高考试题——数学(江西卷)(理).pdf

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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第I I卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第I I卷3至4页。全卷满分1 50分，考试时间1 2 0分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2 .答 第I卷时，每小题选出答案后，用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 .答第H卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4 .考试结束，监考人员将试

2、题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么P(A+3)=P(A)+P(3)如果时间A、B相互独立，那么P(A B)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 勺 =C；P(1 P)球的表面积公式S =4万R 2,其中R表示球的半径4球的体积公式V =万7?3,其中R表示球的半径3第I卷(选 择 题 共60分)一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1、已知集合乂=x|.-0 ,N=y|y=3 x2+l,XGR ,则 MCN=()(x1)A.0 B.x|x l

3、C.x|x l D.x|x N l 或 x 0,b 0,则不等式一b L a等 价 于（）XA.一，x 0 或 0 x !B.x C.x -D.x 1b a a b a b b a4、设0为坐标原点，F为抛物线y 2=4 x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF=-4则点A的 坐 标 是()A.(2,2 0)B.(1,2)C.(1,2)D.(2,2 5、对于R上可导的任意函数f (x),若 满 足(x-1)f(x)0,则 必 有()A.f (0)+f (2)2 f (1)B.f (0)+f (2)2 f (1)C.f (0)+f (2)2 f (1)6、若不等式x 2+a x +1 2 0 对于

4、一切x e (0,)成立，则 a的取值范围是()25A.0 B.-2 C.D.-327、已知等差数列 aj的 前 n项和为S,若 O6=a1 O A+a 2000 c，且 A、B、C三点共线(该直线不过原点0),则 S20 0=()A.1 0 0 B.1 0 1 C.20 0 D.20 18、在(x Q )颂6 的二项展开式中，含 x的奇次幕的项之和为S,当乂=&时，S 等于()9、P是双曲线一 2=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+9 16丁=1 上的点，则|P M|一|P N|的最大值为()A.6 B.7 C.8 D.91 0、将 7 个人(含甲、乙)分

5、成三个组，一组3 人，另两组2 人，不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为P，则 a、p的值分别为()5 4 5 4A.a=1 0 5 p=B.a=1 0 5 p=C.a=21 0 p=D.a=21 0 p=21 21 21 211 1、如图，在四面体A B C D 中，截面A E F经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心0,且与B C,D C 分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-B E FD与三棱锥A E FC 的表面积分别是S”S2,则 必 有()A.Si S2C.Si 二 S2D.Si,S2的大小关系不能确定1 2、某地一年的气温Q (t)(单位：

6、c)与时间 t(月份)之间的关系如图(1)所示，已知该年的平均气温为1 0 c,令 G (t)表示时间 段(O,t)的平均气温，G (t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是()C理科数学第 1 1 卷(非 选择题 共 90 分)注意事项：请用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 1 6分，把答案填写在答题卡的相应位置。1 3、数 列 -4 的前n项和为S,则 li m Sn=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4n1 n-81 4、设 f (x)=lo g 3(x+6)的反函数为

7、(x),若(f l(m)+6)(f-1(n)+6)=27则 f (m+n)=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 5、如图，在直三 棱 柱 A B C A B i G 中，底面为直角三角形，Z A C B =90 ,A C=6,B C=C C 1=逝，P是 B C|上一动点，则 C P+P A 的最小值是1 6、已知圆 M：(x+c o s0)2+(y si n G)2=1,直线/：(A)(B)(C)y=k x,下面四个命题：对任意实数k与。，直线/和圆M 相切；对任意实数k与。，直线/和圆M 有公共点;对任意实数。，必存在实数k,使得直线/与和圆M

8、 相切(D)对任意实数k,必存在实数。，使得直线/与和圆M 相切B 1其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)三、解答题：本大题共6 小题，共 74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 7、(本小题满分1 2 分)2己知函数f(x)=x3+a x2+b x+c 在 x =与 x =1 时都取得极值3(1)求 a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对X G (1 ,2),不等式f(X)4 2 恒成立，求 C的取值范围。1 8、(本小题满分1 2 分)某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9 个白球，1 个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金1

9、 0元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令&表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：(1)&的分布列(2)1 的的数学期望1 9、(本小题满分1 2 分)如图，已知A A B C 是边长为1 的正三角形，M、N分别是边 A B、A C 上的点，线段M N 经过A A B C 的中心G,设 N M G A=a (_ 4 a 4-)3 3(1)试将A C M、Z A G N 的 面 积(分 别 记 为&与 S z)表示为a 的函数.C11(2)求 k*的最大值与最小值20、(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-B C D 中，侧面ABD、ACD是全等的直角三

10、角形，AD是公共的斜边,且 A D=G，B D=C D=1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD1BC(2)求二面角B-A C-D 的大小(3)在直线AC上是否存在一点E,使 ED 与面BCD成 30。角？若存在，确定E 的位置;若不存在，说明理由。21、(本大题满分12分)2 2如图，椭圆Q：二+4=1 (ab0)的右焦点F(c,0),过点F 的一动直线m 绕点F 转a*b-动，并且交椭圆于A、B 两点，P 是线段A B的中点(1)求点P 的轨迹H 的方程7 T(2)在 Q 的方程中，令 a2=l+cosO+sin0,b2=sin0(0G),确定。的值，使原点2距椭圆的右准线/最远，此时，设

11、/与 x 轴交点为D,当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大?22、（本大题满分14分）已知数列 a j 满足：a i=-,且 a产 “a（门2 2,n e N*）2 2an_ 1+n-l（1）求 数 列 an 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n,不等式ai a2*.ann!2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第n 卷 3 至 4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡

12、上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。2.答 第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3 .答第1【卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。4 .考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。参考公式：如果时间A、B互斥，那么P(A+3)=P(A)+P(B)如果时间A、B相互独立，那么P(A B)=P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 与(9=C尸(i-p)i球的表面积公式S=4万R 2,其中R表示

13、球的半径4球的体积公式V=万/?3,其中R表示球的半径3第I卷(选 择 题 共60分)一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共6 0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x1、已知集合乂=x|.0 ),N=y|y=3 x2+l,XGR ,则 MCN=(C )(X1)A.0 B.x|x l C.x|x l D.x|x N l 或 x l 或 x 0,b 0,则不等式一b a等 价 于(D )XA.x 0 或 0 x b aB.x C.x 一a b a bD.x b a解:-b -x00 x(bx+1)0o Vx(1ax)0 xIb00或x，或xaa故选D4、设 0 为坐标

14、原点，F 为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若 0 A AF=-4则点A的坐标是(B)A.(2,+272)B.(1,2)C.(1,2)D.(2,272)2 2 2解：F(1,0)设 A(区，y0)则O A=(无，yo),AF=(1一 区，一y 0),由444OAyo=2,故选 B5、对于R上可导的任意函数F(x),若 满 足(x-1)ff(x)0,则 必 有(C)C.f(0)+f (2)2f(1)B.f(0)+f (2)2f(1)D.f(0)+f (2)2f(1)解：依题意，当 xN l时，f (x)0,函数f(x)在(1,+o o)上是增函数；当 x l时，f(X)f(1),f(2

15、)f(1),故选 C6 若不等式x,+ax+lNO对于一切xw(0,)成立，则 a 的取值范围是(C)25A.0 B._ 2 C.-D.-32解：设 f(x)=x2+a x+l,则对称轴为x=一色2a 1 1若 一 一,即让一1 时，则 f(x)在(0,一上是减函数，应有f(一)W0n2 2 2 25x0恒成立，2 2故 a0a a a2 a2 a2若 04 ,即一14aW0,则应有 f(一)=+1=1 2 0 恒成立，故2 2 2 4 2 4-la0综上，有一工4 a故选C27、已知等差数列 须的前n 项和为S”，若O 8=a|O A+a2000 c ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原

16、点0),则 S200=(A )A.100 B.101 C.200 D.201解：依题意，ai+a2oo=1 故选A8、在(x0)2006的二项展开式中，含 x 的奇次基的项之和为S,当 x=0 时，S 等于(B )解：设(xV2 )2 006=a o x2 006+a i x2 005H-Fa 2 o o 5 x+a2o o 6则当 x=V 5 时，有 a o (0 )2 /2 )+a 2 o o 6=23009(2)(1)-(2)有 山(V2 )2 005 +.+a 2()05(&)=2 3009+2=2 3颂故选B2 29、P是双曲线三一 -=1的右支上一点，M、N 分别是圆(x+5)?+

17、/=4 和(x-5)2+9 16y?=l 上的点，则|P M|一|P N|的最大值为(D )A.6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是Fi (-5,0)与 F2 (5,0),则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与 M、Fi 三点共线以及P与 N、F2 三点共线时所求的值最大，此时|P M|-|P N|=(|P F|-2)-(|P F2|-1)=1 0 1=9 故选 B10、将 7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3 人，另两组2人，不同的分组数为a,甲、乙分到同一组的概率为P，则 a、p的值分别为(A)5 4 5 4B.a=105 p=B.a=105 p=C.a=2 10 p=

18、D.a=2 10 p=21 21 21 21解：a=1052!甲、乙分在同一组的方法种数有2 5 5(2)若甲、乙分在2人组，有 C；=10种，故共有2 5 种，所以P=3105 21故选A11、如图，在四面体AB C D 中，截面AE F经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心0,且与B C,D C 分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-B E FD与三棱锥A-E F C 的表面积分别是Si,S2,则 必 有()A.B.C.D.S1S2S尸S2SH S2的大小关系不能确定连 O A、O B、O C、O D则 VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+Vo-B

19、EFDVA-EFC V o-A D c+V o-A E c+V o-EFC X VA-BEFD=VA-EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD+SABE+SBEFD=SADC+SAEC+SEFC 又面 AE F 公共，故选 C12、某地一年的气温Q (t)(单位：c)与时间t (月份)之间的关系如图(1)所示，已知该年的平均气温为10%,令G(t)表示时间段(0,t)的平均气温，G(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是(A)解：结合平均数的定义用排除法求解理科数学第n卷(非 选 择 题 共90分)注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试

20、题卷上书写作答无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。13、数 列 的前n项和为Sn，则l i m Sn=L4n1 n-8 2解：a=_ _ _ _ _ _ _ _1 _ _ _ _ _ _ _ J 一 二 一)n 4n21 (2n1 )*(2n+l)2 2n1 2n+l故 Sn=a|+a 2+a”=-(1-)+-(-)+-(2 3 2 3 5L)2 2n1 2n+l=-(1-+-+-+2 3 3 5 2n-l2n+1=一(1!-)limSn=lim(1一 )2 2n+l n 8 n-8 2 2n+l214、设 f (x)=l o g 3(x+6)

21、的反函数为1 (x),若(f-1(m)+6)(f-1(n)+6)=2 7贝ij f (m+n)=_解：(x)=3*6 故(f-1(m)+6)(f-1(x)+6)=3m 3n=3m +n=27.*.m+n=3.f (m+n)=l o g 3(3+6)=215、如图，在直三棱柱A B C-A iB.C i中，底面为直角三角形，Z A C B =90 ,A C=6,B C=C C i=V 2,P是BG上一动点，则C P+P A|的最小值是解：连A iB,沿BG将a C B C i展开与A iB C i在同一个平面内，如图所示,连AC,则A.C的长度就是所求的最小值。1通过计算可得N A C iC=9

22、0。又N B C C=45.N A iGC=135。由余弦定理可求得AIC=5 J 516、已知圆 M：(x+c o sG)2+(y-sinG)2=1,直线/：y=kx,下面四个命题：A i(D)对任意实数k与。，直线/和圆M相切；K(E)对任意实数k与0,直线/和圆M有公共点；(F)对任意实数。，必存在实数k,使得直线/与和圆M相切,(D)对任意实数k,必存在实数0,使得直线/与 A i和圆M相切其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号)C1B1解：圆心坐标为(一c o s。，sin0)d=|k cos 0 sin 3 J l+k sin(0+(p)Vl+k2 Vl+k2=|sin(0+(p

23、)1故 选(B)(D)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、(本小题满分12分)2已知函数f (x)=x 3+a x?+b x+c在x=与x=1时都取得极值3(3)求a、b的值与函数f (x)的单调区间(4)若对X (-1,2),不等式f (x)4 2恒成立，求C的取值范围。17、解：(1)/(x)X3+OX2+bx+c,f(x)3+2ax+b2 12 4由 广(-)-a+b=O,甘(1)=3+2 a+b=0得1a ,b 22f (x)=3x 2X 2=(3 x+2)(x-1),函数/(x)的单调区间如下表:X(-0 0,323(2)31(1,+o

24、o)r(X)+00+f(x)T极大值极小值T2所以函数f(X)的递增区间是(-00,-)与(1,+o o)32递减区间是(一一，1)31 7 22(2)f(x)=x3 X22x+c,x e (1,2),当*=时，f(x)=+c2 3 27为极大值，而/2)=2+c,则/(2)=2+c为最大值。要使/(x)/(2)=2+c解得c 218、(本小题满分12分)某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令 表示甲，乙摸球后获得的奖金

25、总额。求：(1)&的分布列(2)自 的的数学期望18、解：(1)J的所有可能的取值为0,10,20,50,60分布列为010205060p729243189110 0 010 0 010 0 010 0 010 0 0(2)E&=3.319、(本小题满分12分)如图，已知A A B C是边长为1的正三角形，M N分别是边A B、A C上的点，线段M N经过A A B C的中心G,TT 2 7r设 N M G A c t (W a W-)3 3(3)试将a A G M、A A G N的面积(分别记为将与S D表示为a的函数(4)求y=4+1 的最大值与最小值S S21 9、解：(1)因为G是边长

26、为1的正三角形A B C的中心，bl I 2 V3/3 7 1所以 AG=x=,ZM AG=3 2 3 6由正弦定理，也.7 1sin6GAsin(71 a )6得 G M=-6sin(a+生)6则 Si=GMGAsina=2s in aTT12sin(a+)6同理可求得S2=sin a12sin(6z)6(2)y=-+-(sin2(a+)+s in2(a)y；y；sin2 a 6 6yr 27r 7T 27r=72(3+cot2a)因为一 W aW，所以当a=或a=时，y 取得最大值ymax=2403 3 3 3TT当a=时，y 取得最小值ymin=21620、(本小题满分12分)如图，在三

27、棱锥A-B C D 中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，B且 A D=J 5，B D=C D=1,另一个侧面是正三角形(4)求证：AD1BC(5)求二面角B-A C -D 的大小(6)在直线AC上是否存在一点E,使 ED 与面BCD成 30。角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由。20、解法一：(1)方法一：作 AFLL面 BCD于 H,连 DH。AB_LBD=HB_LBD,又 AD=G BD=1.AB=0=BC=AC/.B DIDC又BD=CD,则B H C D 是 正 方 形，则DH1BC.AD1BC方法二：取 BC的中点O,连 AO、DO贝 U 有 AO_

28、LBC,DO1BC,.BClffi AOD.BC1AD(2)作 BM_LAC于 M,作 MN_LAC交 AD于 N,则NBMN就是二面角B-A C-D 的平面角，因 为A B=A C =BC=0;.M是AC的中点，且M N尤D,则BM=也2MN=，C D=L,B N=-A D=,由余弦定理可求得 c o s/B M N=g2 2 2 2 3.t.Z B M N =a r c c o s-3(3)设E是所求的点，作E F _ L C H于F,连F D。贝ij E物A H,.E F l f f i B C D,N E D F就是E D与面B C D所成的角，则N E D F=3 0。设E F=x,

29、易得A H=H C=1,则C F=x,F D=+x，.t a n N E D F u =-二=解得 x=,贝U C E=夜 xF D 7 T+3 2=1故线段AC上存在E点，且C E=1时，E D与面B C D成3 0。角。解法二：此题也可用空间向量求解，解答略2 1、(本大题满分1 2分)X2 y2如图，椭圆Q：+=1(a b 0)的右焦点F(c,0),过点F的一动直线m绕点F转a2 b2动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点(3)求点P的轨迹H的方程7 T(4)在Q的方程中，令a 2=l+c o s 0+s i n。，b2=s i n 0 (0 G b 0)a2 b2上的点A (x

30、 i，y i)、B (x2,y 2),又设P点坐标为P (x,y),则b2x +a2y =a2b2.(1)b2X 2+a2y 2=a2b2.(2)1。当A B不垂直x轴 时,x芹X 2,由(1)一(2)得b2(x i X 2)2 x+a2(y i-y z)2 y=0.y1丫2 b?x y,*2X j-x2 a y x-c?.b2x2+a 2 y 2-b2c x=0.(3)-2。当A B垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程(3)故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2b2c x=0（2）因为，椭 圆 Q右 准 线/方 程 是*=工，原点距/C的距离为土，由于 c2=a?-b?,a2=l+cos

31、0+sin0,b2=sin0(O0 yi）、B（X 2 y2）三角形ABD的面积I,I IS=万|yil+万 Iy2l lyi yzlx2设直线m 的方程为*=1 丫+1,代 入 万+y 2=l中，得（2+k2）y2+2 k y-l=02k由韦达定理得yi+y2=-2 y】y2=乙I K12+k2,、，、，8(k2+l)4 S-=(y i-y2)-(yi+y2)f y i y 2=(7+2)?令 t=k 2+1 2 1,得 4s2=,=?2,n e N*）2 2an_l+n-l（3）求 数 列 a。的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n,不等式aia2.anl).1a,3 3 an 3n 3

32、n-l(2)证：据 1得，aia2-an=n!(1)3 32 3n为证 ai*a2*.an-3 32 3n 2显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个neN”,有2(1-)*(1(1 )1 (+-3-H-F).33 32 3n 3 32 3n用数学归纳法证明3。式：(i)n=l时，3。式显然成立，(ii)设n=k时，3。式成立，即(1(1-)1(工+-+)3 32 3k 3 32 3k则当n=k+l时;(1(1二)(1 (1 (+-4-H-1-)3 32 3k 3k+l 3 32 3k1+-卜 +3 L)即当n=k+l时，3。式也成立。故对一切neN*,3。式都成立。1护利用 3得，3 32(1-(-F-)=3n 3 32 3n=1 (1 2故2。式成立,(-)n)=-+-(-)n3 2 2 312从而结论成立。