高考数学高考试题——数学(湖北卷)(理).pdf

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1、高考数学普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)本试卷共4页，满 分15 0分，考试时间12 0分钟。祝考试顺利注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2 .选择题每小题选出答案后，用2 B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3 .填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4 .考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共5 0分，在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项是满足题目要求的。1 已知 P-a a-(l,0)+m(0,l),m G R ,Q-bb-(1,l)+n(-l,l),n e R 是两个向量集合，则P I Q =A.1,1)B.(-1,1)C.1,0)D.(0,1)1.【答案】A【解析】因为1=(1,加)B =(l 代入选项可得PCQ=(1,1)故选A.2.设a为非零实数，函数y =匕 竺(x e H,且x H -)的反函数是1+a x a1-a x,人 口 1、1+Q X/人 口 1、A y=-(X ER,且xW)B、y=-(x e/?,_ E L x )1+ax a 1-ax aC y=-(x c R,且x w l)D、

3、y=-(x c R,且x W-l)t z(l-x)a(l +x)2.【答案】D【解析】由原函数是y =匕 竺(x e R,且xw1)，从中解得+ax ax=-1-V-(y e R,且y H 1)即原函数的反函数是x =一 )(y e R,且y H 1),故选择a(l +y)a(l +y)D3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则 复 数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为3.【答案】C【解析】因为(+ni)n-mi)=2mn+(n2-m2)z为实数所以“2=/故 机=”则可以取人2 6,共6种可能，所以P =”64.函数y =c os(2 x +马 2的图象厂按向量。平移到F

4、,F的函数解析式为y =f(x),当6y =/(x)为奇函数时，向量。可以等于J TJ T兀4A(-,-2)B.(-,2)C.(-,-2).(-,2)6 6 6 64.【答案】B【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设*=(x ,y ),根据定义y-y =cos 2(x-xf)+-2,根据 y 是奇函数，对应求出 x ,y 65.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A 1 8 8.2 4 C.3 0 0.3 65.【答案】C【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是第，顺序有可种，而甲乙被分在同

5、一个班的有用种，所以种数是C：A；-A；=3 06.设F x)”=旬+qx +%x +2 -1 +a?/，则li m(6 t g+出 +%+(%+%+“5 +=KT8A-l B.O C.146.【答案】B【解析】令x =0得=(争=/亚令 x =1 时(2+1)”=旬+q+,+令 X =-1 时(-I)?”=a。%+Q 2-+a2n(+I)?+(-I)2两式相加得：旬+。2 +a2n=-2+产 _ 1)2 两式相减得：q+%+a2n_=-代入极限式可得，故选B7.已知双曲线二一 三=1 的准线过椭圆?+与=1 的焦点，则直线y =kx +2与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.K W2,2D.K

6、 J 8,回也产2 2 27 .【答案】A2)【解析】易得准线方程是=幺=4=1b 2所以。2=2 一 =4 /=1即 =3 所 以 方 程 是(+汇=14 3联立y =h +2 可 得 3 3+(4 1?+1 6 1 比+4 =0 山4()可解得A8.在“家 电 F 乡”活动中，某厂要将1 0 0 台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。每辆甲型货车运输费用4 0 0 元，可装洗衣机2 0 台；每辆乙型货车运输费用3 0 0 元，可装洗衣机1 0 台。若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2 0 0 0 元 B.2 2 0 0 元 C.2 4 0 0 元

7、 D.2 8 0 0 元8 .【答案】B0 4 x 4 4【解析】设甲型货车使用x辆，已型货车y 辆.则 0 4/4 8 ，求 Z=4 0 0 x+3 0 0 y 最小20+10j100值.可求出最优解为(4,2)故故选B.9 .设球的半径为时间t 的函数。若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为C B.成正比，比例系数为2 cC.成反比，比例系数为C D.成反比，比例系数为2 c9.【答案】D【解析】由题意可知球的体积为丫。)=3万 川 ),则c=V(f)=4 7 R 2 )R。)，由此可得-=，而球的表面积为5(f)=4 万 穴2(f)，RQ)R(

8、r)所以v 表=S (f)=4 万叱=8 万以(f)R(f),艮|J v&=8 万 R(/)R(f)=2 x 4%R(f)R(f)=2cRQ)R R Q)=RQ)故选D1 0.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:13 6 10图114 9 16图2他们研究过图1中的1,3,6,1 0,由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似的，称图2中的1,4,9,1 6,.这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.2 8 9 B.1 0 2 4 C,1 2 2 5 D.1 3 781 0 .【答案】C【解析】【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项=2(+1),

9、同理可得正方形数2构成的数列通项勾=,则由我=/(N+)可排除A、D,又由。=一(+1)知 必2为奇数，故选C.二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 2 5 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题，其答案按先后次序填写.1 1 .已知关于X的不等式竺1 0的解集是(8,-1)U (-L+8).则。.x+1 21 1 .【答案】-2【解析】由不等式判断可得a W 0 且不等式等价于(x +1)(%-)0a由解集特点可得a a =-2a 21 2 .样本容量为2 0 0 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在 6,1 0)内的频数为,数据落在

10、2,1 0)内的概率约为.1 2 .【答案】6 4 0.4【解析】由于在 6,1 0)范围内频数、组距是0.0 8,所以频率是0.0 8*组距=0.3 2,而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64同样在 2,6）范围内的频数为16,所以在 2,10）范围内的频数和为80,概率为8000=0.4第 B SB913.如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域,称为这个卫星的覆盖区域.为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km.已知地球半径约为6400km,则“中星九号”覆盖区域内的

11、任意两点的球面距离的最大值约为_km.（结果中保留反余弦的符号）.13.&【答案】12800arccos/【解析】如图所示，可得A0=42400,则在RtAABO 中可得 cos/AOB=9 /53 f V所以/=3.R=2NAOB.R=12800arccosa（o T14.【答案】1【解析】因 为 八 x)=-/(工)sinx+cosx 所以/(-)=-/(-)-sin-+cos-4 4 4 4 4=f 哈)=6-1 故吟=f*)cos彳+sin f n /(今=14 4 4 4 4 415.已知数列。/满足：a,=m （m为正整数），=m-3232当一为奇数时，包=3%+14%+1 .43

12、,-m +l=443 m+1故-=l 得 m=4。43m 4-1（2）若=2为奇数，则4=3 4+1 =32 +1为偶数，故%=现 尸 必 为 偶 数3m+1 d-、|3m+1 /口4 =-:，所以 =1 可得 m=516 16三、解答题：本大题共6 小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 6.（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）一个盒子里装有4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子也装有4 张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为X；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y,

13、记随机变量=x +y,求77的分布列和数学期望。16.解析：依题意，可分别取 =5、6、7 1 取，则有1 7 3P=5)=,P=6)=定,。=7)=%4x4 16 16 164 3 2 1。(=8)=7 7,。(=9)=/，=1。)=/，P(?=11)=”16 16 16 16的分布列为7567891011P11621631641631621611612 3 4 3 2 I7=5x +6x +7x +8x +9x +10 x +llx =8.16 16 16 16 16 16 1617.(本小题满分12分)(注 意：在试题卷上作答无效)已知向量 a=(cos a,sin a),b=(cos/

14、,sin/?),c=(-1,0)(I)求向量匕+c 的长度的最大值；7 F(I I)设。=i，且aJ.(0+c),求cos夕的值。17.解析：(1)解法 1：b+c=(cos夕-1,sin/7),则b+c l2=(cos/7-1)2+sin2/?=2(1-cos/?).v-l cos/?1,.-.0+CI2 4,即 0 4。+c 饪 2.当cos夕=一1时，有 出+c 1=2,所以向量b+c 的长度的最大值为2.解 法2：历1=1,l c l=l,b+c b+c=2当c o s =l时，有 15+。1=(一2,0),即l+c l=2,方+C的长度的最大值为2.(2)解 法1：由已知可得。+c

15、=(c o s夕一l,s i n/?),a(+c)=c o s a c o s /+s i n a s i n 夕一 c o s a =c o s(a-#)-c o s a 0v a (b+c),，a (/?+c)=0 ,即 c o s(a _ 0)=c o s a。由,a =71 9 得/E c o s(z-71-c/3)=c o s 71 f B口Pn /c3-兀-=2c,k 兀、冗 (/攵 z)、。4 4 4 4 4jrB-2k兀+或0 -2k兀,(k G z)，于是c o s B-0或c o s 0 =1。4解法 2：若a =?,则又由 Z?=(c o s/?,s i n/?),c =

16、(-l,0)得V2 V2 V2 V2 V2Q S +C)=(,)-(c o s -l,s i n )=c o s p+s i n 3-2 2 2 2 2 ！_ (b+c),，a (/?+c)=0,H P c o s (c o s 夕-1)=0s i n (3=1 -c o s 0,平方后化简得 c o s 夕(c o s 力-1)=0解得c o s夕=0或c o s/7 =l,经检验，c o s夕=0或c o s/?=1即为所求18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥S AB C D的底面是正方形，S D _ L平 面AB C D,S D=2 a,A D =6 a点、

17、E是 S D 上的点，且。E =/l a(0 /l K 2)(1 )求证：对任意的4 w (0,2 ,都有AC J _ 8 E(I I )设二面角C AE D的大小为。，直 线B E与平面AB C D所成的角为,若t a n 6 g l a n e =1，求几的值18.(I )证 法1：如图1,连接B E、B D,由地面AB C D是正方形可得AC B D.,S D _ L平面AB C D,r.B D是B E在平面AB C D上的射影，Z.AC B E(I I)解法 1:如图 1,由 SD_L平面 ABCD 知,ZDBE=(p,.SD_L平面 ABCD,CDU 平面 ABCD,A SD1CD又

18、底面ABCD是正方形，C D A D,而SDC AD=D,CD_L平面SAD.连接AE、C E,过点D在平面SAD内作DE_LAE于F,连接C F,则CF_LAE,故/C D F是二面角C-AE-D的平面角,即NCDF=6。.DE 2在 RtZiBDE 中，BD=2a,DE=4a；.tan。=-=一BD 2在 RtAADE 中，/AD =y/2a,DE=A a,：.A E =a 1 A2+2从而。EAD -D E _ 叵九aA E V/l2+2在 RtACDF 中，tan6CDDFA2+2由 tan 6 tan =1,得=1 A2+2 =2=万=2.由;l w(0,2 ,解得丸=&,即为所求.

19、(I)证法2：以D为原点，而，而，丽 的 方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(亚，0,0),B(41a,y/2 a,0),C(0,4 1 a,0),E (0,OAa),AC (-yf2ci,BE (-yp2.a,-九a)AC BE=2a2-2 a2+0-Aa=0,即 A C _ L 8 E。(II)解法2：由(I)得EA=(0 a,O,-4 a),E C =(一行a,血a,4 a).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由”_LE4,n_L E C 得.受=0,即擀T z =O,取“在得n(%gn-E C -0,/2y-2z=0,易知平

20、面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为D S=(0,0,2a)与 庆=(0,、历a,0).D S B Esin(p=同阿4,3”距&+4 DC-n乃*/o 0,(p 0,二 tan 夕 tan 0 0。+0=工 sin 0=cos 0=/4 =/一2 5+4 J2+2=万=2.由于4 e(0,2,解得/1=0,即为所求。19、(本小题满分13分)(注 意：在 试 题 卷 上 作 答 无效)已知数列 4 的前n 项和S“=一。(g)T+2(n 为正整数)。(I)令b 求证数列也“是等差数列，并求数列%的通项公式；n+1 5(H)令 =an,Tn=C i+c2+.+%试比较7；与 上 一 的 大

21、 小，并予以证n 2n+l明。19.解析：(I)在 S“=a(；)T+2 中，令 n=l,可得号=a“l+2=q,即当 2 2 0寸，S,T=-。,一 一 弓),2+2)a.=S“S,-=-+%+,2 a n=%+(；)T,即 2Z,=2为“T+Lb=2 a,bn=%+1,即当n N 2时,bn-a=1.又仇=2%=1,.数列 bn是首项和公差均为1 的等差数列.n于是2=1 +(一1)=2%,；.4.=环.(II)山 得所以n27；=2 x 1+3 x(2A+4 x(g)3+K+(+1)(g)2 2 2 2!7；=2 X&)2 +3 x(I)3+4 x(I)4+K +(”+2 2 2 2 2

22、由-得(7；=1 +(1)2+(1)3+K +(；)-(+l)(1)n+l1t 一5 mi)(5 3 +3 八 2 2 2,+,1-2T C +3/.T”=3-2 1 5 一3 +3 5 _ (+3)(2 -2-1)+一_T-2-+1 -2 (2 +1)于是确定7；与上一的大小关系等价于比较2 与2+1的大小 2 +1由 2 2 x1 +1；2?2 x2 +1 2 2 x3 +1;2 2 x4 +1 2 2优+1)+1所以当 =k +l时猜想也成立综 合(1)(2)可 知，对一切“2 3的正整数，都有2 2 +1.证 法2：当“N 3时2 =(1 +1)H=C：+C：+C：+K +C：i +C

23、：C：+C：+C：T+C；=2 +22 +1综上所述，当=1,2时7；上 一，当 2 3时7；上 一“2/7 +1 2 +12 0、(本小题满分1 4分)(注 意：在试题卷上作答无效)过抛物线y =2 p x(p 0)的对称轴上一点A(a,0)(a 0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向 直 线=作垂线，垂 足 分 别 为N-(1)当。=时，求证：A M.A N.;211(I I)记 A A M M,.A4M乂、A A N N 1的面积分别为、S2,S3,是否存在4,使得对任意的。0,都有S；=九5百2成立。若存在，求出义的值；若不存在，说明理由。2 0题。本小题主要考察抛物线的定义和

24、几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力。(1 4分)解：依题意，可设直线乂1 1的方程为=9 +”,（苍,）,（彳2，力），则有”(-w yJN f-a,%)(x-m y+a、消去x可得厂一2 m p y-2 a p =0旷=2pxU 而 后)%+%=2 /6、从而有 yxy2=-lap于是+=机()1+%)+2 4 =2(/p +a)又山 y：=2 p X ,又=2 P可 得 中2 =a?（I）如 图1,当时，点A（K,0）即为抛物线的焦点，/为其准线x =K2 2 2此时M（-g，M），M（-g,%）,并 由 可 得=一。2UUULV UUUV证法 1：Q

25、AM=（P，M），AM=（，巳）UUUIV UUUVAM-ANl=p2+yty2=p2-p2=0,即4例1 1证法2：Q K.=,KA&=一匹,P P（H）存在；1 =4,使得对任意的。0,都有5；=4 5邑成立，证明如下:证 法1：记直线/与X轴的交点为4,则|。4|=|。4|=0。于是有S I =；.四阂.同例|=；(占+4)|)1|S2 MN-A A a y i-y2.53=；伊乂卜恒阳|=$+。)|%|S；=4 S 0(。|%-%|)2 =&+。)帆|2+砌 切=/K M +%产 一 4)，|%=玉/+a(X|+)+a，I 弘 y2将、代入上式化简可得a2(4m2p2+8 a p)=2

26、 a p(2 a m2p +4 a2)o 4 a2p(m2/?+2a)上式恒成立，即对任意a 0,S；=4 sls3成立证法2：如图2,连接M N 1,N M，则由XM=2 a p,y；=2 p*可得KM=女=辿1二 处 二 兄 二 长。川 ,所以直线M经过原点0,*x -2aP-a同 理 可 证 直 线 也 经 过 原 点。又|。4|=|0 4|=。设 眼 阂=,阂=/?2，眼 根 卜4，加乂|=4,则S =；2 a(4 +力2)=a(h+h2),S3=(4 自2 1.(本小题满分1 4分)(注 意：在 试题卷上作答无效)在R上 定 义 运 算:p q =；(p c)(q 3 +4 b c (b、c为 实 常 数)。记Z(Z)=Z2-2 c，/2(Z)=Z-2&-令/(%)=/(4).(I)如果函数/(力)在力=1处有极什-g,试确定b、c的值；(I I)求曲线y =/(%)上斜率为c的切线与该曲线的公共点；(I I I)记g (x)=f(x)l(-l x|(|/,(-l)|+|/W|)|(|/，(-D|-|/W|)=；S+1)2 3综上，对任意的b、c都有2而当，/,=o,c =；时，g(x)=-炉+；在区间 T,l上的最大 值 例=ga M N K对任意的b,c恒成立的k的最大值为-2