高考试题数学理解析版.pdf

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1、2009年普通高等等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共 4 0 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若 lo g 2 a l,b 0 B.a l,b 0 C.0 a 0 D.0 a l,b 0【答案】：D【解析】由lo g 2 a 0 得0 l 得b 0,所以选D 项。2 .对 于 非 0向时a,b,“a/b”的确良（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】由。+匕=0,可得。=一匕，即得。匕，但q b,不 定 有 a =-b,所以“a +b =0

2、”是“a 6 的充分不必要条件。3 .将函数y=s i n x 的图象向左平移夕（0 9 =V（x20）的图像分别对应曲线G 和C,1 +/IX则 BA O4/1 B o44c 440D 44 0,40,即排除c,D项，又取x =i,知 对 应 函 数 值 =,%=-/=Ji+4 Ji+4由图可知3 4,即选B项。5.从1 0名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 CA 8 5 B5 6 C4 9 D 2 8【答案】：C【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：C C；=4 2,另一类是甲乙都去的选法有C 1C；=7,所

3、以共有4 2+7=4 9,即选C项。6.已知D是由不等式组A-2 V-0,所确定的平面区域，则圆/+2=4在区域口内x+3y0的弧长为 B71A 471B 2CT3万D 2【答案】：B【解析】解析如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1,-工，所以圆心角a即为两2 3I-I直线的所成夹角，所以ta n a =/=1 ,所以a =卫，1+、（二）1 42 3TT而圆的半径是2,所以弧长是2,故选B现。2x +3 y=07.正方体ABCD44G 2的棱上到异面直线AB,eq的距离相等的点的个数为（C）A.2B.3C.4D.5 答案1 CA4B【解析】解析如图示，

4、则 B C 中点，4点，D点,R 点分别到两异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个，故选C 项。8.设函数y=/(x)在(-8,+o o )内有定义。对于给定的正数K,定义函数f k MK,f(x)K取函数/(x)=2-x-eL 若对任意的x e(+8,-8),恒有 x)=/(x),则A.K的最大值为2 B.K的最小值为2C.K 的最大值为1 D.K的最小值为1 【D】【答案】：D【解析】由/(尤)=1-=0,知 x =0，所以 x e (-,0)时,f (x)0，当 x e (0,+)时,/,(x)0,t a n(a)=c o t a =-0,所 以2 2 t a n a2t a n a

5、+t a n(乙一a)=2t a n a +5 2 2,当且仅当t a n a j 时取等号，即最小值是2 t a n a2V 2 O12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为6 0 ,则双曲线c的离心率为逅2【答案】：2【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，山条件知，这个三角形的两边直角分别是b,c(b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是3 0,即得2 =t a n 3 0,所以c =,C所以a =离心率e =6a2 213、一个总体分为A,B两层，其个体数之比为4：1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙 都 被

6、 抽 到 的 概 率 为 则 总 体 中 的 个 数 数 位 卫。28【答案】：4 0【解析】由条件易知6层中抽取的样本数是2,设6层总体数是，则又由8 层中甲、乙C2 1都被抽到的概率是二=-,可得=8,所以总体中的个数是4 x 8+8=4 0C：2814、在半径为13 的球面上有A,B,C 三点，A B=6,B C=8,C A=1 0,则(1)球心到平面ABC的距离为2_；(2)过 A,B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为(锐角)的正切值为 J【答案(1)12；(2)3【解析】(1)山AA8 C的三边大小易知此三角形是直角三角形，所以过4,8,。三点小圆的直径即为10,也即半径是5,设球

7、心到小圆的距离是d,贝岫/+5 2=1 32,可得d=12(2)设过ABC三点的截面圆的圆心是。”AB中点是。点，球心是。点，则连三角形O 0D,易 知 就 是 所 求 的 二 面 角 的 一 个 平 面 角，o,r =JO,A2-()2=4,所以/。=驳=3,即正切值是3。O p 415、将正/ABC分割成 2(”22,neN)个全等的小正三角形(图2,图 3分别给出了n=2,3 的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于/ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C 处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n),

8、则 有 f(2)=2,f(3)=y,f(n)=1-(n+l)(n+2)6【解 析】当 n=3 时，如 图 所 示 分 别 设 各 顶 点 的 数 用 小 写 字 母 表 示，即由条件知a+b+c=l,x+x2=a+b,yt+y2=b+c,Zi+Z2=c+ax1+x2+y2+Z+z2=2(a+h+c)=2,2 g=xi+y2=x2+zl=y1+z26g=x+x2+y1+y2+Z2=2(a+b+c)=2即 g=而f(3)=a+/+c+xl+x2+yl+y2+z1+z2+g=l +-=进一步可求得 4)=5。由上知/中有三个数，/(2)中 有 6个数，/(3)中共有1 0 个数 相 加，/(4)中

9、有 1 5 个数相加.，若/(1)中有a,i(”l)个数相加，可得/()中有(a,i+1)个数相加，且由/(l)=l =|,/(2)=|=/(l)+|,/(3)=y =/(2)+1(7(4)=5 =/(3)+|,.H 4-1可得/()=/(1)+寸 ，所以_,、+1 ，/c、+1 n 7 1 +1 n n-3 ”八/(/)=/(-1)+=/(n-2)+-=-+-+-+n+1 n n 3 2 1 1 .=-+-+-+-+=(+1)(+2)3 3 3 3 3 3 6三.解答题：本大题共6小题，共7 5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 6.（本小题满分1 2分）在A A B C,已知2

10、而 衣而，入4=3 8。2,求角A,B,C的大小。解：设=a,AC=/?,A8 =c由2筋.怒=6|筋口尼卜导2 8 cco s A=J b c,所以co s A=亭JT又Ae(0,),因此4 =上6由 而|X c|=3 B C2 得 儿=技2,于是s i n。.s i n 8 =石s i n2 A 今所以s i n O s i n(包-C)=,s i n C (co s C+s i nC)-,因此6 4 2 2 42 s i n C.co s C+2百s i i?C =s i n 2 C-G e o s 2 c =0,既s i n(2 C-y)=0.7 T .5兀 冗 -兀 4%.由A:一

11、知0C，所以，2 c 2,yp l),AD=(设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z)，则有iv AB=y3x+y=0,n A C1=2y+0,解得 x=-y,z=-4 2 y,3故可取 n=(l,V6)o所以,cos(n AD)=n-ADnAD由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为。151 9.(本小题满分13分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 2米，余卜工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为2 56万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 +4)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素,记余下工程的费用为

12、y万元。(I )试写出y关于x的函数关系式；(I I)当?=6 40米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(I )设需要新建个桥墩，(+l)X =7,即1 1=一1X所以 y=f (x)=2 56 n+(n+1)(2+V x)x=2 56(-1)+(2 +V x)xx x=2S+my/x+2 m 2 56.x2 56加 1 -m -(I I)由(I )知，f x)=-2-mx1-z-(x2-51 2).x 2 2 x3令/(x)=0,得/=5 12,所以x=6 4当 0 x 6 4 时 f(x)0,/(x)在 区 间(0,6 4)内为减函数;当6 4 c x 0./(x)在 区 间(6 4,6

13、 40)内为增函数,n?6 40所以/(x)在x =6 4处取得最小值，此时，n=-l =-1 =9.x 6 4故需新建9个桥墩才能使y最小。2 0 (本小题满分1 3分)在平面直角坐标系x O y中，点P到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与1 8之和，(I )求点P的轨迹C；(I I)设过点F的直线1与轨迹C相交于M,N两点，求线段M N /V：i F长度的最大值。K !解(I )设点 P 的坐标为(x,y),则d=4j(x-3)2 _ y 2+3|x-2x-2Iw,由题设当 x 2 时，由得 J(x -3)2 +、2 =

14、6 _ x,化简得2 9-X-J1-3 6 2 7=1.当x W 2 时 由 得 J(3 +x)2 +)，2 =3 +x,化简得V=i 2 x2 2故点P的轨迹C是椭圆G：友+=1在直线x=2的右侧部分与抛物线C2：V=1 2 x在直线x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线，参见图1(I I)如 图2所示，易知直线x=2与&,C2的交点都是A(2,2 6),B (2,-2A/6),直线AF,B F的斜率分别为原产-2指，kBF=2 y6.当点p在G上时，由知PF=6-x.当点P在 上 时，由知PF=3+x 若直线1的斜率k存在，则直线1的方程为y =女 一3)(i)当或k戏

15、即k W-2指 时，直线I与轨迹C的两个交点M (为，),N (x,y,)都在C 上，此时由知I M F|=6 -%.|N F|=6 -x2 ,2 2从而 I M N I=|M F|+|N F|=(6 -x.)+(6 -x )=1 2-(x.+x )2 2 2 2 2y=k(x-3)由,丁 丫2 得(3+4/)/_ 2 4左2+3 6右一 1 0 8 =0则玉，%是这个方程的两根,+=136 2 724k2 1 1 2 G 2所以X+x =-*I M N|=1 2 -(X+X)=1 2 -1 2 3+4 公 2 1 2 3+止因为当kW2卡，或k N 2函 时,二 2 2 4,|M N|=1

16、2-12k23+4公1 00TT当且仅当k=2 7 6时，等号成立。(2 )当 kAE k kAN,-2y/6 k 2 6 时，直 线L与 轨 迹C的 两 个 交 点Ma，,）”5,%）分别在G，G上，不妨设点M在G上，点上，则知，M F 6-xi,NF=3+x2设直线A F与椭圆G的另一交点为（%,%）,则。当,&2.M F 6-xt 6-xQ=EF,NF3+x23+2=AF所以MN|=|MF|+|NF|0,对任意的 e N ,恒有|%+|-%|+Un-M-1|+-+|M2则称数列 “为B-数列（1）首项为1,公比为q（q 1）的等比数列是否为B-数列？请说明理由；请以其中一组的个论断条件，

17、另一组中的个论断为结论组成个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（2）设S,是数列%的前项和，给出下列两组论断；A组：数列 当 是B-数列 数列%不是B-数列B组：数列 S“是B-数列 数列 S.不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论：(3)若数列%,2 都是6-数列，证明：数列%也是6 数列。解(1)设满足题设的等比数列为 ，则a=q,于是k-%I=卜 卜2|q-,n 2因此 I%+a“+1 I +1 I =|gT|(i+|g|+|循+.+k-).因为同i,所以1+|同+/+.+同1=坐？占,即i-I|%+i

18、一叫+|生-引 故首项为1,公比为4(同1)的等比数列是B-数列。(2)命 题1：若数列%是B-数列，则数列 S J是B-数列次命题为假命题。事实上，设X“=1,N，易知数列%,是B-数列，但S“=|s“_i-s“|+-s“+J+应 一 s j=由n的任意性知，数列 S J是B-数列此命题为。命题2：若数列 S J是B-数列，则数列 乙 是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列 S,是B-数列，所以存在正数M,对任意的we 1,有|5W+1-5|+|-5,I|+.+|S2-51|A/即 lz+J+kl+|%|W M。于是|x”+i-x,J+xn x_|+.+|x2-xj引3|+2同+2氏/+.

19、+2闯+2闻W2M+闻所以数列 七 是B-数列。(III)若数列 4 是 数 列，则存在正数根加2,对任意的“e N,，有|o+|a +an -an_l+.+a2-alMiM+i-M +h -6-1|+也一仇|知2注意至U|a“|=an-a _|+a _|+-2+.-+a2+卬|-an -an-|+a,-l-an-21 +-+1 2-ai|+|fll|-1+|fll|同理：同4+间记长2=%+网，则有长2=知2+1,+也用一。也|=,“+也用一 0也+1 +4也+-4也I引%I0川 一。+14|%-4 1 4&I%-|+&他+|因此 K|(|%心|+bn-%卜 E -4|)+匕+K帆+i-2卜心-%卜 a2-al)k2Mi+ktM2故数列 a/.是8-数列