定义知|PA|PF|4，所以点P的坐标为2 30(3,2 3)，因此点A的坐标为(1,2 3)，所以kAF 3，112所以直线AF的倾斜角为.34(2019宁波六校联考)已知抛物线C：y2 3x，过焦点F且斜率为 3的直线与C相交于P，Q 两点，且P，Q 两点在准线上的投影分别为M，N两点，则SMFN()A8C4 3 B2 3 D8 33，F3，0.不妨设点P

16、22解析：选B法一：由题意可得p在x轴上方，由抛物线定义可知|PF|PM|，|QF|QN|，设直线PQ 的倾斜角为，则tan 3，由抛物线焦半径的3性质可知，|PF|2 3，|QF|1cos1cos1cos32 3，|MN|PQ|sin(|PF|QF|)sin331cos33p3p8 33114，SMFN|MN|p 4 32 3.3222法二：由题意可得3xF3，0，直线PQ 的方程为2y332 3x，与抛物线方程y2 3x22联立，得32923x2 3x，即 3x5 3x 0，设P(x1，y1)，245 35 38 3Q(x2，y2)，则x1x2，|PQ|x1x2p 3，333直线PQ 的斜

17、率为 3，直线PQ 的倾斜角为.|MN|PQ|sin38 3314，SMFN 4 32 3.33225已知点P在抛物线y4x上，且点P到y轴的距离与其到1焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_2解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y4x的准线方程为22x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的1距离，故，xP12解得xP1，所以yP4，所以|yP|2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1(2018临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y1 相切，则动圆圆心的轨迹方程为()Ay0 Cx4y22xP Bxy1 Dy4x22222解析：选 C设动圆圆心M(x，y)，则xy1

18、|y1|，解得x4y.2(2018绍兴二模)已知抛物线C：y4x的焦点为F，直线22y 3(x1)与抛物线C交于A，B两点(A在x轴上方)若AFmFB，则m的值为()A.3C23 B.2 D334 322解析：选 D直线方程为xy1，代入y4x可得y332 3y40，则yA2 3，yB，所以|yA|3|yB|，因为AFmFB，3所以m3.3(2018宁波十校联考)已知抛物线x4y，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角|AF|为 30，则的值等于()|BF|A35 B.23 D.22C23解析：选 A由题可得，F(0,1)，设l：yx1，A(x1，y1)，3B

19、(x2，y2)将直线方程与抛物线方程联立，消去x，化简得 3y21|AF|y1110y30，解得y13，y2.由抛物线的定义可知3|BF|y21313.113124已知P为抛物线yx上的动点，点P在x轴上的射影为2点M，点AA817的坐标是6，则|PA|PM|的最小值是(2)19 B.221 D.21F0，准线方程为2C10解析：选 B依题意可知焦点延长PM交准线于点H(图略)y，121则|PF|PH|，|PM|PF|，21|PM|PA|PF|PA|，2即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA|62171210.22119所以|PM|PA|10，故选 B.225(2019嘉

20、兴六校联考)已知抛物线C：y2px(p0)的焦3点为F，点M在抛物线C上，且|MO|MF|(O为坐标原点)，则22OMMF()7A49C.4解析：选A设M(m，7 B.49 D4p2pm)，抛物线C的焦点F的坐标为，0，239p32因为|MO|MF|，所以m2pm，m，由2422111解得m，p2，所以M，2，F(1,0)，所以OM，2，MF2221，22，故17OMMF 2.4426(2018宁波期初)已知抛物线x4y的焦点为F，若点M在抛物线上，|MF|4，O为坐标原点，则MFO_.解析：由题可得，p2，焦点在y轴正半轴，所以F(0,1)因为|MF|4，所以M(2 3，3)2 3所以 ta

21、nMFOtan(MFO)3，312所以MFO.32答案：37设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的2斜率的最大值为_解析：如图，由题可知pF，0，设2P点坐标为2y01，y0(y00)，则OMOFFMOFFP2p3y03112y0py0OF(OPOF)OPOF，kOM26p33333yp06p3222，当且仅当y02p时等号成立，所以直线OM的y02p2 22222py02斜率的最大值为.22答案：28(2018嵊州一模)设抛物线y4x的焦点为F，过点M(5，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交

22、于C点，2SBCF|BF|3，则BCF与ACF的面积之比_.SACF解析：设点A在第一象限，B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为xmy 5.由y24x，得p2，因为|BF|3x2 x21，所以x22，则y24x2428，所以y2222y4x，2，由xmyp25，得y4my4 50，则y1y24 5，25所以y1 10，由y4x1，得x1.过点A作AA垂直于准线x2211，垂足为A，过点B作BB垂直于准线x1，垂足为B，SBCF|BC|BB|易知CBBCAA，所以.又|BB|SACF|AC|AA|7SBCF36|BF|3，|AA|x1 1，所以 .222SACF77

23、26答案：79(2018杭州高三检测)如图，过抛物线M：yp5x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.(1)设A(x0，x0)(x00)，求直线AB的方程；|OB|(2)求的值|OD|解：(1)因为y2x，所以直线AB的斜率ky|xx02x0，所以直线AB的方程为yx02x0(xx0)，即y2x0 xx0.(2)由(1)得，点B的纵坐标yBx0，所以ABx0的中点坐标为，0.22222设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为xmy.2x0 xxmy20，由yx2，

24、得m y(mx01)y 0.422x20因为G为ABC的重心，所以y13y2.由根与系数的关系，1mx0 x02得y1y24y22，y1y23y22.m4m所以y2221mx0416m2x202，12m解得mx032 3.x0 x20所以点D的纵坐标yD，2m64 3|OB|yB故4 36.|OD|yD10(2018台州模拟)已知抛物线C1：y4x和C2：x2py(p0)的焦点分别为F1，F2，点P(1，1)，且F1F2OP(O为坐标原点)(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求PMN面积的最小值解：(1)由题意知F1F2OP，pp1，F1

25、F2OP(1，1)1 0，22ppF1(1,0)，F20，则F1F21，2222p2，抛物线C2的方程为x4y.(2)设过点O的直线为ykx(k0)，ykx，联立2y4xykx，联立2x4y2得44M2，kk得N(4k,4k)，424kk424k，k2从而|MN|1k21k2|k1|又点P到直线MN的距离d2，1k41|k1|2故SPMN 1k24k22k1k21k1k3k221k21kk2k2112k 2k 1，kk1令tk(t2)，k则SPMN2(t2)(t1)8，当t2，即k1 时，SPMN取得最小值即当过点O的直线为yx时，PMN面积的最小值为 8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2

26、018台州高三模拟)已知抛物线x2py(p0)，点M是抛物线的准线与y轴的交点，过点A(0，p)(R)的动直线l2交抛物线于B，C两点(1)求证：MBMC0，并求等号成立时实数的值；(2)当2 时，设分别以OB，OC(O为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D，求|DO|DA|的最大值解：(1)由题意知动直线l的斜率存在，且过点A(0，p)，则可设动直线l的方程为ykxp，代入x2py(p0)，消去y并整理得x2pkx2p0，2224p2(k22)0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1x22pk，x1x22p，2y1y2(kx1p)(kx2p)k2x1x2pk(x1x2)2p22p2，

27、y1y2k(x1x2)2p2pk22p2p(k2)因为抛物线x2py的准线方程为y，2所以点Mp的坐标为0，22p所以ppMBx1，y1，MCx2，y2，22ppMBMCx1x2y1y222所以x1x2y1y2(y1y2)24pp22pp 2p(k)24p2222p2p2212k 0，2 1当且仅当k0，时等号成立2(2)由(1)知，当2 时，x1x24p，y1y24p，所以OBOCx1x2y1y20，所以OBOC.设直线OB的方程为ymx(m0)，与抛物线的方程x2py联立可得B(2pm,2pm)，所以以OB为直径的圆的方程为xy2pmx2pmy0.因为OBOC，1所以直线OC的方程为yx.

28、2222222m同理可得以OC为直径的圆的方程为2p2pxyx2y0，22mm即m xm y2pmx2py0，将两圆的方程相加消去m，得xy2py0，即x(yp)p，所以点D的轨迹是以OA为直径的圆，所以|DA|DO|4p，222222222222|DA|DO|DA|DO|2，由22得|DA|DO|2 2p，当且仅当|DA|DO|2p时，等号成立故(|DA|DO|)max2 2p.2.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2px(p0)因为点P(1,2)在抛物线上，所以 2 2p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y4x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.22222y12y22则kPA(x1)，kPB(x1)，x111x212因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.2y14x1，由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得2y24x2，所以，所以y12(y22)1212y11y2144y12y22所以y1y24.由得，y1y24(x1x2)，22y1y24所以kAB1(x1x2)x1x2y1y2